浙江台州十校联盟2025-2026学年高一第二学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江台州十校联盟2025-2026学年高一第二学期期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】复数，则，故选：A.2.在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若，，，则C=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，，所以由余弦定理得，，因为，所以，故选：C.3.如图，，设，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可知：.4.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知则四边形ABCD的周长为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意可知，直观图为等腰梯形，，，过点作于，，则，在Rt△A'F'根据斜二测画法规则还原原图形，如图：则，，∵在轴上，，作于，则，，，四边形的周长为：，故四边形的周长为.5.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，，即，由题意得，侧面积，解得，，圆锥的高，圆锥的体积，故选：A．6.在中，“”是“是锐角三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，即，整理可得，可知，且，可知角为锐角，所以，等价于角为锐角，因为角为锐角不能推出是锐角三角形，但是锐角三角形可以推出角为锐角，所以“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件.7.如图，在正方体中，为中点，为线段上一动点，过的平面截正方体的截面图形不可能是（）A.三角形 B.矩形 C.梯形 D.菱形【答案】A【解析】B选项，当点与重合时，取中点，因为是中点，则，且，连接，则四边形为平行四边形，又因为，所以平行四边形为矩形，故排除B选项；C选项，当点与重合时，取中点，因为是的中点，所以，连接，截面四边形为梯形，故排除C选项；D选项，当点为中点时，因为是中点，所以且，连接，则四边形是平行四边形，又因为，，因为是正方体，所以，所以，所以平行四边形是菱形，故排除D选项；不管点在什么位置，都不可能是三角形.故选：A.8.如图，在梯形中，，点分别在线段上运动且，求的最大值（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，设，如图：则，，所以，，，当时，.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数满足，则（）A.的实部是 B.的虚部是C. D.在复平面内所对应的点位于第二象限【答案】AD【解析】；对于A，由实部定义知：的实部为，A正确；对于B，，的虚部是，B错误；对于C，，C错误；对于D，对应的点为，位于第二象限，D正确.故选：AD.10.已知两条不同的直线a，b，两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】AC【解析】对于A，根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条不同直线互相平行，故A正确；对于B，因，不妨设直线的方向向量分别为，则可看成平面的法向量，又因，则，故，故B错误；对于C，根据面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，故C正确；对于D，根据面面平行判定定理，若，才能得到，因缺少的位置关系，故得不到，即D错误.11.在中，斜边为中点，的角平分线交于点，与交于点，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则为定值【答案】ABD【解析】设，则，A选项，根据为角平分线且可得，，化简得，而在中，，所以，将代入得，解得，故A正确．B选项，根据角平分线的性质：三角形内角平分线分对边所得的两条线段的比等于夹这个角两边的比.因为为角平分线，则在中，为的角平分线，则有，根据得，所以，根据DFBF=13,C选项，在和分别使用等面积法可得，12CD⋅CF⋅sin化简得CD⋅CF+CF=2CD⋅cosθAC⋅CE+CE=2AC⋅，即，将代入得，故C错误．D选项，根据C选项可得，根据B选项可得，而，所以，得证，故D正确．三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．12.在中，角的对边分别为，已知，则______．【答案】或【解析】因为中，，由正弦定理，得，因为，所以或，因为，经检验，或均符合题意.13.已知，则在上的投影向量为______．【答案】【解析】，，在上的投影向量为.14.在三棱锥中，三条棱两两垂直，且，，．若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则点到平面距离的最大值为______．【答案】【解析】如图，因为两两垂直，所以三棱锥的外接球，即为长方体的外接球，因为，，，所以长方体的体对角线，所以长方体外接球半径即三棱锥的外接球半径为，又，，，在中，由余弦定理，，则，由正弦定理，可得的外接圆半径为，所以球心到平面ABC的距离为，所以点M到平面ABC距离的最大值为．故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设复数，．（1）若是实数，求；（2）若是纯虚数，求．解：（1），（2）因为是纯虚数，所以，解得，所以，．16.已知平面向量，其中．（1）若为与方向相同的单位向量，求的坐标；（2）若且与垂直，求向量夹角的余弦值．解：（1）设由得，解得，所以c=（2）因为与垂直，所以a-2b⋅即2a2-5又，，所以.所以向量夹角的余弦值cosa,17.如图，圆柱轴截面是边长为的正方形，动点在底面圆周上．（1）求证：平面平面；（2）若点为弧的中点，求异面直线与所成角的余弦值．解：（1）如图，连接，且，所以四边形为平行四边形，所以.平面平面，.又为圆的直径平面平面,平面，又，平面，平面，∴平面平面（2）延长交圆于点，连接易得，所以且，所以.且，所以四边形是平行四边形，即且，因此可得且，四边形是平行四边形，即.所以或其补角即为异面直线与所成角.∵点为弧的中点且为直径，且，可得.，在中，，所以异面直线与所成角的余弦值为.18.在中，角的对边分别是，若．（1）求；（2）若，，求的面积；（3）若，求锐角面积的取值范围．解：（1）由得，因为，所以，所以，即，因为，所以，所以，所以，又因为，所以；（2）由，得，解得，（舍去），所以；（3）因为，，所以，由，得，所以，因为为锐角三角形且，所以，则，，，，所以．19.如图，在四棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若平面底面，求直线与底面所成角的正切值；（3）若，求锐二面角的余弦值．解：（1）取的中点为，连接，则，且，又，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.因为，且平面平面，所以平面.（2）由（1）知，所以直线与底面所成角即直线与底面所成角，如图，过作于，又平面底面，平面底面平面，则底面