《高等数学》-1n阶行列式

§1逆序数与对换

定义1

由1，2，……,n组成的一个有序数组称为一个n

级全排列（简称排列）。

定义2

在一个排列中，如果两个数(称为数对)的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称这两个数构成一个逆序(反序)。一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。

排列j1,j2,…,jn的逆序数，一般记为

(j1,j2，

…，

jn)

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定义3

逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。例计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性.(1)42531，（2）135…（2n-1）246…(2n).

解（1）对于所给排列，4排在首位，逆序个数为0；2的前面有一个比它大的数，逆序个数为1；5的前面有0个比它大的数，逆序个数为0；3的前面有两个比它大的数，逆序个数为2；1的前面有四个比它大的数，逆序个数为4.把这些数加起来，即0+1+0+2+4=7

故排列42531的逆序个数为7，即τ(42531)=7，因而是奇排.返回上一页下一页(2)同理可得：τ[135…(2n-1)246…(2n)]=0+(n-1)+(n-2)+…+2+1=

所给排列当n=4k或4k+1时为偶排列，当n=4k+2或4k+3时为奇排列.排列12的逆序数为

0.

排列215479683的逆序数为

11.

排列135…(2n-1)(2n)(2n-2)…42的逆序数是

n(n-1).排列231的

逆序数为2.

练习返回上一页下一页

定义4

一个排列中，将某两个数对调，其余的数不动，这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对换，叫做相邻对换（邻换）。

定理1

一个排列中的任意两数对换，排列改变奇偶性。

我们把排列231中的3与1对换，得到排列213，这两个排列的奇偶性是相反的，事实上对一般的排列也是如此。设排列为证先证相邻对换的情形.对换与排列变为显然这些数的逆序数经过对换并不改变，仅与两数的逆序数改变：当时，经对换后，是逆序，新排列的逆序数增加1；新排列的逆序数减少1；当时，不是逆序，的逆序数相差1，奇偶性改变.所以排列与排列返回上一页下一页下证一般对换的情形.设排列为对换与，先把往后连续作m次相邻对换，排列变为再把往前连续作m+1次相邻对换，排列变为它是经过2m+1次相邻对换而成，从而实现了与的对换，所以两个排列的奇偶性相反.排列也就改变了2m+1次奇偶性，

定义5

设有n2个数aij（i，j＝1，2，…,n），排成正方阵形式

在不同行、不同列中取n个数作乘积，并乘以符号（其中J为列标排列j1,j2,…,jn的逆序数），记为，这样的乘积有项。返回上一页下一页§2行列式的定义

它们的和，称为n阶行列式。记Dn＝为行列式第i行第j列的元素称为n阶行列式的展开式或行列式的值。返回上一页下一页说明：1)等式右边的每一项都是n个元素的乘积，这n个元素均位于不同的行和不同的列。2)各项的正负号与列标排列有关，偶排列为正，奇排列为负。3)因为1,2,…n的排列有n!个，故等式右边共有n!项。返回上一页下一页例

计算4阶行列式

解：

根据定义，D是4！＝24项的代数和，但每一个乘积项中，只要有一个元素为0，乘积就等于0，所以只需计算展开式中不明显为0的项。

行列式展开式中不为0的项只可能是a11a22a33a44，而列标排列1234的逆序数为0，即此项符号为正，因此行列式D＝a11a22a33a44

.

返回上一页下一页注：可扩充到n阶的情形。例：n阶行列式Dn＝Dn＝返回上一页下一页例

证明

上面的行列式中，未写出的元素都是0。

证:

因为行列式的值为而排列j1j2…jn只能是n(n－1)…21的排列，

故逆序数返回上一页下一页所以行列式的值为

返回上一页下一页例设证明D=D1D2.返回上一页下一页证记其中

dij=aij

(i,j=1,2,…，k)；

dk+I,k+j=bij

(i,j=1,2,…，n)；

dk+i,j

=cij

(i=1,2,…，n;j=1,2,…，k).di,k+j=0

(i=1,2,…，k;j=1,2,…，n).返回上一页下一页R是排列的逆序数，可见均不可大于k值，否则该项为0，故只能在1，2，…，k中选取，从而只能在k+1,k+2,…,k+n中选取，考察D的一般项(i=1,2,…，k;j=1，2，…，n)，由于于是D中不为0的项可以记作这里R也就是排列的逆序数，以P，Q分别表示排列与的逆序数，则有R=P+Q，于是

主对角线以上的元素全为零（即i<j时元素aij＝0）的行列式称为下三角行列式，它等于主对角线上各元素的乘积。行列式中，从左上角到右下角的直线称为主对角线。

主对角线以下的元素全为0（即i>j时元素aij＝0）的行列式称为上三角行列式，它等于主对角线上各元素的乘积。

行列式中，除对角线上的元素以外，其他元素全为零（即i≠j时元素aij＝0）的行列式称为对角行列式，它等于对角线上元素的乘积。返回上一页下一页定理2

n阶行列式的项可以写成其中S与T分别是n级排列p1p2…pn与q1q2…qn的逆序数。返回上一页下一页证明：将

重排，使其行标成为自然

,行标、列标同时作了一次对换，总顺序逆序数之和不改变奇偶性。§3行列式的性质把行列式称为行列式D的转置行列式。返回上一页下一页的行换成同序数的列,性质1

行列式与它的转置行列式相等。证：

记即bij＝aji

(i，j＝1，2，…，n)

