浙江丽水发展共同体2025-2026学年高一下学期4月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江丽水发展共同体2025-2026学年高一下学期4月期中联考数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以的共轭复数为.2.已知，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以.3.若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为圆锥的母线，高，所以底面半径，故其体积.故选：A.4.若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解法一：因为，所以.因为，所以.解法二：令，则，，所以.故选：D.5.已知在矩形中，，，，，则的值为（）A.9 B. C.15 D.【答案】C【解析】由，得，因此，则；由，得，因此，则，所以.因为，代入，，可得：.6.记的内角的对边分别为，，，，则的面积为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以，所以，所以.7.已知三棱锥的侧棱，，两两垂直，，，若该三棱锥的外接球体积为，则该三棱锥的表面积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如图，，，且，，两两垂直，，设，依题意，可将该三棱锥置于一个长、宽、高分别为的长方体中，可得其外接球的半径，又由，解得，故，解得，所以该三棱锥的表面积为：.故选：C.8.在中，若，，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则，，两式相除得，在中，，则，即，又，即，由，得，又，所以.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）9.已知为虚数单位，下列说法正确的是（）A.若复数，则B.若复数满足，则或C.若复数满足，则D.若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线【答案】AD【解析】若复数，则其共轭复数，所以，故A正确；设复数，若，则，所以复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，所以复数不是只有或这4个值，故B错误；设复数，，此时，满足，但是，，显然，故C错误；设复数，则，，若，将其两边平方可得，即，即.所以复数在复平面内对应的点的轨迹为直线，故D正确.10.某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地面的高度（单位：m）满足．已知当时，过山车到达第一个最高点，最高点距地面28m，当时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面8m，则（）A.B.过山车启动时距地面13mC.D.一个周期内过山车距离地平面不低于23m的时间是4s【答案】BCD【解析】最高点满足

，最低点满足

，联立解得，故A错误；第一个最高点到第一个最低点的间隔为半个周期

，因此

，故C正确；将参数代入得，时为最高点，故，即，解得，结合得

，因此解析式为，启动时，代入得，故B正确；要求，代入得不等式，解得一个周期内（）满足条件的范围是，区间长度为，故D正确.11.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（）A.若，则四面体的体积为定值B.若，则点的轨迹长度为C.若，平面截正方体所得截面为四边形D.若，则存在点在线段上，使得的最小值为【答案】ABD【解析】对于A选项.当时，点在正方形内的轨迹是一条线段，其中点在上，且；点在上，且.因为在正方形中有，所以.又因为在直四棱柱中，且平面，平面，所以平面.这说明当点在线段上运动时，点到平面的距离保持不变.而的面积是定值，所以四面体的体积为定值.因此A项正确；对于B选项.过点作平面的垂线，垂足为，则平面，且.由，得，即.所以点的轨迹是平面内以为圆心、2为半径的圆与侧面四边形的公共部分，即一段圆弧.设该段圆弧的端点分别为，其中，，则，，，，所以.故轨迹长为.因此B项正确.对于C选项.取，则点为线段的中点.此时作平面，可得该平面分别与棱交于点，于是所得截面为五边形，并不是四边形.因此C项错误；对于D选项.当时，点为侧面的中心.设点为点在平面上的射影，则点为的中点，且.在正方形内，过点分别作的垂线，垂足分别为.由正方形的性质可得，，.在平面内，过点作，并取点在直线与点的同侧，使.对于线段上任意一点，有.又因为，，所以，即.于是.因为点在直线两侧，且直线与线段的交点在线段上，所以当点为直线与线段的交点时，取得最小值，最小值为.又在平行于和垂直于的两个方向上，点到点的距离分别为和，所以.故，即的最小值为.因此D项正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________．【答案】【解析】在方向上的投影向量的公式为：，所以，，将结果代入公式:.13.四棱锥的底面为平行四边形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则________．【答案】【解析】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，由四边形是平行四边形，得，在线段PE上取点G，使得，由，得，连接BG，FG，则，由平面，平面，得平面，而平面，，平面，因此平面平面，又平面平面，平面平面，则，所以.14.在锐角中，内角所对的边分别为，且若，，则的取值范围为________．【答案】【解析】在锐角中，，则，，由余弦定理得，则，由，得，因此，而，则，由正弦定理得，于是，由是锐角三角形，得，解得，则，由函数在上单调递增，得，因此，所以的取值范围为.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数，其中为虚数单位，．（1）若是纯虚数，求的值；（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．解：（1）由是纯虚数，则，故.（2）由在复平面内对应的点在第四象限，，所以.16.如图，在直三棱柱中，，点为的中点．（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积．解：（1）连接，设，连接，在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点，又因为为的中点，则，又因为平面，平面，所以平面．（2）由直三棱柱可知，三棱锥的高为，，在中，，为的中点，由（1）知，所以．因此．17.已知函数，且函数图象的一个对称中心为.（1）求的值；（2）若在区间上的值域是，求的取值范围．解：（1），因图象的一个对称中心为，则，解得，又，则取，得．（2）当时，，因为，结合函数图象可知，欲使在区间上的值域是，则，解得．18.如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点．（1）用，表示；（2）若点为的中点，求的值；（3）若，求的值．解：（1）在中，，，．（2）设，由（1）可知，，，，三点共线，，，，，由余弦定理可得，，．（3）设，由余弦定理可得，由正四面体得，，.，化简得，解得或，或．19.已知函数，若对于任意实数，，，都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”．（1）试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由；（2）设向量，，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围；（3）已知函数为（为常数）上的“完美三角形函数”．函数的图象上，是否存在不同的