河南省名校联盟2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省名校联盟2025-2026学年高一下学期期中数学试题注意事项：1.答题前，务必将自已的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】C2.已知向量，则与同方向的单位向量的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D3.已知平面和两条不同的直线、，则下列说法正确的是（）A.若上有无数个点不在内，则B.若，则与内的任意一条直线都没有公共点C.若，则平行于内的任意一条直线D.若，且，则【答案】B4.设复数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A5.已知的三个顶点分别为，，，则是（）A.的直角三角形 B.的直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形【答案】B6.在中，，，交于点，设，，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】C7.若直三棱柱的所有顶点均在半径为的球O的球面上，且，，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A8.在中，，，且的面积为，则（）A.3 B. C. D.【答案】D二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.下列结论正确的是（）A.若为非零向量且，则B.若，则C.若，则D.【答案】ACD10.下列关于复数，的说法正确的是（）A.若，则为实数或纯虚数 B.若，则C.若，则 D.【答案】AD11.在四棱锥中，底面，且，底面是边长为2的菱形，设，则下列说法正确的是（）A.当增大时，四棱锥的体积逐渐增大B.若，则三棱锥的体积为C.若四棱锥有外接球，则其外接球的表面积为D.若，则三棱锥的内切球半径为【答案】BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.用斜二测画法画出的水平放置的边长为2的正方形的直观图的面积为______．【答案】13.已知某圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为______．【答案】14.如图，等边三角形是由三个全等的三角形（，，）与中间一个小等边三角形拼成的，且的面积是的面积的倍，设，则______．【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知复数在复平面内对应的点位于第四象限．（1）求实数m的取值范围；（2）已知O为坐标原点，若m为整数，且z，在复平面内对应的点分别为A，B，求向量在向量上的投影向量的坐标．解：（1）复数在复平面内对应的点为，可得，解得，所以实数m的取值范围为.（2）由（1）可知，当m为整数时，，则，，所以，可得，则向量在向量上的投影向量为.16.已知，为不共线的单位向量，，．（1）若且，求，的夹角的余弦值；（2）若，的夹角为，且，求实数的值．解：（1）则则,则,则,则.（2）,,,,,,解得：当时，，成立，当时，成立，或.17.某海滨景区计划建造一座观光灯塔，其主体结构由下部的圆柱和上部的圆锥组合而成（如图所示）．已知圆柱的底面半径为3m，高为5m，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的母线长为5m．（取的近似值为3）（1）求该灯塔主体结构的体积；（2）已知物料费用由两部分组成：①主体结构材料费为每立方米1000元，②外部装饰涂料费为每平方米外表面积200元（不包括底面）．人工施工费为总物料费用的．若景区预算为40万元，问：该预算是否够用？解：（1）设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，圆锥的母线长为，圆锥的高为，则，所以，所以圆柱的体积为，圆锥的体积为，所以该灯塔主体结构的体积为；（2）由（1）得：主体结构材料费为(元)，又外部的表面积为，所以外部装饰涂料费为（元），所以总物料费为：（元），所以人工施工费为（元），所以总的费用为：（元），即总的费用为：万元万元，所以景区预算够用.18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求A．（2）已知AD平分且交BC于点D，．（ⅰ）若，求a；（ⅱ）求周长的最小值．解：（1）因为，所以，即，所以，因为，所以；（2）（ⅰ）因为，由正弦定理得：，因为AD平分，所以，因为，所以，将代入上式得，解得，，由余弦定理得，解得.（ⅱ）由，得，将代入上式得，即，即，则，当且仅当时，等号成立，则的最小值为8；由余弦定理得，，令，则，因为，当时，的最小值为，则的最小值为，所以周长的最小值为.19.如图，圆O的半径为2，P，Q为圆O上两点．（1）若，向量与垂直，求实数a的值；（2）若过的重心的直线与边PQ，OP分别交于点M，N，且，，且，求的最小值；（3）设（且为常数），若的最小值为，求x的值．解：（1）因为向量与垂直，所