27.2 第1课时　反比例函数的图象和性质（课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上册**27.2第1课时反比例函数的图象和性质**专项练习（约1500字）---##一、知识梳理**1.图象的画法（描点法三步）：**列表→描点→连线。注意两点：-反比例函数的图象是**双曲线**，由**两支**曲线组成；-自变量x≠0，所以图象**永不与x轴、y轴相交**，但两支分别无限靠近坐标轴。**2.图象与k的关系（核心性质）：**-当**k>0**时，两支分别位于**第一、三象限**，在每个象限内y随x的增大而**减小**；-当**k<0**时，两支分别位于**第二、四象限**，在每个象限内y随x的增大而**增大**。**3.重要提醒：**反比例函数的增减性必须强调“**在每个象限内**”，不能笼统说“y随x增大而减小/增大”，因为两支曲线跨象限比较大小没有意义。---##二、基础过关（图象与象限判断）**1.填空：**（1）y=5/x的图象位于第____、____象限；（2）y=−3/x的图象位于第____、____象限；（3）反比例函数y=6/x在每一个象限内，y随x的增大而____；（4）反比例函数y=−4/x在每一个象限内，y随x的增大而____。**2.下列说法是否正确，请说明理由：**（1）反比例函数的图象是一条直线；（2）y=8/x的图象过点(−4,−2)；（3）图象两支离坐标轴越近，说明|k|越小。**3.点A(1,3)在反比例函数y=k/x的图象上，判断该函数图象位于哪些象限，并求出k的值。**---##三、能力提升（增减性与比较大小）**4.已知反比例函数y=10/x，比较x₁=2与x₂=5时函数值y₁、y₂的大小（用两种方法）。****【方法一】**直接代入：y₁=10/2=5，y₂=10/5=2，故y₁>y₂。**【方法二】**性质判断：k=10>0，在第一象限内y随x增大而减小，因2<5，故y₁>y₂。**5.已知点(−2,y₁)、(1,y₂)、(3,y₃)在反比例函数y=−4/x的图象上，比较y₁、y₂、y₃的大小。****【点拨】**k=−4<0，图象在二、四象限。点(−2,y₁)在第二象限，y₁>0；点(1,y₂)、(3,y₃)在第四象限，y₂、y₃<0，且x越大y越小，故y₂>y₃。综合得**y₁>y₂>y₃**。（关键：先分象限定符号，再比较大小。）**6.若反比例函数y=k/x的图象在第二、四象限，则k的取值范围是____；若在每一象限内y随x增大而减小，则k的取值范围是____。****7.反比例函数y=a/x中，若a的绝对值越大，图象离坐标轴越____（填“近”或“远”）。**---##四、综合应用（待定系数与图象结合）**8.已知反比例函数的图象经过点A(2,−1)。**（1）求该函数的解析式；（2）判断点B(−1,2)、C(−2,1)、D(1,−2)是否在图象上；（3）该图象位于哪些象限？在每个象限内y随x的变化情况如何？**9.反比例函数y=k/x的图象经过点(m,n)，且m+n=0，mn=−6。**（1）求k的值；（2）判断点P(m,n)所在的象限。**10.已知函数y=(k−1)/x的图象位于第二、四象限，求k的取值范围；若图象位于第一、三象限，则k的取值范围又是什么？**---##五、易错辨析（改错）**11.指出错误并改正：**小华说：“反比例函数y=2/x中，因为2>0，所以y随x的增大而减小，所以当x=−1时y=−2，当x=1时y=2，即x增大则y也增大，矛盾！”**答：**小华忽略了“**在每个象限内**”这一前提。−1与1分属第一、三象限的两支曲线，不能直接比较。应分别看：在x>0或x<0的同一范围内，y随x增大而减小。**12.判断y=6/x的图象是否经过点(0,0)和(−6,−1)，并说明理由。**---##六、挑战题**13.已知反比例函数y=k/x（k>0）图象上有一点P(a,b)，a>0。**（1）点P在第几象限？（2）若a增大为原来的2倍，要使点仍在图象上，b应怎样变化？为什么？**14.反比例函数y=k/x与一次函数y=x+1的图象都经过点A(1,2)。**（1）求k的值；（2）该反比例函数图象位于哪些象限？若点(m,n)在第四象限的分支上，则n____0（填“>”“<”或“=”）。---##参考答案1.（1）一、三；（2）二、四；（3）减小；（4）增大。2.（1）错，是双曲线；（2）对，因−4×(−2)=8=k；（3）对，|k|越小曲线越靠近坐标轴。3.k=3，图象位于一、三象限。4.y₁=5，y₂=2，y₁>y₂。5.y₁>y₂>y₃。6.k<0；k>0。7.远。8.（1）y=−2/x；（2）B、C、D均在（因xy=−2）；（3）二、四象限，每个象限内y随x增大而增大。9.（1）由m+n=0得n=−m，mn=−m²=−6，m²=6；k=mn=−6；（2）mn<0，P在二或四象限。10.k−1<0，即k<1；k>1。12.不过(0,0)（x≠0）；经过(−6,−1)（因(−6)×(−1)=6）。13.（1）一象限；（2）b变为原来的一半（由ab=k为定值得2a·(b/2)=k）。14.（1）k=2；（2）一、三象限；n<0。---**说明：**本练习紧扣27.2第1课时「反比例函数的图象和性质」——双曲线两支的象限分布、增减性的“在每个象限内”前提、待定系数法求解析式，基础到综合共14题、约1500字。需要我合并前两个课时出一份完整文档，或增加函数图象配图、答题空行吗？人教版（新教材）数学九年级上册27.2第1课时反比例函数的图象和性质授课教师：.

