河北保定市部分校2025-2026学年高一年级下学期4月自测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北保定市部分校2025-2026学年高一年级下学期4月自测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的虚部为（）A.4 B. C. D.2【答案】D【解析】因为，所以的虚部为2.2.已知向量，若，则（）A.-3 B.0 C.3 D.4【答案】A【解析】由，得，解得.3.在中，，则外接圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设外接圆的半径为，则，则外接圆的面积为.4.如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据斜二测画法可知，，又，所以，所以.5.已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（）A.3 B.7 C.9 D.21【答案】B【解析】由棱台的体积公式，可得.故选：B.6.已知向量是平面内的一组基底，，若三点共线，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题设，因为三点共线，所以存在实数，使得，即，因为为基底向量，所以解得.7.已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，即，所以，又，所以，所以向量在向量上的投影向量为.故选：B8.如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（）参考数据：.A.米 B.米C.300米 D.米【答案】A【解析】由题可知，则，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又，两式相加，得，即，解得.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥B.棱柱至少有五个面C.棱台的侧棱延长后必交于一点D.以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台【答案】BC【解析】对于A项，根据棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，可知A项错误；对于B项，棱柱中面最少的为三棱柱，有五个面.故B正确；对于C项，由于棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的多面体为棱台.结合棱锥的性质，可知棱台的侧棱延长后必交于一点.故C正确；对于D项，以直角梯形的垂直于底面的腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台，当腰与底面不垂直时，得到的旋转体不是圆台.故D错误.故选：BC.10.记的内角的对边分别为，已知，若有且只有一个，则的值可以是（）A.1 B. C. D.【答案】AB【解析】对于A：由正弦定理，得，所以，当时，，又，所以，或，当时，，不合题意，此时有且只有一个，A正确；对于B：当时，，又，所以，或，当时，，不合题意，此时有且只有一个，B正确；对于C：当时，，又，所以，或，此时有两个，C错误；对于D：当，，此时不存在，D错误.11.若是复数，则下列说法错误的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则或【答案】BCD【解析】A：设，由，得，故A正确；B：当时，满足，但，故B错误；C：当时，满足，但，故C错误；D：当时，满足，但，故D错误．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则______.【答案】【解析】因为，所以，所以故答案为：.13.已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】由，得.当时，有，解得，此时向量的夹角为，所以实数的取值范围为.14.如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为_________.【答案】【解析】依题意，正三棱锥侧面沿剪开，将展开置于同一平面内，连接，则线段就是绳的最短长度，此时，由，得，解得，所以该三棱锥的侧棱长为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.设复数.（1）若是实数，求m的值；（2）若是纯虚数，求复数z的共轭复数.解：（1）由题知，若是实数，则，解得；（2）由题知，若是纯虚数，则，解得，所以.16.在中，角的对边分别为，且.（1）求的大小；（2）已知，证明：是等腰三角形.解：（1）在中，由及正弦定理得，整理得，由余弦定理得，又，所以.（2）由及正弦定理得，由（1）知，所以，即，所以是等腰三角形.17.如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体.（1）当时，求该艺术品的体积；（2）当为何值时，该艺术品的表面积最大？解：（1）当时，设圆柱的半径为，则，解得，此时该艺术品的体积为.（2）设圆柱的半径为，则，解得，要使该艺术品的表面积最大，则圆柱的侧面积取得最大值即可，，当时，取得最大值，故当时，该艺术品的表面积最大.18.如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点的一个三等分点，为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）设，求的取值范围．解：（1）依题意，，∴，∴.（2）由已知，因是线段上动点，则令，，又，不共线，根据平面向量基本定理，则有，，在上递增，所以，，，，故的取值范围是．19.已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且.（1）求；（2）求的取值范围；（3）若，求边上的中线的取值范围.解：（