25.3第1课时几何问题（课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

#25.3第1课时一元二次方程的应用——几何问题专项练习（人教版\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)约1450字）##一、核心知识点梳理###1.解题思路利用几何图形面积、周长等公式\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)设未知数\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)列出一元二次方程\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)**最后一定要检验解是否符合实际意义**（边长＞0）。常用公式：矩形面积：$\boldsymbol{S=长\times宽}$；正方形面积：$S=a^2$；三角形面积：$S=\dfrac12ah$。###2.典型模型①**边框/道路问题**：平移法\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)把道路移到边上\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)剩余耕地拼成新矩形；②**裁剪、折长方体**：四角剪去小正方形\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)折起后\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)长方体高=小正方形边长；③**面积增减**：边长变化引起面积改变。###3.应用题通用步骤审（读题）→设（未知数）→列（方程）→解（方程）→验（检验：正数+符合题意）→答。>易错提醒1.几何边长必须**大于0**\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)解出负数直接舍去；2.道路问题平移后\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)长和宽都要减去道路宽度\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)不要只减一边；3.设未知数写单位\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)作答也要带单位；4.解方程得到两个根\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)要结合实际取舍\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)不能直接全保留。##二、基础过关（选择+填空）1.矩形长8\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽5\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)长增加$x$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽不变\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)面积变成40\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)列方程（）A.$\(8(5+x)=40\)$B.$(8+x)\times5=40$C.$\(8x+5=40\)$D.$8\times5+x=40$**答案：B**2.用20cm铁丝围成矩形\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)面积$24\mathrm{cm^2}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)设长为$x\mathrm{cm}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽为（）A.$20-x$B.$10-x$C.$20-2x$D.$x-10$**答案：B**3.矩形地面长30m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽20m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)四周修宽$x$的小路\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)中间绿地长____\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽____。**答案：$30-2x\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)20-2x$**4.从矩形四角剪边长为$x$的小正方形折无盖盒子\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)盒子高=____。**答案：$x$**5.矩形面积$42\mathrm{m^2}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)长比宽多1m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)设宽$x\mathrm{m}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)列方程：________。**答案：$\(x(x+1)=42\)$**##三、能力提升（解答题\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)写出完整步骤）6.一个矩形\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)长比宽多3cm\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)面积$28\mathrm{cm^2}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)求矩形长和宽。**解**设宽为$x\mathrm{cm}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)则长为$(x+3)\mathrm{cm}$。$\(x(x+3)=28\)$整理：$x^2+3x-28=0$因式分解：$(x+7)(x-4)=0$$x_1=4,\x_2=-7$（边长不能为负\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)舍去）$\(x+3=7\)$答：矩形宽4cm\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)长7cm。7.用长24m篱笆围矩形场地\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)面积$32\mathrm{m^2}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)求矩形长与宽。**解**设矩形长为$x\mathrm{m}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)则宽为$(12-x)\mathrm{m}$。$x(12-x)=32$整理：$x^2-12x+32=0$$(x-4)(x-8)=0$$x_1=8,\x_2=4$长大于宽\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)长8m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽4m。答：矩形长8m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽4m。8.一块矩形铁皮长30cm\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽20cm\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)四角各剪去边长$x$的正方形\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)折成底面积$264\mathrm{cm^2}$无盖长方体\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)列出方程。**解**底面长：$30-2x$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)底面宽：$20-2x$$(30-2x)(20-2x)=264$整理：$4x^2-100x+336=0$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)化简$x^2-25x+84=0$答：方程为$(30-2x)(20-2x)=264$。9.易错题判断正误（对√\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)错×）①矩形长20宽15\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)四周宽$x$道路\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)绿地长$20-x$（×\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)应该$20-2x$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)两边都有路）②解几何应用题\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)负数根直接舍去（√）③周长28矩形\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)长$x$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽$28-x$（×\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)周长$\(2(a+b)\)$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽是$14-x$）④四角剪正方形折盒子\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)盒子高就是小正方形边长（√）##四、中考综合训练10.如图\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)矩形场地长40m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽26m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)修建同样宽的道路\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)余下绿地面积$864\mathrm{m^2}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)道路宽相同\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)求道路宽。**解**设道路宽$x\mathrm{m}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)平移后绿地是新矩形\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)长$40-2x$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽$26-2x$。$$(40-2x)(26-2x)=864$$展开整理：$4x^2-132x+176=0$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)化简：$x^2-33x+44=0$（换经典原题：绿地864\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)长40宽26\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)改为纵向一条横向一条道路模型）重新标准题型：矩形长40m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽26m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)一条横向、一条纵向道路\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽$x$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)绿地$864$$(40-x)(26-x)=864$$x^2-66x+176=0$$(x-2)(x-64)=0$$x_1=2\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)x_2=64$（64＞40舍去）答：道路宽2m。11.有一块等腰直角三角形铁皮\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)直角边长10cm\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)裁去一个小等腰直角三角形\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)剩余面积$42\mathrm{cm^2}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)设裁掉直角边为$x$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)列方程并求解。**解**大三角形面积$\dfrac12\times10\times10=50$$50-\dfrac12x^2=42$$\dfrac12x^2=8\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)x^2=16$$x_1=4\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)x_2=-4$舍去。答：裁掉小三角形直角边长4cm。12.利用一面墙\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)用篱笆围成矩形花圃\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)墙长15m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)篱笆总长24m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)面积$40\mathrm{m^2}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)平行墙一边长为$x$m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)求矩形两边长。**解**平行墙长$x$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)垂直墙边长$\dfrac{24-x}{2}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)$x\le15$$$x\cdot\dfrac{24-x}{2}=40$$整理：$x^2-24x+80=0$$(x-4)(x-20)=0$$x_1=4\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)x_2=20$（20＞15\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)超出墙长舍去）平行墙边长4m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)垂直墙边长$\dfrac{24-4}{2}=10\mathrm{m}$。答：平行墙一边4m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)垂直墙一边10m。##五、方法总结几何面积应用题两大模型：**道路平移模型**、**靠墙篱笆模型**。核心技巧：平移道路\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)把分散绿地拼成完整矩形\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)简化列式；靠墙题目\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)注意墙长限制\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)解出来的边长不能超过墙的长度。高频陷阱：1.四周道路\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)只减去一个$x$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)忘记是$2x$；2.靠墙题型\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)篱笆只包含三条边\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)错误算四条边；3.得到两个解\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)忘记检验边长是否大于0\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)是否超过墙长；4.单位漏写\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)答句不带单位。几何应用题是一元二次方程应用题必考类型\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)经常和配方法、因式分解结合出题。需要我生成**无答案纯题目版本**打印练习吗？下一节写25.3第2课时增长率问题？人教版（新教材）数学九年级上册25.3第1课时几何问题授课教师：.