班

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8年级（

）班.

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间：.

2026/10/20

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第二十七章反比例函数123

掌握用描点法画反比例函数图象的步骤，能初步运用性质解决简单问题.

如何画函数的图象.回顾：描点法画函数图象的步骤列表：在自变量的取值范围内，列表表示几对x与y的对应值.描点：以表中各对对应值为点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中描出各点.连线：按从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点并向两端延伸.x…−12−6−4−3−2−11234612………列表表示几组x与y的对应值如下：y=x

6

−0.5−1−1.5−2−3−66321.510.5函数所在象限增减性第一、三象限x>0时，y随

x的增大而减小x<0时，y随

x的增大而减小y=x

6

函数的图象与坐标轴会相交吗？y=x

6

因为x≠0，y≠0，所以图象不会与x轴，y轴相交.

事实上，两坐标轴是函数图象的渐近线.1.该反比例函数图象由

条曲线组成.2.该图象位于

象限.3.在每个象限内，函数值y随着自变量x的

增大而

.4.猜想：当k>0时，反比例函数的图象位置和增减性.两第一，三减小图象位于第一、三象限，在每个象限内，y

随x

的增大而减小.你能类比画出函数

的图象吗？反比例函数的图象和性质

图象由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限，在每个象限内，y

随x

的增大而减小.反比例函数(k＞0)的图象和性质：这个条件可以删去吗？为什么？xyo不能，因为k>0时，第一象限图象对应的y值永远大于第三象限图象对应的y值.

x…−6−4−3−2−11234612………0.511.5236−6−3−2−1.5−1−0.51.该反比例函数图象由

条曲线组成.2.该图象位于

象限.3.在每个象限内，函数值y随着自变量x的

增大而

.4.猜想：当k<0时，反比例函数的图象位置和增减性.两第二，四增大图象位于第二、四象限，在每个象限内，y

随

x

的增大而减小.反比例函数的图象和性质

反比例函数(k<0)的图象和性质：这个条件可以删去吗？为什么？不能，因为k<0时，第二象限图象对应的y值永远大于第四象限图象对应的y值.图象由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限，在每个象限内，y

随x

的增大而减小.xyo待定系数法k>0k<0图象位置增减性图象的发展趋势两支曲线分别位于第一，三象限两支曲线分别位于第二，四象限在每一象限内,y随x的增大而减小在每一象限内,y随x的增大而增大无限接近于x,y轴，但永远不能于x,y轴相交xyoxyo一般地，反比例函数的图象是两支双曲线，它具有以下性质：1.返回画出反比例

