浙江省杭州市杭高贡院、杭高钱江、杭高钱塘2025-2026学年高一上学期期中数学试题（解析版）

杭州高级中学2025学年第一学期高一期中考试数学试题卷命题：王蕾黎金传审题：杭高贡院、钱江高一备课组1．本试卷分试题卷和答题卡两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方.3．答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效.4．考试结束后，只需上交答题卡.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1.若集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求得集合，再根据元素与集合关系即可求解．【详解】由题可知，，所以，故A正确；，故B错误；因为集合中元素为，而非集合，故CD错误．2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可得答案.【详解】∵命题“”是存在量词命题，∴它的否定是“”．故选：C．3.若，，则是的（

）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出是的真子集，得到答案.【详解】因为是的真子集，故是的充分不必要条件.故选：A4.如果，，那么下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】通过观察三个数的特征可知最大，再利用作差法判断即可得出结果.【详解】由选项可知，仅需要比较三个数的大小，显然，，所以最大，由可得，，所以，即可得故选：D5.函数的值域是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的值域即可求解．【详解】因为指数函数，所以．6.已知函数，则（）A.15B.5C.D.21【答案】A【解析】分析】根据分段函数解析式直接求解．【详解】因为函数，所以．7.若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（）A.有最大值B.有最大值C.有最大值4D.有最小值【答案】B【解析】【分析】根据基本不等式及“1”的妙用分别判断各选项即可．【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A错误；对于B，，所以，当且仅当时等号成立，故B正确；对于C，，当且仅当，即时，等号成立，故C错误；对于D，因为，所以，当且仅当时等号成立，故D错误．8.已知函数满足：对任意的非零实数，，都有成立，，若，，则（）A.B.C.2D.3【答案】B【解析】【分析】赋值，代入条件，整理计算，即可得答案.【详解】令，得，因为，所以，解得.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列命题是正确的是（）A.函数的定义域是B.与是同一个函数C.不等式的解集为D.若，，则【答案】ACD【解析】【分析】求解定义域即可判断A；根据同一函数的定义即可判断B；根据分式不等式的解法求解不等式即可判断C；根据不等式的性质即可判断D．【详解】对于A，由，得或，所以定义域为，正确；对于B，定义域为，定义域为，所以与不是同一个函数，错误；对于C，，解得，正确；对于D，因为，所以，又，所以，正确．10.若幂函数的图像经过点，则下列说法中正确的是（）A.为偶函数B.若，则C.为增函数D.函数为偶函数【答案】BCD【解析】【分析】根据幂函数的定义求解解析式，进而判断出ABC，再根据偶函数的定义即可判断D．【详解】因为幂函数的图像经过点，所以，所以，对于A，因为定义域关于原点不对称，所以不为偶函数，故A错误；对于BC，因为，所以在单调递增，所以当，则，故BC正确；对于D，定义域为，，所以为偶函数，故D正确．11.关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（）A.不等式的解集可以是B.不等式的解集可以是C.不等式的解集可以是D.不等式的解集可以是【答案】ABD【解析】【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合二次函数的性质即可判断．【详解】对于A，若，解集为，故A正确；对于B，当时，，解集为，故B正确；对于C，若不等式的解集为，则，显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误；对于D，若不等式的解集是，则且方程的两根为，所以，解得，所以当时，不等式的解集是，故D正确．三、填空题（本题共3小题，每小题5分.两空题对一个得3分，共15分）12.已知，则的值为______【答案】7【解析】【分析】将完全平方后求解即可；【详解】，故答案为：7.13.函数在上的单调递增区间是________，最小值是________．【答案】①.②.6【解析】【分析】根据对勾函数的图像及基本不等式即可求解．【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，由对勾函数的图像可知，函数在上的单调增区间是，最小值是6．14.已知正实数x，y满足，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】根据基本不等式“1”的妙用即可求解．【详解】设，则，因为，所以，所以，当且仅当，即，所以当时，的最小值．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知，集合，，（1）当时，求，；（2）若，求m的取值范围．【答案】（1），（2）或【解析】【小问1详解】由题设，，则或，所以，；【小问2详解】由，若，则，满足题意；若，则，可得，综上，或.16.已知．（1）若的解集为，求a的取值范围；（2）解关于x的不等式．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式解集与判别式的关系即可求解；（2）根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解．【小问1详解】由题可知，，解得．【小问2详解】由题得，，当，即时，不等式的解集为，当时，即时，不等式的解集为，当时，即时，不等式的解集为，综上所述，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为．17.已知奇函数（1）求实数a的值；（2）判断函数的单调性，并用定义证明；（3）函数，，是否存在实数b，使得函数最大值为1？若存在，求出b的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）1（2）是上的单调增函数，证明见解析（3）存在，【解析】【分析】（1）先利用奇函数的性质求出字母，然后检验；（2）根据函数单调性定义证明即可；（3）化简函数解析式得出，换元后，利用二次函数最值的求法，分类讨论求解即可.【小问1详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以，检验：当时，，因为，故满足题意.【小问2详解】是上的增函数，证明如下：设任意，，，因为所以，，∴，，，，∴是上的单调增函数．【小问3详解】令，由于，则，即在上有最大值1,因为二次函数开口向上，所以最大值在定义域端点处取得，若，此时有，但此时，矛盾，不合题意；若，此时有，且此时，满足题意.综上，存在，使函数的最大值为1.18.已知函数和．（1）求函数的单调减区间；（2）当时，对任意，，都有成立，求实数a的取值范围．（3）若对任意的，至少有，，使得，求实数a的取值范围．【答案】（1）和（2）（3）【解析】【分析】（1）根据指数函数及二次函数的性质即可得出判断；（2）结合（1）求得在的最大值，根据题意列出不等式组即可求解；（3）根据题意，将条件转化为集合间包含关系，结合函数图像即可求解．【小问1详解】因为指数函数在上单调递减，所以在上单调递减，二次函数在上单调递增，在单调递减，所以的单调减区间为，．【小问2详解】由（1）知，在单调递增，所以，当时，对任意，，都有成立，等价于，解得．所以a的取值范围为．【小问3详解】由题意得，，并且对于值域中的每一个数，都至少有两个不同的数，使得成立，①当时，函数在上单调递减，显然，此种情况不成立；②当时，在上值域，由的图像可知，只要使得，则，解得；③当时，在上值域为，由的图像可知，要满足即可，即，解得，综上所述，．所以a的取值范围为．19.已知函数．（1）若，求函数定义域；（2）当时，若函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数在定义域内单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）直接根据解析式求解定义域即可；（2）若存在区间，使得函数在上的值域为等价于在上有两个不相等的非负实数根，再根据换元法即可求解范围；（3）先讨论，根据函数的单调性先确定的大致范围，再根据的单调性确定的最终范围．【小问1详解】若，，，解得．【小问2详解】因为