人教版七年级数学上册常考点提分精练专题26含绝对值符号的一元一次方程(原卷版+解析)

专题26含绝对值符号的一元一次方程

1.阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”.

如：|x|=2,|21-1|=3,…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路

是：含有绝对值的方程-不含有绝对值的方程，我们知道，由|幻=2,可得x=2或x=-2.

［例］解方程:|2x-l|=3.

我们只要把2x-l看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题.

解：根据绝对值的意义，得2x-l=3或21-1=-3.

解这两个一元一次方程，得x=2或x=T.

根据以上材料解决下列问题：

(1)解方程：|3x-2|=4；

(2)拓展延伸：解方程|x-2|=|3x+2|.

2.先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题.

解方程：Ix-31=2.

解：当x-3..0时，原方程可化为x—3=2,解得x=5；

当x-3vO时，原方程可化为1-3=-2,解得x=l.

所以原方程的解是x=5或尸1.

(1)解方程：|3x-2|-4=0.

(2)解关于x的方程：\x-2\=b.

3.探究发现

阅读下列解题过程并解答下列问题：

解方程|x+3|=2.

解：①若x+3>0时，原方程可化为一元一次方程x+3=2.「.x=-l；

②若x+3vO时，原方程可化为一元一次方程-Cr+3)=2..•」二一5；

③若x+3=0时，则原式中|0|=2,这显然不成立，.•.原方程的解是工=一1或x=-5.

(1)解方程|3x-2|-4=0.

(2)若方程|X-5|=2的解也是方程4x+m=5x+l的解,求苏-4m+4的值.

(3)探究：方程|x+2|=〃+l有解的条件.

4.解方程:|x-|3x+l||=4.

5.解方程：\2x+3\-\x-\\=4x-3.

6.解方程|X—4|+|K+3|=7.

7.已知关于x的方程|4-2|+次-3|=。，研究。存在的条件，对这个方程的解进行讨论.

8.当〃取哪些值时，方程|工+2|+次-1|=。有解？

9.解下列方程：

(1)|3X-5|-F4=8：

(2)|4x-3|-2=3x+4；

(3)|x-|2.r+l||=3；

(4)|2x-l|+|x-2Hx+l|.

10.已知方程|川="+1有一负根，且无正根，求a的取值范围.

11.解下列方程：

(1)|x+3|-|x-l|=x+l

(2)U-l|+|x-5|=4.

12.讨论方程|以+3|-2|=攵的解的情况.

13.解方程:|||x|-2|-“-2|=2.

14.当。满足什么条件时，关于x的方程|1-2|-|工-5|=。有一解？有无数多个解？无解?

15.解方程:|2X4-1|-|X-5|=6.

16.设〃、〃为有理数，且|a|＞。，方程||x-a|-勿=3有三个不相等的解，求b的值.

17.解方程：|x+l|+|x-2|-5.

18.已知|x-l|+|x-2|=l,则x的取值范围是.

19.若关于尤的方程如+3=|%|有负根且无正根，则。的取值范围是—.

20.已知关于x的方程|x+3|+|x-6|=a有解，那么。的取值范围是.

21.使关于工的方程|x|=at+l同时有一个正根和一个负根的整数”的值是.

22.若。＞0,〃＜0,则使|x—a|+|x—成立的x取值范围是.

23.关于x的方程||x+3|T|=a有三个解，则a的值为一.

24.若关于x的方程|x|=ar+l只有一个负根，则a的取值范围是—.

25.方程|4|3%+1||=2的解为x=.

26.对关于x的方程万-l|+|x+2|=a(I)

考虑如下说法：①当a取某些值时，方程(1)有两个整数解;

②对某个有理数a，方程(1)有唯一的整数解；

③当。不是整数时，方程(1)没有整数解；

④不论“为何值时，方程（1〕至多有4个整数解.

其中正确的说法的序号是.

③当力>0时，

当x—2..0时，原方程可化为工一2=力，解得x=〃+2；

当x-2v0时，原方程可化为工一2=—8，解得x=-〃+2.

3.探究发现

阅读下列解题过程并解答下列问题：

解方程I%+3|=2.