的图象．完成下面的表格：x…－4－2－1－0.50.5124…

…

…

…

…－0.5－1－2－44210.50.5124－4－2－1－0.5描点连线：观察图象，回答下列问题：(1)反比例函数图象的形状是________，它是轴对称图形，有________条对称轴；(2)反比例函数的图象与坐标轴________交点(填“有”或“没有”)．双曲线2没有返回图略．返回2.已知反比例函数y＝

，则其图象在平面直角坐标系中可能是(

)C

一、三二、四一减小增大减小双曲线是中心对称图形么？是轴对称图形吗？如果是，请指出对称轴.中心对称：反比例函数的图象关于原点对称轴对称：反比例函数的图象关于第一，三象限角平分线(直线y=x或直线y=−x)对称.k值相反的两个反比例函数的图象关于x轴，

y轴对称.观察如图所示的反比例函数的图象，你能发现k值和反比例函数图象离原点的远近有何关系？反比例函数∣k∣越大，反比例函数的图象离原点越远.

函数图象在第一、三象限.

当x>0时，y的值随x的增大而减小.正确.当x>0时，函数图像位于第一象限，y的值随x的增大而减小.

当x>−1时，y<−3.若点(a,b)在它的图象上，则点(b,a)也在该图象上当x=−1时，y=−3.，∵当x<0时，图象在第三象限，y随x的增大而减小，∴当−1<x<0时，y<−3，又∵当x>0时，y>0，∴当x>−1时，y的取值范围是y<−3或y>0，故该说法错误.若点(a,b)在函数图象上，则

，即ab=3，∴

，即点(b,a)也在该函数图象上，故正确．

反比例函数和正比例函数的图象都是中心对称图形，因此它们的交点也是关于原点中心对称的.

已知点(a−1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数(k＞0)的图象上,若y1＜y2，求a的取值范围.解：由题意知，在图象的每一支上，y随x的增大而减小.①当这两点在图象的同一支上时，∵y1＜y2，∴a−1＞a+1，无解；②当这两点分别位于图象的两支上时，∵y1＜y2，∴必有y1＜0＜y2.∴a−1＜0，a+1＞0，解得：−1＜a＜1.故a的取值范围为：−1＜a＜1．

(2)连接OA,OB，求出△OAB的面积．(2)解：如图，设一次函数与x轴交于点C，令y1=0，则−x+1=0，解得x=1，∴

，又A(−2,3),B(3,−2)，∴

．返回3.若反比例函数y＝

的图象在第二、四象限，则k的值可以是(

)A．－1

B．1C．2D．3A返回4.[湖南中考]对于反比例函数y＝

，下列结论正确的是(

)A．点(2，2)在该函数的图象上B．该函数图象的两支分别位于第二、四象限C．当x＜0时，y随x的增大而增大D．当x＞0时，y随x的增大而减小D[河北中考]在反比例函数y＝

中，若2＜y＜4，则(

)A．

＜x＜1 B．1＜x＜2C．2＜x＜4 D．4＜x＜8返回5.B[天津中考]若点A(－3，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y＝

的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(

)A．y1＜y2＜y3

B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2

D．y2＜y3＜y1返回6.D返回7.【新视角结论开放题】[上海中考]已知一个反比例函数的图象在各个象限内，y随x的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是________________．(只需写出一个)返回8.反比例函数y＝

的图象在第一、三象限，则点(k，－3)在第________象限．四返回9.(1)已知反比例函数y＝

，当x＜0时，y________0；(2)【易错题】已知反比例函数y＝

，当y≥－1时，x的取值范围为__________．<x≥3或x＜0返回10.[石家庄调研已知点M(a1，b1)，N(a2，b2)为反比例函数y＝(k<0)图象上的两个点，并且a1<a2，则关于b1和b2关系的描述正确的是(

)A．b1>b2B．b1<b2C．当a1<0<a2时，b1>b2D．当0<a1<a2时，b1>b2C返回11.[陕西中考]已知点A(－2，y1)和点B(m，y2)均在反比例函数y＝

的