25.2.3 因式分解法（课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

#25.2.3因式分解法专项练习（人教版，约1450字）##一、核心知识点梳理1.**因式分解法原理**若$A\cdot\(\boldsymbol{B\(=0\)}\)$，则$\boldsymbol{\(\boldsymbol{A\(=0\)}\)}$**或**$\boldsymbol{\(\boldsymbol{B\(=0\)}\)}$。把一元二次方程整理为**左边因式相乘，右边\(=0\)**的形式，转化为两个一元一次方程求解。2.**适用形式**方程能整理成：$\boldsymbol{(x-x_1)(x-x_2)\(=0\)}$常用因式分解方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式。3.**解题步骤**①移项：把所有项移到左边，使方程右边$\(=0\)$；②分解：将左边多项式因式分解；③降次：得到两个一次因式相乘等于0；④转化：令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；⑤求解，写出两根。>易错提醒①**必须右边等于0**，不能直接两边同时除以含未知数的式子（会丢根）；②“或”表示两个因式只要一个为0即可，不是同时等于0；③提公因式注意符号；④不要在等式两边直接约去含有未知数的因式。##二、基础过关（选择+填空）1.方程$(x-2)(x+3)\(=0\)$的解是（）A.$\(x=2\)$B.$x=-3$C.$x_1=2,x_2=-3$D.$x_1=-2,x_2=3$**答案：C**2.方程$x^2-3x\(=0\)$因式分解后正确的是（）A.$x(x-3)\(=0\)$B.$x(x+3)\(=0\)$C.$(x-3)^2\(=0\)$D.$x^2=3x$**答案：A**3.$x^2-9\(=0\)$，因式分解得$(x+3)(\underline{\quad})\(=0\)$。**答案：$x-3$**4.方程$x(x-1)\(=0\)$的根：________。**答案：$x_1\(=0\),x_2=1$**5.解方程$2x^2=4x$，不能直接两边除以$2x$，原因：________。**答案：会丢失根$x\(=0\)$**##三、能力提升（解答题，写出完整步骤）6.用因式分解法解方程：$x^2-5x\(=0\)$**解**左边提公因式：$x(x-5)\(=0\)$$x\(=0\)$或$x-5\(=0\)$$\thereforex_1\(=0\),\x_2=5$。7.用因式分解法解方程：$x^2-16\(=0\)$**解**平方差分解：$(x+4)(x-4)\(=0\)$$x+4\(=0\)$或$x-4\(=0\)$$\thereforex_1=-4,\x_2=4$。8.用因式分解法解方程：$x^2-6x+9\(=0\)$**解**完全平方公式：$(x-3)^2\(=0\)$$x-3\(=0\)$$\thereforex_1=x_2=3$。9.易错题判断正误（对√，错×）①$\(x(x+2)=4\)$，直接令$x\(=0\),x+2=4$（×，右边不是0，不能直接分解）②解方程$x^2=2x$，两边同除以$x$，得到$\(x=2\)$（×，丢失$x\(=0\)$）③$(2x-1)(x+3)\(=0\)$，则$2x-1\(=0\)$或$x+3\(=0\)$（√）④$x^2-4x+4\(=0\)$，分解成$(x-2)^2\(=0\)$（√）##四、中考综合训练10.用因式分解法解方程：$3x^2-6x\(=0\)$**解**提公因式：$3x(x-2)\(=0\)$$3x\(=0\)$或$x-2\(=0\)$$\thereforex_1\(=0\),\x_2=2$。11.用因式分解法解方程：$(x-4)^2=25$**解**移项：$(x-4)^2-25\(=0\)$平方差：$(x-4+5)(x-4-5)\(=0\)$$(x+1)(x-9)\(=0\)$$x+1\(=0\)$或$x-9\(=0\)$$\thereforex_1=-1,\x_2=9$。12.解方程：$x^2-7x+12\(=0\)$**解**十字相乘分解：$(x-3)(x-4)\(=0\)$$x-3\(=0\)$或$x-4\(=0\)$$\thereforex_1=3,\x_2=4$。13.解方程：$(2x+1)^2=(x-3)^2$**解**移项：$(2x+1)^2-(x-3)^2\(=0\)$平方差：$[2x+1+(x-3)][2x+1-(x-3)]\(=0\)$$(3x-2)(x+4)\(=0\)$$3x-2\(=0\)$或$x+4\(=0\)$$\thereforex_1=\dfrac23,\x_2=-4$。##五、方法总结因式分解法是**最快**的解法，优先使用；解方程选择顺序：能因式分解优先因式分解，其次直接开平方法；配方法、公式法通用。核心口诀：**移项使右边为0，左边分解成乘积，各因式等于0，一次方程来求解。**高频陷阱：1.右边不为0，强行拆分因式；2.等式两边直接约掉含$x$的代数式，丢失根；3.十字相乘、平方差符号出错；4.混淆“且”和“或”。因式分解法计算题中考常考，和一元二次方程应用题结合紧密。需要我生成**无答案纯题目版本**打印练习吗？下一节写一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）？人教版（新教材）数学九年级上册25.2.3因式分解法授课教师：.

