河南平顶山市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南平顶山市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，若，则（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知，，解得.2.甲、乙分别报名参加春季运动会中的跳远、1500米、铅球三项比赛项目，根据运动会比赛安排，这三项比赛同时进行，每人只能报其中一项，则不同的报名种数为（）A.9 B.8 C.6 D.5【答案】A【解析】甲报名参加其中一项比赛项目有3种选法，乙报名参加其中一项比赛项目也有3种选法，根据分步乘法计数原理可知，有种报名方法.3.记为数列的前项和，已知，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当时，，当时，，不满足上式，所以4.若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线的斜率为1，所以直线的斜率存在，则其斜率为，由题意得，，解得，由解得，所以这两条直线的交点坐标为.5.如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】为正八面体，四边形为正方形；；是的中点，，则，为的中点，四边形为平行四边形，，.6.已知直线与圆：相交于，两点，其中点为此圆的圆心，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】将圆的方程化为标准形式：，则圆心为，半径为，过作，垂足为，则，所以，在中，，所以.7.已知A，B，C，D四名同学参加诗歌朗诵比赛，已评出名次（第一名至第四名，无并列名次），但未公布，一位评委提供如下信息：A不是第四名，B，D两人名次不相邻，根据上述信息，这4人名次排列情况可能的种数为（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】C【解析】当A是第一名时，C只能是第三名，则有种排列种数；当A是第二名时，C不能是第一名，则有种排列种数；当A是第三名时，C不能是第四名，则有种排列种数，综上可知，这4人名次排列情况可能的种数为.8.已知不经过点的直线：与双曲线：交于，两点，若的角平分线与轴垂直，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，，由整理得，则，且，，.因为的角平分线与轴始终垂直，所以，恒有，即，所以，则，整理得，则，所以，又，所以，因此双曲线的离心率为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，且，则（）A. B.在上单调递增C.只有一个极值点 D.有三个零点【答案】BC【解析】对于A，，由得，，所以，A错误；对于B，易知的定义域为.，当和时，，当时，，所以在和上单调递减，在上单调递增，则在上单调递增，B正确；对于C，由上可知，在上没有极值点，在上只有一个极小值点，C正确；对于D，因为，且在上单调递减，所以在上只有一个零点；因为，所以在上没有零点，因此仅有一个零点，D错误.10.已知，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于A，令，则，A正确；对于B，令，则，B正确；对于C，令，则，与B项中所得的式子相加，得，C错误；对于D，因为，所以它的展开式中含项的系数为，D正确.11.已知数列满足，设，的前项和分别为，，则（）A. B.C.当时， D.【答案】ACD【解析】对于A，由条件可知，，，则，A正确；对于B，由得为奇数时，，，B错误；对于C，当时，因为，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列，则，所以，C正确；对于D，时，因为，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列，则，所以，所以前2026项中偶数项的和为，由B项可知，，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则曲线在点处的切线方程为______.【答案】【解析】，又，则，所以曲线在点处的切线方程为，即13.已知为抛物线：的焦点，过点的直线与相交于，两点，若轴，，则______.【答案】5【解析】不妨设点在第一象限内，，则，代入，解得，即，所以直线的方程为，即，由得，则，所以，所以根据抛物线的定义可知，.14.某市推出“文明出行，平安上学”宣传活动，某宣传志愿者计划利用4天到7所学校进行宣讲，要求每天至多宣讲两所学校，7所学校中相距较远的甲、乙两校不安排在同一天宣讲，则不同的安排方法有______种【答案】2160【解析】将7所学校分成1，2，2，2四组，当甲或乙单独一组时，有种不同的分组方法；当甲、乙分别与其他学校一组时，种不同的分组方法，根据分类加法计数原理可知，甲、乙两校不安排在同一天宣讲，共有种不同的分组方法.将分好的4组安排到4天中，共有种不同的安排方法，根据分步乘法计数原理，共有种不同的安排方法.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知二项式的展开式中第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍.（1）求的值；（2）求展开式中的常数项.解：（1）由题意可知，，则，又，所以，解得.（2）二项式的展开式的通项为，令，解得，所以展开式中的常数项为.16.已知椭圆：经过，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点的直线交于，两点，其中点在第二象限内，点在第三象限内，若的面积等于的面积，求.解：（1）由题意可知，解得，，故椭圆的标准方程为.（2）由（1）可知，椭圆的左焦点为，如图，因为的面积等于的面积，所以点，到直线的距离相等，结合图形可知，，则，所以直线的方程为.由消去整理得，解得，设，，则17.已知数列满足.（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）记为数列的前项和，令，求使取得最大值时的值.解：（1）当时，；当时，，解得.（2）因为，所以当时，，两式相减，得，当时，也满足上式，所以.（3）由（2）知，，因为，所以数列为等差数列，则，所以，，令，解得，，令，解得，，令，得.所以，综上可知，取得最大值时的值为4或5.18.如图，矩形中，点，，分别在，，上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面.（1）证明：平面.（2）若存在点，使得点到，，，的距离相等.（ⅰ）求点到平面的距离；（ⅱ）若点满足，当取得最小值时，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：在矩形中，因为∥，，所以四边形为正方形，则，，即，又，所以平面，则是平面的一个法向量，同理证得平面，又平面，所以，即，又平面，所以∥平面.（2）（ⅰ）解：连接，，由（1）知，∥，且平面，所以平面，则，因为平面平面，且，平面平面，所以平面，又平面，则，在，中，当为的中点时，点到，，，的距离相等.由上知，，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，.设平面的法向量为，，令，则所以点到平面的距离为.（ⅱ）解：由可知，点在以为球心，以为半径的球的球面上，当，，共线，且位于线段上时，取得最小值.由坐标系可知，，，所以，则，又，设平面的法向量为，，令，则，由（1）知是平面的一个法向量，记为，于是，故平面与平面夹角的余弦值为.19.已知函数.（1）当时，（ⅰ）求在区间上的值域；（ⅱ）证明：，.（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.（1）（ⅰ）解：当时，，，所以在上单调递增，则，，所以在区间上的值域为.（ⅱ）证明：要证明，，需证明在上恒成立，令，，则，因为，所以，则，当且仅当时取得等号，所以，则在区间上单调递减，故，即，综上可知，，.（2）解：由（1）可知，当时，在上单调递增，则，即.在上