2026-2027学年浙江省某校高二数学上学期期中模拟试卷（人教A版必修一选择性必修一第三章3.2）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年浙江省某校高二数学上学期期中模拟试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若直线ax+y+1=0

的倾斜角为2π3，则实数a=(

)A.3 B.−3 C.2.某校举办了一次数学素养测评，旨在检验学生的逻辑思维与应用能力，以下是随机抽取的10名学生的成绩(满分100分)：65，71，83，86，87，88，91，92，94，98，则这10名学生数学成绩的第70百分位数为(

)A.92

B.91.5

C.91

D.89.53.我国自主研制的“JF−22”超高速风洞，是航空航天高端研发的国之重器．倘若某次风洞平面流场研究中，科研人员取平面内一组夹角为π3的单位气流矢量e1,e2作为基底，发现某位置的合气流矢量a可以唯一表示为a=e1+λA.32 B.32 C.4.若PMN=14，PM=A.事件M与N相互独立 B.PM+N=3140

C.事件M与N5.若点P(2,1)在圆x2+y2+4x−2y+k−1=0外，则实数A.(−10,+∞) B.(−10,6) C.(−∞,−10) D.(6,+∞)6.已知圆C:(x−4)2+y2=4，点P(−1,3)关于直线l:y=kx的对称点A.l与圆C相交 B.l与圆C相切 C.l与圆C相离 D.以上都有可能7.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，过原点的直线l交椭圆于A，A.135 B.155 C.8.已知点P是直线l：2x+y+1=0上一点，过点P作圆C：x−12+y−22=4的两条切线，切点分别为A，B，则A.82−12 B.12−82 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知z为复数，i为虚数单位，则下列结论正确的是(

)A.若z=i2+i，则z=55 B.z2=z⋅z

C.若z+1=z−110.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，Q为线段AD1上一动点，则(

)A.三棱锥Q−BDC1的体积为定值

B.直线QC与B1D的夹角的大小的取值范围是π4,π2

C.QD+QC的最小值为2+11.已知点Px,y在圆C：x2+y2−6x−4y+12=0A.yx的最大值为3+34

B.x−y的最小值为1+2

C.若过点P且斜率为3的直线与y轴交于点Q，则线段PQ长度的取值范围为4,8

D.若三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.双曲线x22026−y213.已知椭圆C:x2m2+y26=1的焦点分别为F10,2，F20,−2，设直线l与椭圆C交于M14.已知函数fx=sinωx+φ(ω>0)，如图所示，直线y=22与曲线y=fx交于A，B两点，若AB=π4，fx在区间5π四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)设▵ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acosC+1(1)求角A的大小；(2)若▵ABC边BC上的中线AD的长度为6，求▵ABC面积的最大值．16.(本小题15分)

如图，在多面体ABCDEF中，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，四边形ABEF为平行四边形，AD/​/BC，AB⊥BC，AB=AD=12BC=2，AF=(1)证明：CD⊥BF;(2)若点M是CE中点，求点M到平面BDE的距离．17.(本小题15分)已知圆O:x2+y2=2，点T(−4,2)，动点S(1)求动点S的轨迹方程；(2)设动点S的轨迹与圆O交于M，N两点，求|MN|。18.(本小题17分)已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为1的正方形，其中PA≠PC，二面角B−PC−A的大小为60∘，平面PDB⊥平面PAC，面PDB∩面PAC=PO，AH⊥PO(1)证明：BD⊥面PAC;(2)若PA=1，求直线PB与平面PCD所成角的大小；(3)如图，若PA⊥AB，平面PAD∩平面PBC=l，Q为l上一动点。平面ABQ与平面CDQ夹角的大小为θ，求cosθ的最小值。19.(本小题17分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，E的离心率为22，且过点(0,2)，过F2且斜率大于0的直线l交E于A，B两点．

