26.4 第3课时 抛物线形问题（课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

#26.4第3课时实际问题与二次函数——抛物线形问题（人教版）##✅核心思路拱桥、隧道、投篮、喷泉等实物轮廓是抛物线，**建立平面直角坐标系**，把实际问题转化成二次函数。###解题步骤1.**建坐标系**（最关键！一般把顶点放在$\bolds(\boldsymbol{y})mbol{(\boldsymbol{y})}$轴上，简化计算）-优先：抛物线顶点为$((0,0))$，对称轴为$(\boldsymbol{y})$轴，解析式设$\bolds(\boldsymbol{y})mbol{(\boldsymbol{y})=ax^2}$-或者顶点$((0,k))$，解析式$\bolds(\boldsymbol{y})mbol{(\boldsymbol{y})=ax^2+k}$2.把已知实物中的长度，转化为坐标系里**点的坐标**3.将点代入解析式，求出$a$，得到函数4.根据问题求对应$x$或$(\boldsymbol{y})$，再转回实际长度作答>>重要提醒：坐标是有正负的，但**实际长度一定取正数**##📖经典例题（拱桥问题）有一座抛物线形拱桥，拱顶离水面2m，水面宽4m。水面下降1m，水面宽度增加多少？解：①建系：以拱顶为原点，水平向右为$x$轴，竖直向下为$(\boldsymbol{y})$轴解析式：$(\boldsymbol{y})=ax^2$水面宽4m，拱顶离水面2m，水面端点坐标$((2,2))$②代入$((2,2))$：$2=a\cdot2^2\Rightarrow4a=2\Rightarrowa=\dfrac12$抛物线：$\bolds(\boldsymbol{y})mbol{(\boldsymbol{y})=\dfrac12x^2}$③水面下降1m，此时$(\boldsymbol{y})=3$$3=\dfrac12x^2\Rightarrowx^2(=6)\Rightarrowx=\pm\sqrt6$此时水面宽：$2\sqrt6$m④宽度增加量：$2\sqrt6-4$答：水面宽度增加$\bolds(\boldsymbol{y})mbol{(2\sqrt6-4)}$米。>>另一种建系方式：水面中点为原点，拱顶$((0,2))$，解析式$(\boldsymbol{y})=ax^2+2$，水面两点$(-2,0),((2,0))$，也可以算出，**坐标系选择不同，解析式不同，但最终实际长度答案不变**。##⚠高频易错点1.坐标和实际长度**不要混淆**；纵坐标不一定代表高度，要看坐标系怎么建2.求宽度：算出$x$，宽度=$|x_1-x_2|$3.看清题意：问**现在宽度**还是**增加了多少**（大坑！）4.单位统一##📝基础过关一座抛物线拱桥，顶点在$((0,4))$，过点$((3,0))$，解析式设$(\boldsymbol{y})=ax^2+4$，代入求$a$。答案$0=a\cdot3^2+4\Rightarrow9a=-4\Rightarrowa=-\dfrac49$，解析式$\bolds\(\boldsymbol{y}\)mbol{\(\boldsymbol{y}\)=-\dfrac49x^2+4}$#📚练习题##一、填空题1.喷泉水流轨迹是抛物线，顶点$((0,3))$，过$((2,0))$，解析式________。##二、解答题2.某隧道截面是抛物线，顶点距地面6m，地面宽度12m。建立坐标系，顶点$((0,6))$。(1)求抛物线解析式；(2)一辆高4.5m，宽4m货车，能否安全通过隧道？3.篮球投篮，球的运动轨迹为抛物线。以出手点水平位置为x轴，竖直向上(\boldsymbol{y})轴，抛物线顶点$((4,4))$，球出手点$(0,\dfrac53)$，求抛物线解析式。参考答案1.$\(\boldsymbol{y}\)=-\dfrac34x^2+3$2.解：(1)顶点$((0,6))$，设$(\boldsymbol{y})=ax^2+6$，地面端点$((6,0))$代入：$0=36a+6\Rightarrowa=-\dfrac16$解析式：$\bolds(\boldsymbol{y})mbol{(\boldsymbol{y})=-\dfrac16x^2+6}$(2)车高4.5，令$(\boldsymbol{y})=4.5$$4.5=-\dfrac16x^2+6\Rightarrow\dfrac16x^2=1.5\Rightarrowx^2=9$，$x=\pm3$此时宽度$(=6)$m，$(6>4)$，**可以安全通过**。3.解：顶点$((4,4))$，设顶点式$(\boldsymbol{y})=a(x-4)^2+4$代入$(0,\dfrac53)$$\dfrac53=a(0-4)^2+4\Rightarrow16a=\dfrac53-4=-\dfrac73$$a=-\dfrac7{48}$解析式：$\bolds(\boldsymbol{y})mbol{(\boldsymbol{y})=-\dfrac7{48}(x-4)^2+4}$##本章小结（26.4三类应用题）1.几何面积最值：矩形篱笆，二次函数求面积最大值2.销售利润最值：总利润=单件利润×销量3.抛物线模型：拱桥、投篮、喷泉，建坐标系求解析式二次函数整章新课到此结束。你想要：①二次函数整章综合复习提纲②一套全章综合测试卷（带解析）③只给无答案练习题用来刷题？人教版（新教材）数学九年级上册26.4第3课时抛物线形问题授课教师：.

