河南信阳市普通高中2025-2026学年高二下学期期中教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南信阳市普通高中2025-2026学年高二下学期期中教学质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某水池的水位高度（单位：米）与时间（单位：小时）的关系为，则当时，水位的瞬时变化率为（）A.米/小时 B.米/小时 C.米/小时 D.米/小时【答案】D【解析】因为，则，当时，.2.学校要求学生从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选一科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（）A.5 B.12 C.20 D.60【答案】B【解析】分两步完成选科.第一步，从物理、历史科中任选科，选法种数为.第二步，从化学、生物、政治、地理科中任选科，选法种数为.根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为.3.已知函数，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】已知，则.4.已知随机变量取所有值、、、是等可能的，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，得.所以对应，共个取值，则，即，解得.5.二项式的展开式中二项式系数之和为，则常数项是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】二项式的展开式中二项式系数之和为，则，解得，通项为，令的指数，解得，故常数项为：.6.若从0，1，2，3，4，5这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于3000的偶数的个数是（）A.96 B.84 C.108 D.72【答案】A【解析】由于组成的无重复数字的四位数要大于3000且为偶数，则千位数字只能为3，4，5.需要分情况讨论：①当千位数字为5时，为保证是偶数，个位数字只能从0，2，4中选，有种选法；然后从剩下的4个数字中选2个安排在百位和十位，有种，所以共有个.②当千位数字为4时，个位数字只能从0，2中选（因为4已用作千位），有2种选法；然后从剩下的4个数字中选2个排列，有种，所以共有个.③当千位数字为3时，个位数字可以从0，2，4中选，有种选法；然后从剩下的4个数字中选2个排列，有种，所以共有个.综上，总个数为.7.已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（）A.1 B.3 C.1或3 D.2或【答案】B【解析】由题意得：，因为在x=1处取得极大值，所以，解得或，当时，，令，解得或，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以在处取得极小值，不符合题意，故舍去，当时，，令，解得或，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以在处取得极大值，故满足题意综上.故选：B8.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，设，则.当时，，则，所以在上单调递减；当时，则，所以在单调递增.所以，即.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.若，，则事件相互独立与事件互斥不能同时成立B.数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4C.在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，若某运动员罚球命中的概率是0.7，则他罚球1次的得分均值为0.7D.若随机变量X的数学期望，则.【答案】AC【解析】对于A，若相互独立，则不互斥，若互斥，则不相互独立，故A正确；对于B，数据2，3，4，5，6共5个数，第60百分位数是第3个数和第4个数的平均数，是，故B错误；对于C，在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，依据两点分布可得，故C正确；对于D，由得，D错误.10.已知函数，则（）A.在区间上单调递减B.函数有三个零点C.若函数的图象关于对称，则D.若函数在上的最大值为a，则【答案】ABC【解析】对于A，由题意知，，由，解得，故A正确；对于B，函数，则，令，则或，此时单调递增；令，则，此时单调递减；所以函数在处取得极大值，为，在处取得极小值，为，且当时，，当时，，所以函数在定义域上有三个零点，故B正确；对于C，若函数的图象关于对称，则，又，所以，所以，故C正确；对于D，由于，则在和上单调递增，在上单调递减，所以，又，要使在上的最大值为，则，或，解得，或，故D错误.11.设A，B，C为随机事件，假设，则下列说法正确的是（）A.若，则A与B相互独立 B.若A与C互斥，则C.若A与C互斥，则 D.若，则【答案】AD【解析】对于A，因为，所以，所以A与B相互独立，故A正确；对于B，因为A与C互斥，则，所以，故B错误；对于C，因为，若此时A与互斥，则，此时不存在，所以C错误；对于D，因为，，所以，又根据全概率公式，得，所以，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.盲盒，由于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求，已经成为一种新型的消费现象.