第二章　一元二次函数、方程和不等式 单元检测(含答案) 2026-2027学年高中数学人教A版必修第一册

第二章一元二次函数、方程和不等式全卷满分150分考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若P=a2-2a,Q=2a-4,则P和Q的大小关系为()A.P>QB.P<QC.P≥QD.P≤Q2.已知集合A={x|(x+2)(x-1)≤0},B={x|x=2k,k∈Z},则A∩B=()A.{-2,0}B.{0,2}C.{0}D.⌀3.命题“∀x∈{x|x2-3x+2<0},x2-m≤0”为真命题的充要条件是()A.m≥4B.m>4C.m≤4D.m<44.已知a>0,b>0,a+b=9,则36a+abA.8B.9C.12D.165.已知不等式ax2+bx+c<0的解集是xx<-12或x>13,则不等式cx2-bx+a≥0的解集为()A.{x|x≤-2或x≥3}B.{x|x≤-3或x≥2}C.{x|-2≤x<2或x≥3}D.{x|-2≤x≤2或x≥3}6.x2-xA.1B.-1C.3D.-37.已知不等式a(x-x1)(x-x2)>0的解集为A,不等式b(x-x1)(x-x2)≥0的解集为B,其中a,b为非零常数.则“A∪B=R”是“ab<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.若不等式t(x+y)≤2·x+y对所有的正实数x,y都成立,则tA.2B.2C.22二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.下列命题正确的是()A.若c<0<b<a,则b3+c3<a3B.若c<0<b<a,则ca>C.∀a>b>0,当m>0时,a+mb+m>abD.∃a>b>0,当10.下列说法正确的是()A.不等式1-2x3x+1>1的解集是xB.若a+b=1,则a+b的最小值为1C.若0≤x+y≤2,-1≤x-y≤1,则-32≤2x+y≤D.已知正数a,b满足1a+1b=1,则1a-11.柯西不等式的相关内容如下:对于实数a,b,c,d,有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad-bc=0时,等号成立.柯西不等式可以用于证明其他不等式,也可以用于解决一些数学问题.如:已知x+2y=2,x,y∈R,由柯西不等式得(x2+y2)(12+22)≥(x+2y)2,当且仅当2x=y,即x=25,y=45时取等号,从而可得(x2+y2)min=45.运用柯西不等式A.若a2+b2=1,则(2a+3b)max=13B.若0<a<2,则1a+C.若a+b=4,a>-1,b>-2,则(a+1+2b+2)maxD.若1<a<3,则(a-1+6-2三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.关于x的不等式2x-1x-13.已知关于x的不等式组x+24-x<0,214.已知正实数a,b满足a+2b+ab=6,则ab的最大值为,若实数c>0,则a2ca+2+2b四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)(1)已知2<a<3,-2<b<-1,求a+2b,a-b,ab的取值范围(2)已知a,b都是正实数,比较a2b+b2a16.(15分)已知a>0,b>0,且a+3b=2.(1)求ab的最大值;(2)若3a+4b≥m恒成立,求m17.(15分)某公司为了提高生产效率,决定投入72万元购进一套生产设备.预计使用该设备后,每年因该设备额外产生收益50万元,该设备x年的维修、保养等费用共(2x2+10x)万元.设使用x年后该设备的盈利额为y万元(设备的盈利额=因设备额外产生的收益-设备的购进成本-设备维修保养费),其中x∈N*.(1)写出y关于x的函数关系式,并求出该设备从第几年开始盈利;(2)使用若干年后,对该套设备的处理方案有以下两种:方案①:当年平均盈利额达到最大值时,以52万元价格处理该设备;方案②:当盈利额达到最大值时,以20万元价格处理该设备.请你研究哪种方案处理较为合理,并说明理由.18.(17分)如图,设矩形ABCD(AB>AD)的周长为40cm,把△ABC沿AC向△ADC翻折成△AEC,AE交DC于点P,设AB=xcm.(1)若DP>13AB,求x的取值范围(2)设△ADP的面积为Scm2,求S的最大值及相应的x的值.19.(17分)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根x1,x2,则称d=|x1-x2|为两根之间的距离,简称“根距”.当d∈[n,n+1),n∈N时,称该一元二次方程有n级“根距”.例如d=2.68∈[2,3),则称该一元二次方程有2级“根距”.