解：①若x+3>0时，原方程可化为一元一■次方程x+3=2./.x=—1：

②若x+3v0时，原方程可化为一元一次方程-(x+3)=2.."=-5；

③若x+3=0时，则原式中|0|=2,这显然不成立，，原方程的解是x=-l或x=-5.

(1)解方程|3x-2|T=0.

(2)若方程|x-5|=2的解也是方程4x+/〃=5x+l的解，求*-4〃叶4的值.

(3)探究：方程|x+2|=6+l有解的条件.

【解答】解:(1)原方程可以化成|34-2|=4,

当力一2>0时，原方程可以化成3工一2=4,解得：x=2；

当3x-2v0时，原方程可化成3x-2=T,解得：x=—；

3

当3x—2=0时\原式不成立.

.••原方程的解是戈=2或式=-4；

3

(2)解方程|工一5|=2,

当大一5>0时，原方程是工一5=2,解得：x=7；

当人一5<0时，原方程是工一5=—2,解得：x=3；

当x-5=0时，方程不成立.

则原方程的解是x=7或x=3.

当x=7时，代入方程4x+nt=5x+\得：28+/n=35+l,解得：m=S,则

nf—4m+4=(m-2)2=36；

当x=3时，代入方程4x+"z=5x+l得：12+加=15+1,解得：,则

m2-4m+4=(in-2)2=4；

(3)方程|x+2|=b+l有解的条件是:/?+1..0,

解得：b.\.

4.解方程：|x-|3x+1||=4.

【解答】解：原方程式化为A|3X+1|=4或A|3X+1|=Y

(1)当3x+l>0时，即1>」，

3

由x—|3x+l|=4得

x-3x-l=4

.•.X=-2与不相符，故舍去

23

由x-|3x+11=-4得

x-3x-\=-4

3

:.x=—

2

(2)当3x+lvO时，即/<」，

3

由x-|3x+l|=4得

X+3A+1=4

.,.x=2与xv-L不相符，故舍去

43

由x-|3x+l|=-4得

x+3x+l=-4

5

/.x=—

4

故原方程的解是刀=-3或工=3

42

5.解方程：|2x+3|-|x-l|=4.r-3.

【解答】解：(1)当工，一三时，原方程可化为：—3—2x+x—l=4x—3

2

.\5x=-l，

解得：%=

5

与兀，--|不符；

(2)当x..l时，原方程可化为：2x+3-x+l=4x-3

/.3x-l.

7

/.x=—;

3

3

(3)当一二vxvl时，原方程可化为：2x+3—l+x=4x—3

2

a

.,.x=5与一，vx<1不相符；

2

综上所述，方程的解为：x=~.

3

6.解方程|x—4|+|x+3|=7.

【解答】解：(I)当XV—3时，

原方程可化为：-&一4)-(x+3)=7

解得：x=-3,与题意不符，故舍去.

(2)当一整*4时，

原方程可化为：一*-4)+工+3=7即7=7

所以-琛山4

(3)当x>4时，

原方程可化为x-4+x+3=7,x=4与题意不符，故舍去.

故原方程的解是-3致k4.

7.已知关于x的方程|x-2|+|x-3|=a,研究。存在的条件，对这个方程的解进行讨论.

【解答】解：由绝对值的意义可知：以-2|+|工-3|的最小值为1,

(1)当。>1时，方程有两个解，可以为x<2时，|x—2|+|x—3|=2—x+3—x=〃，x="

2

当x>3时，|x-2|+|x-3|=x-2+x-3=«,x=\"，

2

(2)当a=l时，方程有无数个解为：2款上3,

(3)当々<1时，方程无解.

8.当〃取哪些值时，方程|x+2|+|x-1|=。有解？

【解答】解：(1)当工，一2时，|x+2|+|x-l|=-2x-l…-2(-2)-1=3；

(2)当-2vxvl时，|x+2|+|x-l|=x+2—x+l=3；

(3)当x..l时，|x+2|+|x-l|=2x+1..2xl+l=3.

故只有当。.3时，原方程有解.

9.解下列方程：

(I)|3x-5|+4=8：

(2)|4x-3|-2=3x+4；

(3)|x-|2x+l||=3；

(4)|2X-1|+|X-2|=|X4-1|.