某盲盒营销商对盲盒商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，该商家会以3∶2的比例对新旧款盲盒进行随机发货，则消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率为__________.【答案】【解析】设“消费者买到新款盲盒”，“消费者买到旧款盲盒”，“盲盒中出现‘隐藏款’”，则.13.某居委会派小王、小李等6人到甲、乙两个路口做引导员，每人只去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为__________.【答案】28【解析】若小王在甲路口，小李在乙路口，则剩余4个人分到两个路口.①两个路口为人分配，共有种安排方案.②两个路口为人分配，共有种安排方案，此时共有种安排方案.同理若小王在乙路口，小李在甲路口，也共有种安排方案.所以共有种不同的安排方案.14.不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的个白球和个黑球，从袋子中逐个取球，规则如下：若取到黑球，则不放回且立即停止取球；若取到白球，则放回袋中，然后向袋中加入一个除颜色外完全相同的白球，继续取球.若最多进行n次取球（，），即当取球次数为时，立即停止取球，记随机变量为取球的次数，设的数学期望为，则__________.【答案】【解析】法一：由题意知，的所有可能取值为且.当，时，前次取到白球，第次取到黑球，则；当时，前次取到白球，第n次取到黑球，则，所以，因为，所以：.所以.综上，.故.法二：依题意得：，，，，；；；，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知二项式的展开式中第3项的二项式系数和第5项的二项式系数相等.（1）求展开式中含的项；（2）记，求.解：（1）由二项式的展开式中第3项的二项式系数和第5项的二项式系数相等，得，解得，则的展开式的通项公式为，令，得，所以展开式中含的项为.（2）令，得，令，得，两式相减，得，所以.16.已知函数（）.（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数a的值；（2）讨论函数的单调性.解：（1）函数的定义域为.求导得，则曲线在点处的切线斜率为.直线可化为，斜率为2.由切线与直线平行，得，解得.（2）由（1）知，（）.①当时，恒成立，所以在上恒成立，故在上单调递增.②当时，令，得，即.当，，所以，单调递增；当时，，，单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.17.某科技园区对园区内8家初创企业的研发投入与专利申请数量进行调研，得到如下数据：企业ABCDEFGH研发投入x（万元）20050080010001500200025003000专利申请数y（件）246578910（1）从这8家企业中随机抽取1家，记事件M：抽到的企业“研发投入不超过1500万元”；事件N：抽到的企业“专利申请数超过6件”．(ⅰ)求条件概率的值；(ⅱ)判断事件M与N是否相互独立，并说明理由．（2）现在要从这8家企业中随机抽取3家进行重点扶持．记其中专利申请数大于6件的企业数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．解：（1）(1)(ⅰ)由题意知，事件M：研发投入不超过1500万元，包含企业A，B，C，D，E，共5家；事件N：专利申请数超过6件，包含企业E，F，G，H，共4家．所以只有企业E．所以，．所以．(ⅱ)由(ⅰ)可知；因为，；故；显然；因此事件M与事件N不相互独立．（2）由题意可知：专利申请数大于6件的企业有4家，从中随机抽取3家，则X的取值可以是0，1，2，3；即；；；；.X的分布列为：X0123PX的数学期望：．18.某环保部门需要对某社区1000户家庭的饮用水进行某种有害物质的检测，假设每户家庭的水样中含有该物质的事件相互独立，且含有该物质的概率均为p（）.检测方法采用分组检测：将待检测家庭分成m个小组，每组n户，每组取每户的水样混合成一个样本进行检测.若某组混合样本检测为阴性（不含该物质），则该组所有家庭无需再检测；若某组混合样本检测为阳性（含有该物质），则需对该组内每户家庭分别单独检测一次（使用已采集的水样）.（1）已知，若某小组的混合样本检测结果为阳性，求该组内恰好有2户家庭水样中含有该物质的概率（用含p的式子表示）；（2）用Y表示每组检测次数，T表示总检测次数，求用分组检测方法所需检测次数的期望值；（3）假设检测成本由两部分组成：采样处理成本为2元/户，化验检测成本为3元/次，若，且该分组检测方法总成本的期望值比逐一检测的总成本节省了20%以上，求p的取值范围.解：（1）设该小组的混合样本中含有该物质的户数为X，则.因为混合样本检测呈阳性，即，所以所求概率.又；.所以.（2）因为每组检测次数为Y，则Y的分布为：若混合样本为阴性，则只需检测1次，概率为；若混合样本为阳性，则需检测次，概率为.所以期望.因为共有个小组，所以总检测次数的期望为.（3）由题意知，总成本包括采样处理成本和化验成本.所以逐一检测时总成本为元，分组检测时采样成本为元，化验成本为.由（2）知，当时，.故总成本的期望为,由题意知，分组检测总成本比逐一检测总成本节省20%以上，即.所以，即.所以，解得，因此p的取值范围为.19.已知函数，其中.（1）当时，判断函数在区间上的单调性，并说明理由；（2）若函数在定义域内存在极值点，求实数的取值范围；（3）若有两个不同的零点，，证明：.（1）解：由题意知，当时，函数的定义域为，求导得.当时，，且，因此恒成立，所以在上单调递增.（2）解：由题意知，函数的定义域为，求导得，函数在定义域内存在极值点，则其导函数定义域内存在变号零点，即，所以，设，则，当时，，且，所以，即在上单调递增，又，当时，，因此当时，方程有唯一解，即存在唯一的极值点；当时，方程无解，无极值点，故实数a的取值范围为.（3）证明：设，则，则即两式