河北省保定市定州市2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省保定市定州市2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.与三棱台的顶点数相同的几何体可以是（）A.三棱锥 B.四棱锥C.四棱柱 D.五棱锥【答案】D【解析】三棱台的顶点数为6，三棱锥的顶点数为4，四棱锥的顶点数为5，四棱柱的顶点数为8，五棱锥的顶点数为6.2.已知，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，则，则.3.已知的内角的对边分别为，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由，得，即；由，得，则，不一定满足；故“”是“”的充分不必要条件.4.已知是同一平面内的两个不共线的向量，若，且，则（）A.. B.C. D.【答案】A【解析】由，设，则，故，消去得.5.欧拉公式是由数学家欧拉发现的，被誉为数学上最优美的公式之一.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，即，，故，则，解得，则.6.已知是的重心，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为是的重心，所以，则在上的投影向量为AD⃗⋅AB7.如图，测量河对岸的塔高时，可以选择与塔底在同一水平面内的两个测量点与，先测得米，并在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（）A.米 B.米C.米 D.米【答案】C【解析】由题可知，由正弦定理得，其中，则米.因为，所以米.8.如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，是线段上的动点，当取得最小值时，的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，将沿着翻折，使其与共面，可知当三点共线时，取得最小值.过作，因为，侧面是正方形，所以，因为在直三棱柱中，，，，所以平面，又平面，所以，翻折之后两者的垂直关系不变，则为的中点，则，则的边上的高为1022-6则的面积为.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于平面向量，下列结论不正确的是（）A.若，则B.若，则或C.若，则D.若，则【答案】BCD【解析】由，得，则，A正确.由，得或或不正确.取，满足，此时不相等，C不正确.取，满足，此时不相等，D不正确.10.如图，封闭图形由线段和曲线组成，其中三点共线，，曲线是以为圆心，为半径的一段弧，且所对的圆心角为，将该图形绕着所在的直线旋转一周得到旋转体，则（）A.该旋转体由个球体和1个圆锥体组成B.该旋转体由个球体和1个圆锥体组成C.该旋转体的表面积为D.该旋转体的体积为【答案】BC【解析】由题知，该旋转体由个球体和1个圆锥体组成，半球体的半径为3，圆锥体的底面半径为3，高为6，母线长为，则该旋转体的表面积为12×4体积为.11.已知的内角的对边分别为，若，且的面积，则（）A.B.C.D.关于的方程存在2个不相等的实数根【答案】ACD【解析】对于A，因为，由S=12absin由两角和的正弦公式得，由正弦定理得，故A正确；对于B，由余弦定理，，即，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，得到3=(a+b)2-3ab≥(a+b)24，即，解得对于C，由题意得=1由，得，则sinA+π6因为π6<1<π3，所以sin1∈(对于D，由题意得=sin2B-3cos由，得，则或，解得或，故D正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则的虚部为__________.【答案】【解析】由题意得，则，可得虚部为.13.如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，分别在轴上，且，则在中，__________.【答案】9【解析】由，则，，所以，则，在原图中，，，则BC=6-314.已知向量满足，且，则的最大值为__________.【答案】5【解析】如图，记，则，，可得，则.取的中点，则，则，则，故是以为圆心，2为半径的圆上的动点，.易得，所以.所以的最大值为5.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知向量，（1）求；（2）求向量与夹角的余弦值.解：（1）因为，所以a+2b则a+2（2）因为，所以2a-则2a设与的夹角为，则cosθ=16.已知复数是关于的方程的一个复数根.（1）求的值；（2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围.解：（1）由题可得(1+2i则a+b-1=0,22（2）由（1）可得=2i-3+则m2-2m-3<0,3m+2>0,解得，即的取值范围为.17.一个有盖的圆柱体容器的轴截面是边长为2的正方形，容器内部装满了水，容器壁厚度忽略不计.（1）求该容器的表面积与容积；（2）若另一个圆锥体容器的底面半径为2，母线长为，将圆柱体容器内的水全部倒入圆锥体容器（水的损耗忽略不计），且圆锥体容器的底面水平放置，求圆锥体容器中水面的高度.解：（1）因为圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以圆柱的底面半径为1，高为2，则该容器的表面积为，容积为.（2）由题可得圆锥体容器的高为2.设水面的高度为，半径为，则，即，则，则，整理得，则，即圆锥体容器中水面的高度为.18.如图，在长方形中，是的中点，是线段上的点（含端点）.（1）若，用表示；（2）求的取值范围；（3）延长到点，使得，若，求.解：（1）因为，所以.又是的中点，所以，从而.（2）（方法一）因为是线段上的点，所以.又，所以.由，得，故的取值范围为.（方法二），分别记在上的射影为.由向量的投影可知，当运动到点处时，取得最小值，当运动到点处时，取得最大值.记的交点为，易得，则，则，则，故的取值范围为.（3）由题可知，因为，所以.又，所以，则，从而，，则，则.19.如图，在平面四边形中，.（1）若，求；（2）判断是否为定值.若是，求出该定值；若不