班

级：

9年级（

）班.

时

间：.

2026/10/20

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第二十五章一元二次方程123掌握因式分解法解一元二次方程的理论依据和基本步骤；能用提公因式法、平方差公式法解一元二次方程.理解“降次”思想的本质；避免解方程过程中出现丢根、漏解的错误；根据方程特征灵活选择解法.通过自主探究、合作交流，培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力.思考

在上一节课中，我们学习了用公式法解方程，你还记得这个过程中比较关键的求根公式和根的判别式吗？

有没有发现这两种方法的步骤都比较繁琐？

那么有没有简便的方法呢？今天我们学习第三种解一元二次方程的方法

——因式分解法.根的判别式：

情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习设物体经过xs落回地面：这时它离地面的高度为0m，即10x−5x²=0将方程的左边分解因式，得x(10−5x)=0这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0.我们知道：如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0：若ab=0，则a=0,或b=0.反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.所以x=0，或10−5x=0因此，方程10−5x=0的两个根是x1=0，x2=2.对于这两个根，x1=0表示物体抛离地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0

m；而x2=2表示物体在抛离地面2

s时落回地面.情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习解方程10x−5x²=0时，二次方程是如何降为一次的？

可以发现，在上述解法中，由10x−5x²=0到x=0，或10−5x=0的过程，不是用开平方降次：而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.因式分解法情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习因式分解两个因式乘积为

0，说明什么？或

10

−5x=0降次，化为两个一次方程解两个一次方程，得出原方程的根10x−5x2=

0①

x=0，

解方程时，二次方程是如何降为一次的？x(10

−5x)=0②

因式分解法的基本步骤一移——使方程的右边为

0；二分——将方程的左边因式分解；三化——将方程化为两个一元一次方程；四解——写出方程的两个解.10x−5x2=

0①

x=0，

x(10

−5x)=0②

或

10

−5x=0情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习解下列方程：解：(1)左边分解因式，得于是左边分解因式，得于是(2)移项、合并同类项，得情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习用不同方法解方程：

配方法

公式法解：解：x2−7x=0.∵

a=1,b=−7,c=0.

∴

b2−4ac

=(−7)2−4×1×0=49.情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习用不同方法解方程：

因式分解法解：将原方程的左边分解因式得：解得则

，或学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次万程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？一元二次方程的解法选择基本思路1.一般地，当一次项系数为

0

时(ax2

+

c

=

0)，应选用直接开平方法；2.若常数项为

0(ax2

+

bx

=

0)，应选用因式分解法；3.化为一般式

(ax2

+

bx

+

c

=

0)后，若一次项系数和常数项都不为

0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为

1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法.系数含根式时也可选公式法.

配方法要先配方，再开方，进而降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法首接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.总之，解一元二次方程的基本思路是：先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程.情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习将方程的左边分解因式，得x(3x−17)=0，则x=0，或3x−17=0，

解一元二次方程：解：

化简方程，得解得，化简后提公因式情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习解一元二次方程：把

看成整体左边分解因式，得于是解：移项，得情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习解一元二次方程：利用平方差公式

因式分解将方程的左边分解因式，得解：移项，得即则

，或

解得,1.返回由方程x(x－1)＝0可以得到的方程是(

)A．x＝0或x－1＝0 B．x＝0C．x－1＝0 D．x＋1＝0A返回2.方程(x－3)(x＋2)＝0的根是(

)A．x＝3B．x＝－2C．x1＝－3，x2＝2D．x1＝3，x2＝－2D返回3.用因式分解法解一元二次方程(x－1)2－4＝0时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是x－1＋2＝0，则另一个方程是____________，所以一元二次方程(x－1)2－4＝0的解是_______________．x－1－2＝0x1＝－1，x2＝3情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习解一元二次方程：(3m

+

2)2

−

7(3m

+

2)+

10

=

0．解：分解因式，得(3m

+

2

−

2)(3m

+

2

−

5)=

0.∴

3m

+

2

−

2

=

0，

或

3m

+

2

−

5

=

0，解得

m1=

0，m2=

1.将(3m+2)看作一个整体，进行因式分解.情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习解一元二次方程：把字母看作常数仍然可以解方程x2−2mx−4n2+m2=0解：

x2−2mx+m2−4n2=0(x−m)2−(2n)2=0(x−m+2n)(x−m−2n)=0x−m+2n=0或

x−m−2n=0∴x1=m−2n，x2=m+2n情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习如果方程

