浙江杭州地区(含周边)重点中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江杭州地区(含周边)重点中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知复数满足，则（）A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】复数z满足,故，故.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】或，则，故选：C.3.已知向量，若，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，，由，则，整理得，故B正确、A、C、D错误.4.下列椭圆中，形状最接近于圆的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，，所以椭圆离心率为，对于B，，所以椭圆离心率为，对于C，，所以椭圆离心率为，对于D，，所以椭圆离心率为，因为，所以D选项中椭圆离心率最小，由椭圆性质知，离心率越小，越接近于圆，故D正确.5.已知，函数是偶函数，则（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】因为为偶函数，所以，所以所以恒成立，即，解得.当时，，满足，函数为偶函数.综上，.6.已知，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，又，则，即，整理得，故，故A正确、C错误；则，整理得，故B、D错误.7.直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（）A.2 B. C. D.4【答案】C【解析】圆心到直线的距离，则弦长，，当且仅当，即时，面积取得最大值.8.设是自然对数的底数，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C【解析】对A选项：构造函数，已知，整理得：，因为恒成立.因为，所以.令，由于，则，而，，根据零点存在性定理，存在使得，此时，故A错误；对选项B：令，则，由于，，根据零点存在性定理，存在使得，此时，故B错误；分析选项：若，变形为，所以，令，则，所以在上单调递增，所以，即.因此，所以.令，则，所以在单调递增，由得，故C正确，D错误.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（）A.平面B.C.平面平面D.平面平面【答案】ABD【解析】如图正方体为中，分别为的中点，对选项A：因为正方体中，又分别为的中点，可得，因此，平面，平面，根据线面平行的判定定理，得平面，A正确；对选项B：正方体中，且，，平面，因此平面，平面，故，B正确；对选项C：设是的中点，连接，由A选项的分析知，又因为分别是棱的中点，所以且，且，所以四边形是平行四边形，得.因为，平面,平面,所以平面,同理，平面,平面,所以平面,而平面，所以平面平面，而平面平面，所以平面与平面必相交，故C错误；对选项D：由B选项分析知平面，又，因此平面.又因为平面，根据面面垂直的判定定理，得平面平面，D正确.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是的极值点B.时，有3个零点C.时，D.时，过原点可作两条不同直线与图象相切【答案】AC【解析】函数的定义域为R，求导得，当或时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，A，函数在处取得极大值，在取得极小值，因此是的极值点，A正确；B，，，由三次函数的性质知，当且仅当且，即时，函数有3个零点，B错误；C，当时，，，C正确；D，当时，，设切点坐标为，切线方程为，由切线过原点，得，整理得，令，求导得，由，得或；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，函数有唯一零点，因此过原点只能作一条直线与图象相切，D错误.11.若数列满足，则称数列为项数列，所有项数列构成的集合记作，对任意数列（注：可以相同），记随机变量，则下列说法正确的是（）A.中有81个元素B.若，则的所有可能取值的个数为7C.当时，D.若的期望，则的最小值为67【答案】ABC【解析】令，，共有种组合.对于A，表示长度为的数列的集合，每个位置有种选择，所以总元素个数为，A正确；对于B，的可能取值为，若，则，和的可能取值分别为和，所以的可能取值为，即个，B正确；对于C，包括，，.包括，，包括，，当时，考虑，因为对于任意，若，则，所以对于任意，，即，有两种情况：，概率为，，概率为，所以，C正确；对于D，，由期望的性质可得，若，则，因为，，所以的最小值为，D错误.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的体积为__________.【答案】【解析】已知某圆锥的底面半径为1，母线长为2，则高为.所以体积为.13.若多项式，则__________.【答案】10【解析】令，有.展开式的通项为，因为展开式中不含项，.14.设抛物线的焦点为，过作一条直线与抛物线交于两点，为坐标原点，的外接圆与轴的另一个交点为，则的取值范围为__________.【答案】【解析】抛物线方程为，.如图所示，当直线的斜率存在时，设，直线的方程为.联立，整理得..由题意可知因为四点共圆，且相交于点，由相交弦定理可得.即.，即，.当直线的斜率不存在时，可得坐标分别为，设的外接圆方程为.，解得，外接圆方程为.令，得或（舍），即，此时.综上，的取值范围是.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知等差数列满足，数列的前项和为满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）在等差数列中，，解得，而，则数列的公差，所以，数列中，，当时，，两式相减得，则，由，得，数列是首项为，公比为2的等比数列，所以.（2）由（1）得，则，于是，两式相减得所以.16.在中，角所对的边分别是，已知，.（1）求；（2）若上一点满足，且，求的面积.解：（1）由，得到，即，，于是，由，根据正弦定理得到，，，于是，即，因为，所以，故.（2）由题意得，又在中，由，，则，由正弦定理得，于是，故的面积为.17.如图，为正三角形，四边形为等腰梯形，，，现将沿翻折到，使，如图所示.（1）证明：平面平面；（2）设为侧棱上一个动点，若二面角的余弦值为，求的长.（1）证明：如图，分别取的中点，的中点，连接，显然，所以，又因为，，由勾股定理得，由条件得，所以，即，又，平面，平面，又平面，故平面平面.（2）由（1）知，平面，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，则，所以，设，则，设平面的一条法向量为，由得，令，则，即，又平面的一条法向量为，设二面角的大小为，由为锐角，得，化简得，解得或（舍）则，故.18.设双曲线的右焦点为，已知到一条渐近线的距离为1，过且垂直于轴的直线被所截得的弦长为2.（1）求双曲线的标准方程；（2）设是双曲线上一点，已知双曲线在处的切线的方程为.（i）已知分别交两条渐近线于两点，求证：（为坐标原点）面积是定值；（ii）若在第一象限，设与直线交于点，证明：平分.解：（1）由题意得，解得，双曲线的方程为.（2）（i）证明：如图，联立，解得，联立，解得，由于，所以，所以的面积；（ii）证明：法1：要证明平分，即证，只需证，只需证，即证，易知，当时，解得，故，，又，故原命题得证.法2：易知，当时，解得，故，，由于，设，则，要证明平分只需证与共线，即证，即证，显然成立，平分..19.已知函数是自然对数的底数.（1）若，判断在区间上的单调性，并说明理由；（2）若，证明：在区间上有唯一极小值点，且；（3）若，已知在区间上恰有两个零点，设，记在上的最小值为，证明：.参考数据：.（1）解：当时，，则由于，于是，故在区间上递增.（2）①证明：当时，，，当时，令，所以，因为在上，，已知，所以，即在上递增，且.∴由零点存在定理知