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9年级（

）班.

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2026/10/20

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第二十六章二次函数123理解实物抛物线与二次函数图象的对应关系，掌握建立适当平面直角坐标系解决实物抛物线问题的核心方法；能准确将实际问题中的长度、高度转化为坐标系中点的坐标，并解决拱桥、投篮等实际问题；

1.上节课我们学习了用二次函数解决最大利润问题，解决这类实际最值问题的一般步骤是什么呢？回顾1.分析题意，确定变量2.分类讨论，建立模型3.确定范围，求解最值4.比较结果，得出方案①拱桥的轮廓②篮球投篮的轨迹③喷泉水柱等我们知道二次函数的图象是抛物线，本身就是生活中许多物体的形状，比如：今天我们就来学习如何把这些实物抛物线转化为数学模型.情境引入

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当堂练习一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4米时，水面宽是10米，突降暴雨后水面上升1米，此时水面宽为多少？

二次函数的图象是抛物线，建立适当的平面直角坐标系，就可以根据已知条件求出这条抛物线对应的二次函数，进而解决问题.情境引入

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当堂练习如何建立适当的平面直角坐标系？OxyOxyOxy情境引入

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当堂练习

为简单起见，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.

二次函数的三种形式一般式：y=ax²+bx+c(a≠0)1顶点式：y=a(x−h)²+k(a≠0)2交点式：y=a(x−x1)(x−x2)

(a≠0)3顶点在x轴上：y=a(x−h)²

(a≠0)顶点在y轴上：y=ax²+k(a≠0)顶点为原点：y=ax²

(a≠0)已知抛物线上的任意三点已知抛物线与x轴的交点已知抛物线的顶点oxyoxy二次函数的形式oxyoxyoxyoxy顶点式交点式情境引入

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当堂练习2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以6:5战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．求这条抛物线的表达式．解：由题意可得：点B的横坐标为

，设这条抛物线的表达式为

，将

，

代入解析式得

，解得

，∴．情境引入

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当堂练习在万物复苏的春天，露营成了很多人们放松休闲的选择，它带给我们的不仅仅是亲近自然的体验，更是一种身心的放松和宁静．周末小雅一家去公园露营，他们在草坪上撑开了一个露营帐篷．该露营帐篷撑开后（如图1）上面的轮廓可近似看作抛物线．如图2，以帐篷左侧A的底部为原点O，以水平地面为x轴，过点O且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线的最高点A距离地面2m，水平地面上的点O，B之间的距离为3m．(1)求该抛物线的函数表达式；(1)解：由题意，