与方程

有一个公共根是3，求a，b的值，并分别求出两个方程的另一根．解：两个方程有一个公共根是3，因此

,解得

解方程

得

，

解方程

得

，∴方程

的另一个根为0，方程

的另一根为−3十字相乘法(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a，b均为常数)两个一次二项式相乘的积一个二次三项式整式的乘法反过来，得x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)一个二次三项式两个一次二项式相乘的积因式分解

如果二次三项式

x2+px+q中的常数项

q能分解成两个因数

a、b的积，而且一次项系数

p又恰好是

a+b，那么

x2+px+q就可以用如上的方法进行因式分解.情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习步骤：①竖分二次项与常数项②交叉相乘，积相加③检验确定，横写因式简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中.解方程：x2+6x−7=0.解：因式分解得(x+7)(x−

1)=0.∴x+7=0，

或

x−

1=0.∴x1=−7，x2=1.·×情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习用十字相乘法解下列方程：(1)x2

−5x

+6=

0；解：分解因式，得(x

−

2)(x

−

3)=

0，(2)x2

+

4x

−

5

=

0；解：分解因式，得(x

+

5)(x

−

1)=

0，解得

x1

=

2，x2

=

3.解得

x1

=

−5，x2

=

1．·×·×情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习已知实数m，n满足

，则

的值为（

）A．3

B．5

C．5或3

D．−3或5解:设

，∵任意实数的平方是非负数，两个非负数相加仍是非负数，∴

，原方程可化为

，因式分解得

，解得

，

，∵

，∴舍去

，即

．情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程

的根，则这个三角形的周长为（

）A．25

B．21

C．19

D．17解：∵

，因式分解得

，∴

，或

，当

时，

，不满足三边关系，不能构成三角形，舍去，当

时，

，满足三边关系，可以构成三角形，∴三角形的周长为

.情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习解：设

，则原方程化为

，∴

，∴

或

，解得

，

，当

时，则

，即

，∵

，∴

；当

时，则

，即

0，

∵

，∴

；综上所述，原方程的解为

，

．解方程：返回4.用因式分解法解下列方程：(1)3x2＋2x＝0;解：因式分解，得x(3x＋2)＝0，于是得x＝0或3x＋2＝0，解得x1＝0，x2＝－

返回(3)2x2－12x＝－18;解：整理得x2－6x＋9＝0.因式分解，得(x－3)2＝0，解得x1＝x2＝3.返回(4)4x2－49＝0；解：因式分解，得(2x＋7)(2x－7)＝0，于是得2x＋7＝0或2x－7＝0，(5)(2x－5)2－9＝0;解：因式分解，得(2x－5＋3)(2x－5－3)＝0，于是得2x－2＝0或2x－8＝0，解得x1＝1，x2＝4.返回(6)(x＋3)2＝(1－2x)2.解：移项，得(x＋3)2－(1－2x)2＝0.因式分解，得(x＋3＋1－2x)(x＋3－1＋2x)＝0，即(－x＋4)(3x＋2)＝0，于是得－x＋4＝0或3x＋2＝0，解得x1＝4，x2＝[邯郸期中]解方程(x＋1)2＝3(x＋1)的最佳方法是(

)A．直接开平方法

B．配方法C．公式法

D．因式分解法返回5.D在下列各题的横线上填写适当的解法．(1)解方程2x2－5x＋1＝0，用________法较适宜；(2)解方程x(x＋4)＝2(x＋4)，用__________法较适宜．返回6.公式因式分解返回7.用适当的方法解下列方程：(1)2(x－1)2＝8;解：整理，得(x－1)2＝4.开平方，得x－1＝±2.解得x1＝3，x2＝－1.返回(2)x2＋2x－4＝0；解：移项，得x2＋2x＝4.配方，得x2＋2x＋1＝4＋1，即(x＋1)2＝5.返回(3)2x2－3x＋1＝0;解：∵a＝2，b＝－3，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×1＝1＞0，返回(4)(x－4)2＝x(4－x)．解：整理，得(x－4)2＋x(x－4)＝0，因式分解，得(x－4)(2x－4)＝0，于是得x－4＝0或2x－4＝0，解得x1＝4，x2＝2.返回8.[张家口期中]某节数学课上，甲、乙两名同学都在黑板上解方程x(x＋2)＝2(x＋2)，解答过程如下表所示，其中完全正确的是(

)A．甲B．乙C．甲和乙D．都不正确B甲两边同时除以(x＋2)，得x＝2.乙移项，得x(x＋2)－2(x＋2)＝0.因式分解，得(x－2)(x＋2)＝0，即x－2＝0或x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝－2.返回9.若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程(x－3)(x－4)＝0的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为(

)A.B．4C．5D．10C返回10.若某三角形的两边长分别为5和4，第三边