浙江嘉兴市桐乡市2026届高三下学期教学测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江嘉兴市桐乡市2026届高三下学期教学测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数在复平面内对应的点为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，得，则，，所以.2.已知平面向量满足，与的夹角为，则（）．A.7 B.1C. D.【答案】B【解析】因为.故选：B.3.数列满足，则（）A.8 B.4 C.2 D.1【答案】B【解析】，，.4.某款新能源汽车2025年的产量为5000辆，从2026年开始每年不断扩大生产规模，计划到2030年此款汽车年产量达到10000辆，那么2025～2030年的年平均增长率大约为（）（）A.115% B.15% C.30% D.60%【答案】B【解析】设2025～2030年的年平均增长率为，根据题意可得，化简得，方程两边取对数得，又，所以.故所以，即2025～2030年的年平均增长率大约为.5.若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为（）A. B.3 C.2 D.【答案】A【解析】函数，由得，是函数图象的一条对称轴，则，，解得，；当时，，由函数在有唯一零点，得，解得，所以当时，取得最大值．6.已知正实数a，b满足，则为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】等式左边：设，求导得，时，在单调递减，时，在单调递增，因此的最小值为，所以，等式右边：设，求导得，时，，在单调递增，时，，在单调递减，因此的最大值为，所以，又，因此仅当时等式成立，即

，，故.7.在三棱锥中，，二面角的大小为，若，则点到平面的距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在平面上，以中点为原点，以为轴，以垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则，，设.因为，则，整理得，即点的轨迹为在平面上，以为圆心，为半径的圆.所以点到直线的最大距离.又二面角的大小为，所以点到平面的距离的最大值为.8.已知互不相等的实数，满足，记，则等于（）A.1 B. C.3 D.【答案】D【解析】令，因为，所以，这说明的三个根恰好是，因此，①令，则，因为，在①中，令得到，即，整理得到，即，因此，当时，；当时，；当时，，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中，正确的是（）A.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23B.若回归方程为，则变量y与x成负相关C.若随机变量X服从正态分布，则D.样本相关系数，有时也称样本线性相关系数，刻画了样本点集中于某条直线的程度，当时，则表明成对样本数据间没有线性相关关系【答案】ABD【解析】将已知数据排序得12，14，15，17，19，23，27，30，由，第六个数为23，即第70百分位数是23，故A正确；由于，所以变量y与x成负相关，故B正确；因为，所以，故C错误；当越小时，相关性越弱，所以当时，则表明成对样本数据间没有线性相关关系，故D正确.10.双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（）A.B.C.C的离心率为D.当时，四边形的面积为【答案】ACD【解析】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限，对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，故A正确；对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且，设，则，故，故，由A得，故即，故B错误；方法二：因为，因为双曲线中，，则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则，则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则，方法三：在利用余弦定理知，，即，则，则为直角三角形，且，则，故B错误；对于C，方法一：因为，故，由B可知，故即，故离心率，故C正确；方法二：因为，则，则，故C正确；对于D，当时，由C可知，故，故，故四边形为，故D正确，故选：ACD.11.如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（）A.点到平面的距离为定值B.若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为C.若是棱的中点，则过的平面截正方体所得的截面图形的周长为D.若与平面所成的角为，则【答案】ABD【解析】A，连接，因为，由平面，平面，所以平面，又点是棱上的动点（含端点），所以点到平面的距离为定值，设为，则.又，所以，解得，正确；B，如图所示，连接，取的中点为，连接，设外接圆圆心为，外接球球心为，连接，设外接球半径为,过作,交于，则，

在中，设其外接圆半径为，由正弦定理知，所以，即，依题易得≌，故，弦所对的圆周角相等，故四点共圆，则，则在中，，即①，在中，，即②，联立①②，解得，故外接球的表面积为，正确；C，如图，四边形为过的平面截正方体所得的截面图形，

因为平面平面，且平面平面，且平面平面，根据面面平行的性质定理知，又因为为中点，所以为四等分点，则四边形的周长为：，错误；D，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系，