(1)试用a,b,c表示“根距”d;(2)设关于x的方程(k-1)2x2+(2k2-3k+1)x+k2-2k+3=0有两个不等实根,求该方程的“根距”d的级数;(3)若a≠b,a,b∈{m|2m3-3m2+1=0},当x1<x2时,∀x∈(x1,x2),ax2+bx+c>0,求a,b的值,并确定当方程ax2+bx+c=0的“根距”d的级数n的最小值为多少时,c至少可以取到两个整数值.答案全解全析1.C因为P=a2-2a,Q=2a-4,所以P-Q=a2-2a-(2a-4)=a2-4a+4=(a-2)2≥0,当且仅当a=2时取等号,所以P≥Q.2.A由A={x|(x+2)(x-1)≤0}得A={x|-2≤x≤1},又B={x|x=2k,k∈Z},所以A∩B={-2,0}.3.A由x2-3x+2<0,得1<x<2,所以1<x2<4,由已知得x2-m≤0恒成立,即m≥x2恒成立,所以m≥4.4.A36a+ab=4a+4ba+ab=4+当且仅当4ba=ab,a+b=9,即a=6,b=3时等号成立,则36a5.B由题意可得-12与13是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,则有-则cx2-bx+a≥0可化为-a6x2-a6x+a≥0,即x2+x-6≥0,即(x-2)(x+3)≥0,解得x≤-3或x6.D令t=x-1,则x=t+1,t>0,则x2-x+11-x当且仅当t=1,即x=2时,取等号,所以x2-x7.B当a>0,b>0时,若x1=x2,则不等式a(x-x1)(x-x2)>0为(x-x1)2>0,解得x≠x1,所以A={x|x≠x1},不等式b(x-x1)(x-x2)≥0为(x-x1)2≥0,则B=R,所以A∪B=R;若x1≠x2,不妨设x1<x2,则不等式a(x-x1)(x-x2)>0的解集为A={x|x<x1或x>x2},不等式b(x-x1)(x-x2)≥0的解集为{x|x≤x1或x≥x2},所以A∪B≠R.当a>0,b<0时,若x1=x2,则不等式a(x-x1)(x-x2)>0为(x-x1)2>0,所以A={x|x≠x1},不等式b(x-x1)(x-x2)≥0为(x-x1)2≤0,所以B={x1},所以A∪B=R;若x1≠x2,不妨设x1<x2,则不等式a(x-x1)(x-x2)>0的解集为A={x|x<x1或x>x2},不等式b(x-x1)(x-x2)≥0的解集为B={x|x1≤x≤x2},所以A∪B=R.当a<0,b>0时,若x1=x2,则不等式a(x-x1)(x-x2)>0为(x-x1)2<0,则A=⌀,不等式b(x-x1)(x-x2)≥0为(x-x1)2≥0,故B=R,所以A∪B=R;若x1≠x2,不妨设x1<x2,则不等式a(x-x1)(x-x2)>0的解集为A={x|x1<x<x2},不等式b(x-x1)(x-x2)≥0的解集为B={x|x≤x1或x≥x2},所以A∪B=R.当a<0,b<0时,若x1=x2,则不等式a(x-x1)(x-x2)>0为(x-x1)2<0,故A=⌀,不等式b(x-x1)(x-x2)≥0为(x-x1)2≤0,故B={x1},所以A∪B≠R;若x1≠x2,不妨设x1<x2,则不等式a(x-x1)(x-x2)>0的解集为A={x|x1<x<x2},不等式b(x-x1)(x-x2)≥0的解集为B={x|x1≤x≤x2},所以A∪B≠R.综上所述,当ab<0时,一定有A∪B=R,但A∪B=R时,还可能a>0,b>0,从而ab>0,故“A∪B=R”是“ab<0”的必要不充分条件.8.D因为x,y为正实数,所以x+y>0,所以t≤2·x+y则t≤2·令m=2·x+yx+所以1m2=x+y+2xy2(x+y)=12+xyx+y≤12+又m>0,所以m≥1,即2·x所以2·x所以t≤1,即t的最大值为1.9.ABD对于A,由c<0<b<a,得b3<a3,c3<0,因此可得b3+c3<a3,故A正确;对于B,由c<0<b<a,得0<b<a,所以1b>1a>0,又c<0,所以ca>cb,对于C,a+mb+m-ab=m(b-a)b(b+m),由对于D,取a=3,b=2,m=1,则b-ma-m=2-13-1=12,ba=23,则b-ma-m10.ABD对于A,由1-2x3x+1>1,得即不等式1-2x3x+1>1的解集是对于B,因为a+b=1,所以a+b=(a)2+(b)2≥(a+b)22=12,当且仅当a=b,即对于C,令2x+y=m(x+y)+n(x-y)=(m+n)x+(m-n)y,所以m+n所以2x+y=32(x+y)+1因为0≤x+y≤2,-1≤x-y≤1,所以0≤32(x+y)≤3,-12≤12(x-y)所以-12≤32(x+y)+12(x-y)≤72,即-12≤2x+y≤7对于D,因为正数a,b满足1a+1所以a+b=ab,即(a-1)(b-1)=1,所以1a-1+1b-1≥21a-1·1b-1=2,当且仅当1a-111.AD对于A,由柯西不等式得(a2+b2)(22+32)≥(2a+3b)2,又a2+b2=1,所以13≥(2a+3b)2,所以2a+3b≤13,当且仅当3