，

，设该抛物线的函数表达式为

．将点A，B代入，得

，解得

，∴该抛物线的函数表达式为

；情境引入

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当堂练习(2)为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于1.28m，求活动区域在水平方向上的最大宽度．(2)解：由(1)知，抛物线的函数表达式为

，当

时，得

，解得

，

，∴，活动区域在水平方向上的最大宽度为1.8m．情境引入

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当堂练习开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面CPD可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼．现有以下三条素材：素材1：整个图形是轴对称图形；素材2：跨度AB=24米，竖直支撑AC=BD=1米，最高点P到AB的距离为5米；素材3：两灯笼ME，NF之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称．现以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线(直线OP)为y轴，建立平面直角坐标系．(1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围）情境引入

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当堂练习(1)解：由题意可知，点D(12,1)，P(0,5)．设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为

，将点D(12,1)代入得，

，解得

，∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为

；(1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围）情境引入

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当堂练习(2)若

米，求灯笼底端（点E或F）到的距离．(2)解：由题意知

，

，M、N关于抛物线的对称轴对称，∴点N的横坐标为2，当

时，

，

，∴灯笼底端（点E或F）到的距离为3.5米．情境引入

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当堂练习如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图2，已知某一抛物线状沙丘OPA两翼端点的水平距离OA=160m，沙丘弧顶最高点P到OA的距离为64m，抛物线的对称轴垂直于OA，以OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系，现计划从点M到点N种植一排胡杨(M、N在抛物线上，点M在点N的左侧).(1)求抛物线状沙丘OPA的函数表达式；(1)解：根据题意可得抛物线状沙丘的顶点坐标为

，故设抛物线的函数表达式为

．将点

代入，得

，解得

，∴抛物线状沙丘的函数表达式为

．情境引入

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当堂练习(2)

轴于点E

，

轴于点F，若

，求M、N两点之间的距离．(2)解：令

，得

，解得

，

，∴，∴M、N两点之间的距离为110m．1.返回[连云港中考]如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a(x－3)2＋2.5运动，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为________m.8返回2.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽6m，水面下降________m，水面宽8m.返回3.[广东中考]如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度为0.1785km，主缆最低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的解析式．解：建立平面直角坐标系，如图所示：则抛物线的顶点坐标为(0，0.0015)，

即A(0.85，0.18)．设该抛物线的解析式为y＝ax2＋0.0015，将A(0.85，0.18)的坐标代入y＝ax2＋0.0015，得0.18＝0.852a＋0.0015，解得a＝

，∴该抛物线的解析式为y＝

x2＋0.0015.(建立平面直角坐标系不唯一，所求解析式不唯一)返回情境引入

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当堂练习如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门OB为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门(1)解：由题意得：抛物线的顶点坐标为

，设抛物线的解析式为：

，∵经过点

，

，解得：

，抛物线的解析式为

，当

时，

，∴不能射进球门；（忽略其他因素）；情境引入

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当堂练习(2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？(2)解：设向后方移动nm，则移动后的抛物线的解析式为：

，∵经过点

，

，即

，

或

，解得：

，

（不合题意，舍去），∴向后移动1m才能让足球经过点O正上方2.25m处．情境引入

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当堂练习“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为x轴，1dm为1个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线

的一部分，点P从点M(6,n)处出手，矩形ABCD为壶,

，

，

.如图

，

，若点M为抛物线的顶点，且抛物线经过点N(16,9)．(1)求抛物线的解析式；情境引入

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当堂练习(1)求抛物线的解析式；(1)解：由题意，设抛物线的解析式为

，∵过点

代入得：

，∴

，抛物线解析式为

；情境引入

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当堂练习(2)解：抛物线经过点

时，

，∴，抛物线经过点

时，

，

，当

时，P落在BC上．(2)竖直提高点P的出手位置（点M），使点P落在BC上（不含边界），求n的取值范围．情境引入

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当堂练习某蔬菜种植基地建造了一批塑料大棚（如图1）,其截面（如图2）由矩形ABCD和抛物线的一部分DMC构成（点M为最高点）,A,B在水平地面上，曲线ADMCB为大棚外沿，CD为大棚的加固钢架．以AB所在的直线为x轴、AB的中点O为原点建立平面直角坐标系．已知AB=20m，AD=2m大棚最高点M到水平地面的距离为8m．