则，则，设平面的法向量，则，令，则，故，则，当时，，当时，，当且仅当时等号成立，又，综上可知，，正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为______.【答案】【解析】的展开式通项为.令，得，所以.所以的展开式中的系数为.13.若函数是奇函数，则______.【答案】【解析】由得，因为函数是奇函数，所以定义域关于原点对称，则方程根互为相反数，所以，所以，所以函数的定义域为，，因为，所以，即，解得.此时，定义域为，且满足，所以.14.已知抛物线的焦点F到其准线的距离为，若等边三角形的边在x轴的非负半轴上，与原点O重合，点的横坐标大于点的横坐标，位于第一象限的点，在抛物线C上，则_______.（用含n的式子表示）【答案】【解析】由题设，易得，则，在抛物线C上，等边三角形的边在x轴的非负半轴上，与原点O重合，设，则时，故，所以，当时，，则，若是的前n项和，则，故，显然时满足，当，，整理得，又，则，故是首项、公差都为2的等差数列，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.（1）求角C及边c的值；（2）求的最大值.解：（1）由，根据余弦定理，得，因为，则.由，得，根据正弦定理，得，则.（2）由（1）知，，则，即，当且仅当时等号成立，则的最大值为4.16.已知函数.（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；（2）若存在极值，求a的取值范围.解：（1）若，则.所以，所以.又，所以函数的图象在点处的切线方程为.（2）因为函数，所以.若存在极值，则有变号零点，即有解.因为，所以，所以.因此有解，且.当时，在上恒成立，所以函数是增函数，无极值；当时，在上有解，记为.令，则，所以在上单调递增，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数在处取得极小值，即函数有极值.故a的取值范围是.17.如图，在四面体ABCD中，，点E，F分别是CD，AB的中点.（1）证明：；（2）若二面角的大小为，求直线EF与平面BCD所成角的大小.（1）证明：如图过作,，.,四边形为平行四边形，连接、，四边形为平行四边形，点E是的中点，，，为的中点，,即，又，，，平面，平面，又平面，，又是的中点，为的中点，为的中位线，，，（2）解：由(1)可知，，又平面平面，为二面角的平面角，即，如图，在平面内过点作，从而、、两两互相垂直，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，由，得，所以点的横坐标为，点的纵坐标为，即，从而，,,设平面的法向量为，则，取。则，又，所以直线与平面所成角的正弦值，，即直线与平面所成角为.18.已知斜率为的直线交椭圆（且）于A，B两点，AB的垂直平分线与椭圆交于C，D两点，点是线段AB的中点.（1）若，求的取值范围；（2）求的值；（3）证明：无论怎么变化，都存在A，B，C，D四点共圆，并求圆心的坐标.（1）解：设，当时，线段的中点，此时应满足在椭圆内，即，解得，所以当时，的取值范围为.（2）解：由为椭圆上两点，从而有，两式作差得，即，由线段中点，得到，斜率，所以，得到.（3）证明：由（2）可知，，得到的垂直平分线的斜率为，所以直线的方程为，即，联立，化简整理得，，设，则，，从而的中点为，，直线的方程为，即，联立，化简整理得，，，由垂直平分，所以当，，，四点共圆时，有即，化简得，当，，，四点共圆与的值无关，则，解得，则，此时圆的圆心坐标为为或.19.某连锁餐厅有家分店，将分店按照规模从小到大依次编为号到号．每家分店都配备了一定数量的员工，配备方案为：第号分店员工包含第号店长和名服务员．为了加强各分店之间的员工交流与经验分享，提升整体服务水平，餐厅总部决定进行员工轮岗工作．具体安排为：从每家分店随机选派名员工到下一家分店进行工作，即从号分店选派名员工到号分店，再从号分店（含轮岗人员）选派名员工到号分店，依次类推，从号分店选派名员工到号分店．轮岗结束后，从第号分店任选名员工进行服务反馈调查，并选派至号分店，记选中店长的概率为．（1）当时，求的值；（2）在第号分店选中店长的条件下，若该店长为第号店长，求随机变量的分布列；（3）证明：．（1）解：由题意可知，号店中有名店长和名员工，号店中有名店长和名员工，当时，记事件从号店中选派名店长去号店，则事件从号店中选派名员工去号店，记事件从号店中选派名店长去号店，则，，，由全概率公式可得.（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，记事件轮岗后，号分店店长的人数为，则，则，记事件在第号分店选中店长，则当时，说明从号店、号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长，所以，当时，说明