a=2b,即a=213,b=313时等号成立,则(2a+3b)max=13,故A对于B,由柯西不等式得1a+22-a[a+(2-a)]≥1a×a+22-a×(2-a)2,即1a+22-a×2≥(1+2)2=3+2对于C,由柯西不等式得(a+1+2b+2)2≤(1+4)(a+1+b+2),因为a+b=4,所以(a+1+2b+2)2≤5×(4+1+2)=35,即a+1+2b+2≤35,当且仅当4(a+1)=b+2,即a=25,b=185时取等号,所以对于D,令x=a-1,y=3-a,则x由柯西不等式得(a-1+6-2a)2=(a-1+23-a)2因为x2+y2=2,所以(a-1+6-2a)2≤6,则a-1+6-2a≤6,当且仅当3-a=2a-1,即a=5312.答案{x|x≤-1或x>2}解析由2x-1x-2≥1,得2x所以(x+1)(x-2)≥0且x≠2,解得x≤-1或x>2,所以不等式2x-1x-2≥113.答案{a|-5≤a<3或4<a≤5}解析因为关于x的不等式组x+24-x<0,2x2+(2a+7易得不等式x+24-x<0不等式2x2+(2a+7)x+7a<0可化为(x+a)x+当-a<-72,即a>72时,不等式①的解集为x-a<x<-72,要使{x|x>4或x<-2}与x|-a<x<-72的交集中只有一个整数,则此整数只能为当-a>-72,即a<72时,不等式①的解集为x-72<x<-a,要使{x|x>4或x<-2}与x|-72<x<-a的交集中只有一个整数,则此整数只能为当-a=-72,即a=72时,不等式①的解集为⌀,不满足题意,综上所述,a的取值范围为{a|-5≤a<3或4<a≤5}.14.答案2;12解析对于第一空:6=a+2b+ab≥22ab+ab,当且仅当a=2b时等号成立令t=ab,t>0,则6≥22ab+ab可化为t2+22t-6≤所以0<t≤2,则ab≤2,ab≤2,当且仅当a=2,b=1时等号成立,故ab的最大值为2.对于第二空:a+2b+ab=6可整理为(a+2)(b+1)=8,令a+2=x,b+1=y,则xy=8,a=x-2,b=y-1,x>2,y>1.a2ca+2=cx+4x-4+2y+2y-4+xy-x-2y+2=c4x+2y+2≥28xy+2c=4c,当且仅当4x=2y,即x=4,y=2所以a2ca+2+2b2又因为4c+16c+1=4(c+1)+16c+1-4≥24(c+1)·16c+1综上,当且仅当a=2,b=1,c=1时,a2ca+2+2b215.解析(1)因为-2<b<-1,所以-4<2b<-2,1<-b<2,12<-1b<1,(3又因为2<a<3,所以-2<a+2b<1,3<a-b<5,1<-ab所以-3<ab<-1.(6分(2)a2b+b2a-(a+b)=a3因为a>0,b>0,所以a+b>0,ab>0.当a=b时,a2b+b2a-(a+b)=0,即a2当a≠b时,a2b+b2a-(a+b)>0,即综上所述,a2b+b2a16.解析(1)因为a>0,b>0,所以根据基本不等式得a+3b≥23ab,即2≥23ab,得ab≤13当且仅当a=3b,即a=1,b=13时取等号因此ab的最大值为13.(6分(2)因为3a+4b≥m恒成立,所以m≤由a+3b=2,得12则3a+4b=12(a+3b)3a+由基本不等式可得4ab+9ba当且仅当4ab=9ba,即a=2所以3a+4b的最小值为12×(15+12)=272,所以m≤故m的取值范围为mm≤272.(15分)17.解析(1)由题意得使用x年后,y=50x-72-(2x2+10x)=-2x2+40x-72,x∈N*,(3分)令y>0,得-2x2+40x-72>0,即x2-20x+36<0,解得2<x<18.(6分)因为x∈N*,所以该设备从第3年开始盈利.(7分)(2)方案①:年平均盈利额(单位:万元)为yx=-2x+40-72x,所以-2x+72x+40≤-2当且仅当2x=72x,即x=6时等号成立所以第6年的年平均盈利额达到最大值,以52万元价格处理该设备,共盈利16×6+52=148万元,(10分)方案②:盈利额(单位:万元)为y=-2x2+40x-72=-2(x-10)2+128,当x=10时,ymax=128,所以第10年的盈利额达到最大值,以20万元价格处理该设备,共盈利128+20=148万元.(13分)两方案盈利相同,但方案①使用时间更短,设备更新更快,更有利于提高生产效率,所以方案①更合理.(15分)18.解析(1)由矩形周长为40cm,可知AD=(20-x)cm,由AB>AD>0得10<x<20,设DP=acm,则PC=(x-a)cm,易得△ADP≌△CEP,∴AP=PC=(x-a)cm.(3分)在Rt△ADP中,AD2+DP2=AP2,即(20-x)2+a2=(x-a)2,得a=20-200x,(5分由题意得20-200x>13x,即x2-60x+600<0,(6解得30-103<x<30+103,又10<x<20,∴30-103<x<20,(8分)∴x的取值范