(1)求曲线DMC所在抛物线的表达式．

(1)解：由题意可知，

．设曲线DMC所在抛物线的表达式为

，代入，得

，解得

，∴曲线DMC所在抛物线的表达式为

．情境引入

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当堂练习(2)雨季到来，为加固大棚，准备安装三条钢架EF,EH,GF，其中点E,F在曲线上DMC（点F在点E右侧且不与点C重合），点H,G在AB上，且四边形EFGH为矩形，求三条钢架的长度之和最多是多少米．(2)解：设点F的坐标为

的长度之和为wm，可得

，则

．

，∴当

时，取最大值

，答：三条钢架的长度之和最多是

．情境引入

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当堂练习(3)在冬季，光照时长不足，为增加光照时间，促进蔬菜光合作用，准备安装一排补光灯用于夜间补光，要求：补光灯安装在距离地面5m且与地面平行的一条直线上，每相邻2个补光灯之间的水平距离相等且不超过3m，最外侧的2个补光灯安装在曲线DMC上．求至少需要安装几个补光灯（参考数据：

）．(3)解：当

时，

，解得

，∴最外侧的2个补光灯之间的距离为

，约为

．∵每相邻2个补光灯之间的水平距离相等且不超过

，如果中间安装3个补光灯，检验：

，不符合要求；如果中间安装4个补光灯，检验；

，符合要求；如果中间安装5个补光灯，检验：

，符合要求．综上可知，至少要安装6个补光灯．返回4.[唐山路北区期中]一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h＝10t－5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间是(

)A．5秒

B．10秒

C．1秒

D．2秒D某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s(单位：m)关于行驶时间t(单位：s)的函数解析式是s＝－5t2＋30t，遇到刹车时，汽车从刹车到停下来共用了________．5.返回3s某架飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)近似满足函数关系y＝ax2＋bx(a≠0)．由电子监测获得滑行时间x与滑行距离y的几组数据如下：返回6.滑行时间x/s0246810滑行距离y/m0114216306384450(1)根据上述数据，求出满足的函数关系式y＝ax2＋bx(a≠0)；返回解：根据表格可以得出函数图象过点(2，114)，(4，216)，(2)飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？解：根据题意，飞机着陆后滑行一段距离停下来，此时滑行距离y取得最大值，∴飞机着陆后滑行600m才能停下来，此时滑行的时间是20s.返回7.[石家庄期中]图①是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线AC，BD为某抛物线的一部分，杯口AB＝8cm，杯底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm.如图②，将盛有部分水的该水杯倾斜45°，水面正好经过点B(即∠ABP＝45°)．嘉淇在图①中建立了平面直角坐标系(抛物线的顶点在y轴上)，对于下列结论，判断正确的是(

)结论Ⅰ：图①中，玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为y＝x2－16；结论Ⅱ：图②中，点P到杯口AB的距离为5cm.A．Ⅰ不对，Ⅱ对

B．Ⅰ对，Ⅱ不对C．Ⅰ和Ⅱ都对

D．Ⅰ和Ⅱ都不对B返回返回8.[保定一模如图，消防人员在进行救援火灾演练，发现在距离失火大楼2m的A位置向上面喷水，水流刚好在窗上沿B处达到最高点后进入失火房间．已知A点距离地面2m，窗上沿B距离地面14m.(1)以消防员脚下地面O为原点，建立平面直角坐标系，使水流正好在一个平面上，求水流抛物线的解析式；解：由题意知A(0，2)，B(2，14)，设水流抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋14，把A(0，2)的坐标代入，得2＝a(0－2)2＋14，解得a＝－3，∴水流抛物线的解析式是y＝－3(x－2)2＋14.返回返回(2)实际操作中发现，失火中心点在房间内与窗上沿B水平距