【解答】解：⑴|3x—5|M=8,

.」3x-5|=4,

二.3工-5=4或3x-5=Y.

移项化系数为1得：x=3或x=1；

3

(2)|4x-3|-2=3x+4,

4x-3|=3x+6,

/.3x+6..0即x..-2,

.,.4x-3=3x+6Sk4x-3=-(3x+6),

移项化系数为1解得：x=9或x=-3；

7

(3)|x-|2x+l||=3,

x-12x+11=3x-12.r+11=-3»

由x-|2x+“=3知x>3,

解得：x=-4(舍去)；

rtlJr-|2x+l|=-3,移项得：|2x+l|=x+3..0,

X...-3,2x+l=x+3或-(2x+l)=x+3,

解得：x=2或x=/；

3

(4)当xv—l时，原方程可化为：l—2x—x+2=—x—l,x=2不符合题意;

当■时，原方程可化为：-2x+l-x+2=x+l,x不符合题意；

22

当」效k2时，原方程可化为：2x—l—x+2=x+l恒成立，

2

说明凡是满足，领k2的/值都是方程的解；

2

当x>2时，原方程可化为：2x-l+x-2=x+l,x=2不符合题意.

故原方程的解为：2.

2

10.已知方程|X|=G+1有一负根，且无正根，求a的取值范围.

【解答】解：

解方程可得：x=--—或x=―!—,

一〃一11-Cl

囚为XHO时，方程1x1=3：+1有一负根，且无正根，可得方程的两个根均为负根.

则x=-----<0,即a>-1；

-a-\

则x=--—<0>即a>1；

\—a

当a=l时，方程|x|=x+1有一负根，且无正根，

故a.1.

11.解下列方程：

(1)|jr+3|-|jr-l|=x+l

(2)|x-l|+|x-5|=4.

【解答】解：(1)①当x.l时，原方程可化为:x+3-(x-l)=x+l,

解得：x=3；

②当文<一3时，原方程可化为：—x—3—(l—x)=x+l,

解得：x=-5；

③当一3»,xvl时，原方程可化为：x+3+x-\^x+\,

解得：x=—1.

综上可得：方程的解为：x=3或x=-5或x=-l：

(2)

-----1---1------1---1----1----->

-1012345

方程可理解为一个点到1和5两点的距离和，由此可得方程的解为：啜*5.

12.讨论方程||x+3|-2|=%的解的情况.

【解答】解：当&<0,原方程无解；

当女=0时，原方程可化为：|x+3|-2=0,

解得x=-1或x=-5；

当0v&v2,此时原方程可化为：|x+3|=2±Z,

此时原方程有四解：x=-3±(2±k),

即：=—1或x=一4―5或x=—Ar—1或x=&-5；

当A=2时，原方程可化为：|.r+3|=2±2,

此时原方程有三解：x=l或x=-7或工=-3；

当々>2时，原方程有两解:x+3=±(2土」),

即：工=4一1或1=一攵一5.

故*=攵-1或%=一左一1或五=一左一5或1=-5+攵.

13.解方程：|||x|-2|-l|-2|=2.

【解答】解：BP|||X|-2|-1|-2=25£|||X|-2|-1|-2=-2,

||划一2|-1=4或||划一2-1=-4或||月一2|-1=0：

||X|-2|=5或||#一2|二-3(舍)或||划一2|=1:

.♦.|工|-2=5或|工|-2=-5或|川一2=1或|划一2=-1.

门刈=7或|刈=-3(舍)或|x|=3或|x|二l.

x=±7或x=±3或x=±1.

14.当〃满足什么条件时，关于久的方程|x-2|-|x-5|=a有一解？有无数多个解？无解？

【解答】解:①x.5时，X-2-(x-5)=x—2-x+5=3>

当。=3时，有无数多解；

当时，无论a取何值均无解；

②K,2时，2—X—(5—x)=2—X—5+x=-3,

当a=—3时，有无数解；

当。¥—3时，无解；

③2vxv5时，

x-2-(5-x)=x-2-5+x=2x-7,

.­.4<2x<10,

7.4-7<2x-7<10-7

即：-3<2r-7<3.

