河南名校联盟2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南名校联盟2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数，则（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】，∴，∴，∴．2.已知是等差数列的前n项和，且，，则（）A.20 B.23 C.26 D.29【答案】A【解析】方法一：由，得，由，得，设公差为d，则，解得，∴．方法二：设公差为d，由题知，解得，，∴．3.已知随机变量X服从两点分布，且，则（）A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8【答案】B【解析】因为X服从两点分布，所以，结合条件得，．4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：令，得①，令，得②，①＋②，得，即，令，得，∴．5.有5名护士到某医院实习，该医院将这5名护士分到心内科、心外科、骨科这三个科室，每个科室至少分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为（）A.40 B.90 C.150 D.240【答案】C【解析】解：先将5名护士分成3组，每组至少1人，分组方式有；，则不同的分配方案种数为．6.已知点，，在直线上存在点，满足，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设．∵，∴，化简整理，得，∴点在以为圆心，为半径的圆上，由题意可知，直线与圆有公共点，∴，解得．7.已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】解：由题知，，，∴，∴曲线在处的切线方程为，即．∵，∴，设直线与曲线的切点为，则，得，∴，又，∴．8.含甲乙丙的5人站成一排，其中甲不能站最左端，乙丙必须相邻且丙不能站最右端，则满足要求的不同站法种数为（）A.12 B.16 C.32 D.34【答案】C【解析】设5人为甲乙丙丁戊，对乙丙进行捆绑（先不考虑丙的位置问题），与丁、戊全排，再把甲插入（不在最左端）则有种，其中丙在右端时，甲、丁、戊的排法，先排丁、戊，再把甲插入（不在最左端）有种，故满足要求的不同站法种数为种．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知的展开式的二项式系数之和为128，则下列结论正确的是（）A. B.的系数为560C.展开式中各项系数和为1 D.展开式中二项式系数最大的项只有第4项【答案】AC【解析】对于A，由题知，，得，故A正确；对于B，∵，令，得，∴的系数为，故B错误；对于C，令，得，故C正确；对于D，∵，∴展开式中共有8项，根据二项式系数的性质知，展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项，故D错误．10.在数列中，，若，则下列结论正确的是（）A.是等差数列 B.C.数列的前n项和为 D.数列的前n项和为【答案】BCD【解析】解：对于A，∵，且易知，∴，∴，又，∴是首项为2，公比为2的等比数列，故A错误；对于B，由前面的分析知，∴，，故B正确；对于C，的前n项和为21-2n1-2-n=对于D，∵，∴数列的前n项和为12-1，故D正确．11.某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响．记表示事件“第n次分类正确”，表示第n次分类正确的概率．已知，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为；若第n次分类错误，则第次分类正确的概率为．记，则下列结论正确的是（）A.B.若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为C.数列是等比数列D.数列的前n项和为【答案】ABD【解析】由已知得第次分类正确的概率为，对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，由，得，又，所以是首项为，公比为的等比数列，则不是等比数列，故C错误；对于D，由C项知，，，所以数列的前n项和为，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则的单调递减区间为______．【答案】【解析】函数的定义域为，且，令，解得，所以的单调递减区间为.13.已知数列的前n项和为，则的通项公式为______．【答案】【解析】当时，，当时，，又当时，不满足该式，∴14.某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动，抽奖方法如下：，袋中各有5张奖券，其中袋中有2张一等奖和3张二等奖，袋中有3张一等奖和2张二等奖，先从装着标有数字1，2，3，4，5，6的号签筒中任抽1签，若是1，2，3，4号签，则从袋中随机抽取1张奖券，若是5，6号签，则从袋中随机抽取1张奖券．已知某顾客抽到了一等奖奖券，则该一等奖奖券来自袋的概率______．【答案】【解析】设事件：抽到1，2，3，4号签，事件：抽到5，6号签，事件B：抽到一等奖奖券，则，，，，∴，∴．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列满足，且．（1）求的通项公式；（2）求的前n项和．解：（1）因为，所以，即数列是首项为，公差为2的等差数列，则，即．（2）由（1）知，①则，②①－②，得，即．16.甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格．甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会．（1）求甲、乙面试都合格的概率；（2）记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列．解：（1）设事件A：甲面试合格，事件B：乙面试合格，事件C：甲、乙面试都合格，由题知，A，B相互独立，，∵，，∴，∴甲、乙面试都合格的概率为．（2）由题知，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，，，，，∴X的分布列为X1234P17.如图，已知四边形为矩形，平面ABCD，四点共面，，，，．（1）求证：平面ADE；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：∵平面ABCD，平面EFCD，平面平面，∴．∵四边形ABCD是矩形，∴，∵，，∴平面，∴平面．（2）解：由（1）知，，，∵，，平面，∴平面，∴，故两两互相垂直．以D为坐标原点，向量，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系，如图．设，则，，，，∴，，．设平面的法向量为，则令，得，∴平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为．18.已知是离心率为的双曲线E：的左焦点，C，D两点在该双曲线上，且关于坐标原点O对称，．（1）求E的方程．（2）过点作斜率为k的动直线l与E的左、右两支分别交于点M，N，在y轴上存在点Q，使得直线QM与QN的斜率之和为0．（i）求点Q的坐标；（ii）求面积的最小值．解：（1）设双曲线的右焦点为，连接，，由题意知，四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∵离心率，∴半焦距，∴，∴E的方程为；（2）（i）设，，l：，代入，整理得，∴，解得，∴，，设，则，∴，即，要使上式在时恒成立，则，，∴；（ii）由（i）知，，点到直线l的距离为，∴，设，∵，∴，，∴；设，由对勾函数的性质知，单调递增，∴，∴，，∴，故面积的最小值为．19.已知函数，，．（1）讨论的单调性；（2）若在上恰有三个零点，求实数a的取值范围；（3）若，是在上不为1的两个零点，求证：．（1）解：由题知，的定义域为，，若，当时，，当时，，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增；若，则，当或时，，当时，，∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；若，则，∴在区间上单调递增；若，则，当或时，，当时，，∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．综上所述，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．（2）解：由（1）知，显然是的一个零点．设，则．若，则，∴在区间上单调递增，∴最多有1个零点，即最多有2个零点，不满足题意．若，当时，，当时，，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，∵，当时，，∴要使在上恰有3个零点，则需有2个不为1的零点，则解得．∵，，设，则，设