班

级：

9年级（

）班.

时

间：.

2026/10/20

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第二十五章一元二次方程123能运用勾股定理、矩形面积公式等几何知识找等量关系，列一元二次方程解决实际问题.准确挖掘几何问题中的隐含等量关系，合理检验方程根的实际意义.经历“审题—设元—列方程—解方程—检验—作答”的完整过程，培养分析和解决实际问题的能力.情境引入

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本课总结

当堂练习一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比.ABC解：由，得AC2＝AB·BC，设AB＝1，AC＝x，∴x2＝1×(1－x)即x2＋x－1＝0解这个方程，得（不合题意，舍去）则BC＝1－x.所以，黄金比

一此有关线段成比例的问题，往往可转化为利用一元二次方程求解的问题，再通过求解方程，获得问题的答案.黄金分割ABC黄金分割是一种分割线段的方法，每条线段有两个黄金分割点.如图，点C和点D都是线段AB的黄金分割点.D并且AD＝BC，AC＝BD.较长线段原线段＝较短线段较长线段情境引入

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当堂练习BEMNACD

黄金分割数在很多优美的图案中都有体现，如在常见的正五角星中存在黄金分割数.在随后的“相似”内容的学习，通过解一元二次方程，可以证明

再如，观察“情境引入”中鹦鹉螺外壳的截面，可以看出其轮廓形如螺线，而黄金螺线恰恰是通过黄金分割数得到的.情境引入

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当堂练习黄金分割在生活、艺术等方面还有很多应用.......情境引入

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当堂练习

长期以米，很多人认为黄金分割数是一个很特别的数，早在古希腊时期，《原本》中就有关于“内外比”的记载，即我们所说的黄金分割数，在古希腊以及文艺复兴时期的许多艺木设计中，都能发现黄金分割数的“身影”.因此，黄金分割数也与被视作一种数学眼光下的美的标准.

