河南省青桐鸣联考2025-2026学年高一下学期3月学情自测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省青桐鸣联考2025-2026学年高一下学期3月学情自测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得，故，故．2.若函数为奇函数，则（）A. B.0 C.1 D.2026【答案】B【解析】因为函数的定义域为，且为奇函数，则，结合的任意性可得．3.已知函数的定义域为A，函数的定义域为B，则（）A.“”是“”的充分不必要条件B.“”是“”的必要不充分条件C.“”是“”的充要条件D.“”是“”的既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数的定义域为得；函数的定义域为得，可知“”是“”的充分不必要条件．4.已知平面向量，，若在上的投影向量为，则（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】由题意得，，由投影向量的计算公式得，则，即，解得．5.在中，，，则的外接圆半径为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由余弦定理得，由得，由正弦定理得的外接圆半径．6.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】显然，，，则．7.已知函数的图象是由曲线上各点的横坐标变为原来的2倍后，再向左平移个单位长度后所得，则（）A.-1 B. C. D.1【答案】D【解析】显然，由可得，于是，，由得.所以.于是．故选D．8.已知平面向量，，满足，则的最大值为（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】由两边平方可得：可得①，由两边平方化简可得：,即②，①②两式相加得，当且仅当时等号成立，此时②式整理可得，联立①解得，，所以的最大值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，，，则（）A.与是同一函数B.与是同一函数C.若，则D.已知，若，则【答案】BCD【解析】对于A，注意到的定义域为，的定义域为R，二者不是同一函数，故A错误；对于B，，二者定义域相同，故B正确；对于C，，则，，故C正确；对于D，，因为，则，即，故，故D正确．10.在中，点M，N满足，，P为直线MN上一点，则（）A.B.C.若，则D.若，则【答案】BC【解析】对于A，易知M为AC的中点，故，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，易得，可得，，，故C正确；对于D，当P与M重合时，，，这与矛盾，故D错误．故选BC．11.已知函数在区间上单调递减，则（）A.B.当时，C.当时，D.当时，【答案】ABD【解析】对于A，，故A正确；对于B，因为在区间上恒成立，故在区间上恒成立，故B正确；对于C，在区间上单调递减，此时，故C错误；对于D，当时，由单调性得，即，可得，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则的解集为______．【答案】【解析】由函数，可得，解得：，所以函数的定义域为，而，则，，得，故解集为．13.已知的面积为，，则的最小值为______．【答案】【解析】由已知联立，得，解得.由面积得，可得.由余弦定理得，当且仅当时，等号成立，于是的最小值为．14.已知a为实数，函数，若，则______．【答案】【解析】，令，由于当时，，当时，，且在上单调递增，则存在唯一，使得，且,若，则，得，可得．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在平面直角坐标系中，已知、、、．（1）证明：；（2）求的值．解：（1）由题意可得，，故，所以.（2）由题意可得，，故．16.已知函数．（1）当时，用定义法证明：是增函数；（2）当时，曲线与曲线的图象关于直线1对称，求的值．解：（1）当时，函数，任意取，且，则，因为，，故，所以是增函数．（2）因为曲线与曲线的图象关于直线1对称，则与值域相同，所以，由于曲线与曲线在处的函数值相同，则，解得，，故．17.在四边形ABCD中，，，，其中M，N分别为线段AB，CD的中点．（1）证明：；（2）求与之间的距离；（3）求．解：（1）由题意可得．（2），解得，同理，由题意易得，所以与间的距离为，由勾股定理得，解得．即与间的距离为.（3）由勾股定理得，得．显然，而，所以.而，得，同理，所以.可得与间的夹角为，于是．18.记的内角的对边分别为，已知．（1）求A；（2）若，求C；（3）若，求．解：（1）由正弦定理得，即，，由余弦定理得，由得．（2），即，由余弦定理得，由得．（3）由，，得，．19.已知在平行四边形ABCD中，直线l穿过平行四边形的内部，与边AB，AD分别交于点M，N，且与对角线AC交于点P．（1）证明：．（2）设，其中，且为已知常数．（ⅰ）证明：；（ⅱ）若在上的投影向量与在上的投影向量相同，且为单位向量，求的最大值．解：（1）在中，．因为四边形ABCD为平行四边形，点M，N分别在边AB，AD上，所以．所以，则．在中，由正弦定理可得，，即得，代入的表达式，可得．（2）（ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，.由已知，则．因为点M在边AB上，点N在边AD上，故，，则．因为M，P，N三点共线，根据平面向量基本定理与三点共线定理的推论，可得，也即．（ⅱ）因为在上的投影向量与在上的投影向量相同，所以．所以，即．又，故，所以．设，，将与作为平面向量的一组基底．因为为单位向量，即，所以，即，故，．设，，因为M，N均在线段上且l在ABCD内部，故，