超静定结构课件

超靜定結構1超靜定結構

用靜力學平衡方程無法確定全部約束力和內力的結構，統稱為超靜定結構或系統，也稱為超靜定結構或系統。§12–1超靜定結構概述

在超靜定結構中，超過維持靜力學平衡所必須的約束稱為多餘約束，多餘約束相對應的反力稱為多餘約束反力，多餘約束的數目為結構的超靜定次數。2超靜定問題分類第一類：僅在結構外部存在多餘約束，即支反力是靜不定的，可稱為外力超靜定系統。分析方法1.力法：以未知力為基本未知量的求解方法。2.位移法：以未知位移為基本未知量的求解方法。第二類：僅在結構內部存在多餘約束，即內力是靜不定的，可稱為內力超靜定系統。第三類：在結構外部和內部均存在多餘約束，即支反力和內力是超靜定的。超靜定結構3第一類第二類第三類超靜定結構4§12–2彎曲超靜定問題1、處理方法：變形協調方程、物理方程與平衡方程相結合，求全部未知力。解：

建立靜定基

確定超靜定次數，用反力代替多餘約束所得到的結構——靜定基。=q0LABLq0MABAq0LRBABxy超靜定結構5

幾何方程——變形協調方程+q0LRBAB=RBABq0AB

物理方程——變形與力的關係

補充方程

求解其他問題（反力、應力、

變形等）超靜定結構6

幾何方程

——變形協調方程：解：

建立靜定基=例6

結構如圖，求B點反力。LBCxyq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0AB超靜定結構7=LBCxyq0LRBABCRBAB+q0AB

物理方程——變形與力的關係

補充方程

求解其他問題（反力、應力、

變形等）超靜定結構8§12–3用力法解超靜定結構一、力法的基本思路（舉例說明）解：①判定多餘約束反力的數目（一個）C

例1

如圖所示，梁EI為常數。試求支座反力，作彎矩圖，並求梁中點的撓度。PAB(a)PABCX1(b)②選取並去除多餘約束，代以多餘約束反力，列出變形協調方程，見圖(b)。超靜定結構9變形協調方程③用能量法計算和PABC(c)x(d)xABX1AB1x(e)由莫爾定理可得(圖c、d、e)超靜定結構10④求多餘約束反力將上述結果代入變形協調方程得⑤求其他約束反力

由平衡方程可求得A端反力，其大小和方向見圖(f)。CPAB(f)⑥作彎矩圖，見圖(g)。(g)+–⑦求梁中點的撓度超靜定結構11選取基本靜定系(見圖(b))作為計算對象。單位載荷如圖(h)。PABCX1(b)x1ABC(h)用莫爾定理可得注意：對於同一超靜定結構，若選取不同的多餘約束，則基本靜定系也不同。本題中若選固定段處的轉動約束為多餘約束，基本靜定系是如圖(i)所示的簡支梁。CPAB(i)X1超靜定結構12二、力法正則方程上例中以未知力為未知量的變形協調方程可改寫成下式X1——多餘未知量；d11——在基本靜定系上，X1取單位值時引起的在X1作用點沿

X1方向的位移；D1P——在基本靜定系上，由原載荷引起的在X1作用點沿

X1方向的位移；變形協調方程的標準形式，即所謂的力法正則方程。超靜定結構13對於有無數多餘約束反力的超靜定系統的正則方程如下：由位移互等定理知：dij：影響係數，表示在基本靜定系上由Xj取單位值時引起的在Xi作用點沿Xi方向的位移；DiP：自由項，表示在基本靜定系上，由原載荷引起的在Xi

作用點沿Xi

方向的位移。超靜定結構14例2試求圖示剛架的全部約束反力，剛架EI為常數。qaABa解：①剛架有兩個多餘約束。②選取並去除多餘約束，代以多餘約束反力。qABX1X2③建立力法正則方程④計算係數dij和自由項DiP用莫爾定理求得超靜定結構15qABx1x2ABx1x211ABx1x2超靜定結構16⑤求多餘約束反力將上述結果代入力法正則方程可得⑥求其他支反力