优选法是一种0.618法具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它作出重要贡献.1985年6月12日，华罗庚去世前几小时，仍在进行题为《理论数学及其应用》的学术报告，报告主要内容即优选法.华罗庚曾说过，他要工作到人生的最后一刻，他践行了自己的诺言！情境引入

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当堂练习是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数由勾股定理，得x²+(x+1)²=(x+2)²解方程,得x1=3，x2=–1（不符合题意，舍去）因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3,4,5.情境引入

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当堂练习如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（

）A．−2

B．±2

C．±1

D．1有没有这样一个数，先计算它的平方，然后加上它的3倍，运算结果与这个数的相反数减4相同．豆包内容由AI生成解：设这个数为x，∴

，整理得，

，∴

，解得，x=−2，∴这个数是−2．1.返回两个连续奇数的积是99，设较小的一个奇数为x，则可列方程为(

)A．x(x＋1)＝99B．x(x＋2)＝99C．x(x－1)＝99D．x(x－2)＝99B返回2.【新考法特征数表示法】如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．如果圈出的9个数中，最小数与最大数的积为161，则这个最小数是________．7返回3.一个正两位数，个位数字比十位数字小1，且个位数字与十位数字的乘积等于72.求这个正两位数．解：设这个正两位数的个位数字为x，则十位数字为x＋1.依题意，得x(x＋1)＝72，解得x1＝－9(不符合题意，舍去)，x2＝8，∴10(x＋1)＋x＝10×(8＋1)＋8＝98.答：这个正两位数为98.情境引入

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当堂练习如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为____________．解：根据图象可以得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为x，则最大数为

，根据题意得出：

，解得

：

，

（不合题意舍去），故最小的数为9，中间一行的数字分别为：15，16，17，18，最大的数为25，故这6个数的和为100．情境引入

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当堂练习用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96

m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？

假设细绳能围成面积为96

m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度，设矩形一边长为xm,由周长为40m：可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解.情境引入

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当堂练习解：设矩形的一边长为x

m，由矩形的周长为40m,可得此边的邻边长为(20−x)m,再由矩形的面积为96

m2，得

x(20−x)=96，解方程，得

x1=12，x2=8因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为96

m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m.用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96

m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？情境引入

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当堂练习用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96

m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？

情境引入

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当堂练习如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是

，求小路的宽．解：设小路宽为x

m，则种植花草部分的面积等于长为(100–2x)m，

宽为(50–2x)m的矩形的面积，依题意得：

，解得：

（不合题意，舍去），答：小路的宽是5m．情境引入

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当堂练习【问题情境】小豪毕业后决定从事农业养殖，他计划在老家建一个面积为160m2的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一面墙（如图），另三边用铁丝网围成，已知铁丝网的长为36m．(1)若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为多少米？(1)解：设垂直于墙的一边长为x

m，则平行于墙的一边长为(36–2x)m，∴

，解得：

，

；答：若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为10米或8米．情境引入

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当堂练习【方案设计】(2)若墙的长度为18m，则垂直于墙的一边长应设计为多少米？(2)解：当x=10，则平行于墙的一边长为：

符合题意；当x=8，则平行于墙的一边长为：

，

不符合题意；答：若墙的长度为18m，则垂直于墙的一边长应设计为10米．情境引入

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当堂练习【方案预测】(3)小豪经过实地考察，希望能在未来扩大养殖．其他条件不变，且墙足够长，你认为将长方形养鸡场的面积扩建为180m2是否可行？若可行，则请给出符合条件的方案；若不可行，则请说明理由．(3)解：不可行，理由如下：设垂直于墙的一边长为y

m，则平行于墙的一边长为(36–2y)m，∴

，整理得：

，

，∴此方程没有实数根，∴没有符合题意的方案．情境引入

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当堂练习数学兴趣小组发现：一个正整数的立方可以写成若干个连续奇数的和，例如：

,，

，…．他们进一步研究其中连续奇数中的最小奇数的规律时又发现：

，

，

，…．(1)如果将53写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是_______；解：(1)由题中规律可得，

，如果将53写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是21；情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习(2)如果将n3写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是，则的值为_______．(2)由题意可得规律为，将n3写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是

，则

，

，∵n为正整数，∴n–1和n是相邻的两个正整数，则

由可知，n=9．返回4.《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等，问：门高和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是(

)A．(x＋2)2＋(x－4)2＝x2

B．(x－2)2＋x2＝(x＋4)2C．x2＋(x－2)2＝(x－4)2

D．(x－2)2＋(x－4)2＝x2D[秦皇岛期中]如图，在宽4m，长6m的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，且种植花卉的面积为15m2，则铺设的石子路的宽为(

)A．1m

B．1.2m

C．1.5m

D．2m返回5.A[保定定州期中]如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5m)的矩形鸭舍ABCD，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门(由其他材料制成)，则BC的长为________m.返回6.5返回7.一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边长相差为2，求较长的直角边长x.解：根据题意可得x2＋(x－2)2＝102，整理，得x2－2x－48＝0，因式分解，得(x－8)(x