所以当-3<々<3时，有一解；

当或“<一3时，无解.

综上所述，当。=±3时，方程有无数个解，当。>3或。<一3时，无解;当—3vav3时，有

一解.

15.解方程：|2x+l|—|x—5|=6.

【解答】解：当今-工时，原方程化为一(2x+l)+(x-5)=6,解得x=-12,

2

当-1<工,5时，原方程化为(2x+l)+(x—5)=6,解得X。，

当x>5时，原方程化为(2x+l)—(x—5)=6,解得x=0(舍去)，

所以，方程的解为工=-12或尢=3.

3

16.设〃、〃为有理数，且方程蓬---勿=3有三个不相等的解,求力的值.

【解答】解：・.1|1|-匕=3,

.1X—4|=3+)或|X—4|二b—3,

若。+3,匕-3都是非负的，而且如果其中一个为0,则得3个解；

如果都不是零，则得4个解，故〃=3

17.解方程：|x+l|+|x-2|=5.

【解答】解：当X,-1时，一%一1一工+2=5,

解得了=—2；

当一1<工,2时，3/5,不成立；

当*>2时，x+1+x-2=5,解得x=3.

18.己知|x-l|+|x-2|=l,则x的取值范围是_掇*2_.

【解答】解：从三种情况考虑：

第•种：当X..2时，原方程就可化简为：x-l+x-2=l,解得：x=2,不符合题意；

第二种：当l<x<2时，原方程就可化简为：X-I+2-A=I,解得，x为全体实数，符合题

息；

第三种：当工,1时，原方程就可化简为：-x+l+2-x=l,解得：x=l符合题意；

所以x的取值范围是：啜*2.

故答案为：掇*2.

19.若关于上的方程ar+3=|x|有负根且无正根，则。的取值范围是_a>1_.

【解答】解：(1)当x.O时，|x|=x,

原式=at+3=x，

/.x=(无正根)，

\-a

1—av0,

/.6/>1；

(2)当工,0时，|x|=-r

/.原式=av+3=­x，

/.x=一——(有负根)，

\+a

「.1+4>0,

a>—19

故。的取值范围是：a>l.

20.已知关于x的方程|x+3|+|x-6|=a有解，那么。的取值范围是_a.9_.

【解答】解：(I)当X..6时，原方程化为丹3+“一6=〃，

。+3x

:.x=------

2

：.a..9

(2)当7,1<6时，原方程化为—x—3—x+6=a,

：.a>9

（3）当xv-3时，原方程化为-x-3+6-x=a

ci>9

综上，a.9方程有解.

21.使关于x的方程|%|=仃+1同时有一个正根和一个负根的整数a的值是Q

【解答】解：（1）当x>0时，x=ar+l»

1—>0，

:.a<\:

(2)当x<0时，-x=ax+l»

:.x=-

1+a>0,

ci>-1f

...4=0.

故。的值是o.

22.若a>0,〃<0,则使+一Z?成立的x取值范围是_成ka_.

【解答】解：根据。>0"<0,①当x>a时，原方程可化为：x-ci+x-b=a-b,

解得：x=a,不符合题意；

②时，原方程可化为：-x+a-x-{-b=a-b,解得x=Z?,不符合题意；

③当四收a时，原方程可化为：-x+a+x-Z?=a-〃，恒成立；

故使|工-4|+|工-6=4-人成立的工取值范围是；成乐a.

故答案为：境（ka.

23.关于x的方程||x+3|-l|=a有三个解，则a的值为I.

【解答】解：①若|x+3|-l=a,

当X...-3时，x+3—1=«.解得：x=a—2,a..1；

当x<-3时，一x—3—l=a,解得；x=-a—4；a>—\-.

②若|x+3|-1=-。，

当X..-3时，x+3-l=-«»解得：x=-a-2>4,1；

当x<-3时，-x-3-l=-a>解得：x=a-4,a<\\

又「方程有三个解，

.••可得：或1,而根据绝对值的非负性可得".0,

故答案为：I.

24.若关于x的方程|X|=OY+1只有一个负根，则a的取值范围是_a.l

【解答】解：当x>0时，方程是：x