由平衡方程得其他支反力，全部表示於圖中。qAB超靜定結構17三、對稱與反對稱性質的利用

結構幾何尺寸、形狀，構件材料及約束條件均對稱於某一軸，則稱此結構為對稱結構。E1I1E1I1EI對稱軸E1I1E1I1EI對稱軸E1I1E1I1EI對稱軸

當對稱結構受力也對稱於結構對稱軸，則此結構將產生對稱變形。若外力反對稱於結構對稱軸，則結構將產生反對稱變形。超靜定結構18

正確利用對稱、反對稱性質，則可推知某些未知量，可大大簡化計算過程：如對稱變形對稱截面上，反對稱內力為零或已知；反對稱變形反對稱截面上，對稱內力為零或已知。對稱軸X1X2X2X3PX1X3例如：X1X3PX1X3PX2X2PP超靜定結構19例3

試求圖示剛架的全部約束反力。剛架EI為常數。ABCPPaa解：圖示剛架有三個多餘未知力。但由於結構是對稱的，而載荷反對稱，故對稱軸橫截面上軸力、彎矩為零，只有一個多餘未知力（剪力），只需列出一個正則方程求解。PPX1X1用莫爾定理求D1P和d11。超靜定結構20Px1x2x1x21則由平衡方程求得：ABPPMBRBHBMARAHA超靜定結構21§12-4連續梁與三彎矩方程

為減小跨度很大直梁的彎曲變形和應力，常在其中間安置若干中間支座，在建築、橋樑以及機械中常見的這類結構稱為連續梁。撤去中間支座，該梁是兩端鉸支的靜定梁，因此中間支座就是其多餘約束，有多少個中間支座，就有多少個多餘約束，中間支座數就是連續梁的超靜定次數。一、連續梁與超靜定次數012n-1n+1nl1l2lnln+1M1M2Mn-1MnMn+1超靜定結構22二、三彎矩方程

連續梁是超靜定結構，靜定基可有多種選擇，如果選撤去中間支座為靜定基，則因每個支座反力將對靜定梁的每個中間支座位置上的位移有影響，因此正則方程中每個方程都將包含多餘約束反力，使計算非常繁瑣。

如果設想將每個中間支座上的梁切開並裝上鉸鏈，將連續梁變成若干個簡支梁，每個簡支梁都是一個靜定基。

這相當於把每個支座上梁的內約束解除，即將其內力彎矩M1、M2、…Mn-1、Mn、…作為多餘約束力(見上圖)，則每個支座上方的鉸鏈兩側截面上需加上大小相等、方向相反的一對力偶矩，與其對應的位移是兩側截面的相對轉角。超靜定結構23

如從基本靜定系中任意取出兩個相鄰跨度ln、ln+1，由於是連續梁，撓曲線在n支座處光滑連續,則變形協調條件為:n-1n+1nlnln+1Mn+1Mn11wnwn+1anbn+1Mn-1Mn-1Mnn-1nn+1nMn+1超靜定結構241nwnanMn-1n-1lnMn1.求qn左:(可查表,再用疊加法; 也可用圖乘法或莫爾積分)Mn+11wn+1bn+1Mnn+1nln+12.求qn右:超靜定結構25三彎矩方程

對於連續梁的每一個中間支座都可以列出一個三彎矩方程.

所以可能列出的方程式的數目恰好等於中間支座的數目，也就是等於超靜定的次數。

而且每一個方程式中只含有三個多餘約束力偶矩，這就使得計算得以一定的簡化。

如各跨截面相同,即In=In+1,則三彎矩方程簡化為:超靜定結構26例4

試用三彎矩方程作等剛度連續梁AC的彎矩圖。見圖(a)。ABCqP=qlll/2l/2解：AC梁總共有二跨，跨長l1=l2=l。中間支座編號應取為1，即n=1。由於已知0，2兩支座上無彎矩，故(a)ABCqP=qlMB(b)超靜定結構2