(1)求E的方程；

(2)若△F1AB的面积为1631.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】ABD

10.【答案】AD

11.【答案】ACD

12.【答案】213.【答案】3x+y−2=0

14.【答案】2

；

；

；；−π3/答案不唯一，满足15.【答案】解：(1)由正弦定理及acosC+12c=b，得sinAcosC+12sinC=sinB，

因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

所以sinAcosC+12sinC=sinAcosC+cosAsinC，

即12sinC=cosAsinC，

又C∈(0,π)，所以sinC>0，所以cosA=12，

而A∈(0,π)，所以A=π3．

(2)因为D是BC中点，所以AD=12(AB+AC)，

所以AD2=1416.【答案】解：(1)证明：因为AB=2，BF=2，AF=22，

所以AB2+BF2=AF2，所以BF⊥AB．

因为平面ABEF⊥平面ABCD，

平面ABEF∩平面ABCD=AB，BF⊂面ABEF，

所以BF⊥平面ABCD，

又因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥BF．

(2)由(1)知，BF⊥平面ABCD且AB⊥BC，

以B为坐标原点，BA，BC，BF的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,2,0)，F(0,0,2)，E(−2,0,2)，M(−1,2,1)，

所以BD=(2,2,0)，

BE=(−2,0,2)，BM=(−1,2,1)．

设平面BDE的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n·BD=2x+2y=0n·17.【答案】解：(1)设动点S的坐标为(x,y)，则|ST|2=(x+4)2+(y−2)2，|SO|2=x2+y2，

代入|ST|2+|SO|2=20得(x+4)2+(y−2)2+x2+y2=20，

整理得x2+y2+4x−2y=0，化为标准方程为(x+2)2+(y−1)2=5，

即为动点S的轨迹方程。

(2)联立两圆方程x2+y2=2 x2+y218.【答案】(1)证明：连接AC，BD交于点O，连接PO，

在平面PAO内过A作AH⊥PO，垂足为H，

因为PA≠PC，所以垂足H不与点O重合，

如图：又因为平面PDB⊥平面PAC，

平面PDB∩平面PAC=PO，AH⊂平面PAO，

则AH⊥平面PDB，

又因为BD⊂平面PDB，所以AH⊥BD．

在正方形ABCD中，AC⊥BD，AC∩AH=A，

AH⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，则BD⊥平面PAC，

又因为PA⊂平面PAC，所以PA⊥BD;

(2)解：以AB为x轴，以AD为y轴，过点A的平面ABCD的垂线为z轴，

建立空间直角坐标系，如图．

则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0)，设P(m,n,t)，则AP=(m,n,t),BD=(−1,1,0)．

因为因为PA⊥BD因为BD⊥平面PAC，所以平面PAC的法向量DB设平面BPC法向量n1=(则y1=0(m−1)x1+ny因为二面角B−PC−A为60°，所以cos由①②③解得m=0,n=0,t=1，或m=23,n=23(i)当P(0,0,1)时，PB=(1,0,−1),设平面DPC法向量n2→=(x不妨取y2=1，则z2cosPB设PB与平面PCD所成角为α，sinα=cosPB,η(ii)当P23,设平面DPC法向量η则13x不妨取y3=1，则z3cosPB设PB与平面PCD所成角为α,sinα=cosPB,综上，PB与平面PCD所成角为π6或π3．

(3)解：参考第因为AD//BC,AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD，所以BC又因为BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面PAD=l，所以设P(0,0,s),Q(0,r,s),A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0)，

PC=(1,1,−s),设平面PBC法向量η4=(则x4+y4−sz4因为BD⊥平面PAC，所以平面PAC法向量DB因为二面角B−PC−A为60°，所以cos 60°=即12=ss设Q(0,r,1),AQ=(0,r,1),AB=(1,0,0)，设平面η5⋅AB=0η5⋅AQ=0DQ=(0,r−1,1),DC=(1,0,0)，设平面CDQη6⋅DC=0η6⋅DQ=0则|cosθ设a=r,b=1−r,a+b=1,=ab≤a+b22=14.当且仅当a=b=

19.【答案】(1)解：由F1，F2分别为椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，

椭圆E的离心率为22，且过点(0,2)，过F2且斜率大于0的直线l交E于A，B两点．如图

设椭圆焦距为2c，由离心率e=ca=22，得c2=a22．

又椭圆过点(0,2)，∴b=2.由a2=b2+c2得a2=4+a22，解得a2