河北唐山市路北区2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北唐山市路北区2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】B2.在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B3.某校高一年级有800名学生选学物理，将某次联考的物理成绩绘制成的频率分布直方图如图所示，则高一年级这次联考的物理成绩位于区间的人数约为（）A.200 B.220 C.240 D.260【答案】C4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】C5.已知一组样本数据：8，9，9，11，12，13，15，16，17，18，18，20，则这组样本数据的第70百分位数与中位数之和是（）A.29 B.30 C.31 D.32【答案】C6.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战年成都世界运动会，已知某运动员某次特训的成绩分别为，则下列说法错误的是（）A.这组数据的极差为 B.这组数据的众数为C.这组数据的平均数为 D.这组数据的方差为【答案】B7.在中，角所对应的边分别为．若，则角的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A8.在中，，其面积为，则等于（）A. B. C. D.【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分．9.甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（）A.目标恰好被命中一次的概率为B.目标恰好被命中两次的概率为C.目标被命中的概率为D.目标被命中的概率为【答案】BD10.如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（）A.存在点，使得平面B.过，，三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形C.异面直线与所成的角的大小为D.若平面，则点的轨迹的长度为【答案】AC11.已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（）A.若，则是锐角三角形B.若，则是等腰三角形C.若，则是等腰三角形D.是锐角三角形，则【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.由于甲流暴发，防疫站对学生进行身体健康调查，对男女学生采用分层抽样法抽取.学校共有学生1600名，抽取一个容量为200的样本.已知女生比男生少抽了20人，则该校的女生人数应是_______人.【答案】72013.在四面体中，，则该四面体的外接球的表面积为______．【答案】14.若，且，则向量与的夹角为______．【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.年月日，“国际教育信息化大会”在山东青岛开幕.为了解哪些人更关注“国际教育信息化大会”，某机构随机抽取了年龄在岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制成频率分布直方图，如图所示，其分组区间为：，，，，，.把年龄落在区间和内的人分别称为“青少年”和“中老年”.关注不关注合计青少年中老年合计（1）根据频率分布直方图求样本的中位数（保留两位小数）和众数；（2）根据已知条件完成列联表，并判断能否有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”；0.100.050.010.0050.0012.7083.8416.6357.87910828解：（1）根据频率分布直方图可知样本的众数为40，因为，设样本的中位数为，则，所以，即样本的中位数约为36.43.（2）依题意可知，抽取的“青少年”共有人，“中老年”共有人.完成的列联表如下：关注不关注合计青少年中老年合计结合列联表的数据得，因为,所以有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”.16.回答下列问题（1）已知平面向量、的夹角为，且为单位向量，，求（2）已知向量、，满足，，，求向量与的夹角.解：（1）因为为单位向量，，所以，，又因为平面向量、的夹角为，所以，所以.（2）因为，，，所以，解得，所以，解得，又因为，所以.17.记的内角的对边分别为，已知向量，，且.（1）求；（2）若的面积为，且，求.解：（1）由题意知，，由正弦定理得，因为，所以，则，即，又，所以.（2）因为的面积为，解得，所以，由余弦定理得，所以.18.已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面．（1）求证：平面；（2）已知，（ⅰ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积；（ⅱ）当时，求直线与所成角的余弦值.（1）证明：四边形是菱形，，又平面，平面，，又，平面，平面.（2）（ⅰ）解：平面，是直线与平面所成的角，于是，，，又，所以，菱形的面积为，故四棱锥的体积.（ⅱ）解：平面，平面，，，所以，，因为，所以即为异面直线与所成角（或补角），又，所以在中，由余弦定理，即，解得，所以为锐角，即为直线与所成角，所以直线与所成角的余弦值.19.已知函数最小正周期为.（1）求的值和函数图象的对称中心；（2）将函数的图象上的各点向左平移