返回上一页下一页按行列式定义

性质2

互换行列式的两行（列），行列式反号。证

交换第p、q两列，得行列式

返回上一页下一页对于D中任一项其中I为排列的逆序数

在D1中必有对应一项其中I1为排列的逆序数

与只经过一次对换返回上一页下一页

所以对于D中任一项，D1中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又D与D1的项数相同。

推论

若行列式有两行（列）元素对应相等，则行列式为零。

交换行列式i，j两行记作r（i，j），交换行列式i，j两列，记作c（i，j）。证：由条件有D＝－D故可得D＝0返回上一页下一页

性质3

行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式。

性质4

行列式中若有两行(列)元素对应成比例，则此行列式为零。

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性质5

若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，例如

则行列式D等于下列两个行列式之和：

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性质6

把行列式某一行（列）的元素乘以数k，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。

以数k乘以第i行(列)上的元素加到第j行(列)对应元素上，记作r（j＋i（k）），[c（j＋i（k）]，有返回上一页下一页总结：三种行列式变换1互换两行或两列

2第i行或第j列乘上非零数k

3行列式第i行或第i列乘上数k加到第j行或第j列对应元素上

返回上一页下一页例

计算四阶行列式解返回上一页下一页返回上一页下一页例

计算四阶行列式解返回上一页下一页例：返回上一页下一页返回上一页下一页例：计算行列式返回上一页下一页解：返回上一页下一页例：返回上一页下一页返回上一页下一页按照性质，此行列式可表为个3阶行列式的和。分三类：若三行为数等于1,若两行为数则行列式为对角形行列式等于,若一行为数则行列式字母列对应成比例等于0。返回上一页下一页例：返回上一页下一页§4行列式的计算

定义6

在n阶行列式中，划去元素aij所在的第i行与第j列中的元素，剩下的(n-1)2

个元素按其原来的排法构成一个n－1阶行列式叫做元素aij的余子式，记为Mij

.Aij叫做元素aij的代数余子式。

Aij与行列式中第i行、第j列的元素无关。返回上一页下一页

引理

在n阶行列式D中，如果第i行元素除aij外全部为零，那么这个行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即

D＝aijAij证

先证i＝1，j＝1的情形返回上一页下一页

对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置，即可得到结论。

返回上一页下一页

定理3

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

证返回上一页下一页返回上一页下一页例

计算行列式

解

由定理3知

注：运用定理3可适当减轻行列式的运算。返回上一页下一页例

计算行列式

解：由定理3知返回上一页下一页例

计算行列式(加边法)

解

当x＝0或y＝0时，显然D＝0，现假设x≠0，且y≠0，由引理知

返回上一页下一页例证明范德蒙(Vandermonde)行列式当n＝2时证明：用数学归纳法。假设对n－1阶成立，现证对n阶也成立。返回上一页下一页故结论成立。返回上一页下一页例利用范德蒙行列式求解解：返回上一页下一页

推论

行列式D中任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即

证返回上一页下一页

当ij,因为Ajk与行列式中的第j

行的元素无关，将式中ajk换成aik(k=1,2,…,n),可得同理可证返回上一页下一页代数余子式的重要性质（行列式按行（列）展开公式）:返回上一页下一页例

计算n阶行列式

解法一返回上一页下一页例

计算n阶行列式解法二(递推法)

由行列式Dn可知

将Dn按第1列展开

返回上一页下一页这个式子对任何n(n2)

都成立,故有

返回上一页下一页例

利用递推公式法计算

解：按第一行展开返回上一页下一页返回上一页下一页例求方程的根，其中解由观察可知是一个根，要求其他根需展开这个行列式，因为时，行列式第1、2列成比例，所以将第1列乘-1加到2，3，4列；再将变换后的第2列加到第4列，即得返回上一页下一页所以方程有两个根：0与-1.返回上一页下一页习题1.设排列的逆序数为k，问的逆序数为多少？

解：返回上一页下一页2.提示：返回上一页下一页3.解：返回上一页下一页4.解：不等于零的元素个数所以行列式的值为零。5.计算行列式返回上一页下一页解：首先考虑n＋1阶范德蒙行列式返回上一页下一页二者应相等，故例

用化三角形的方法求下面行列式返回上一页下一页例

用行列式分解的方法求行列式返回上一页下一页解：此行列式可表为个n阶行列式之和练习返回上一页下一页例

用递推法求行列式解：由引理将行列式降阶展开返回上一页下一页返回上一页下一页练习返回上一页下一页§5克莱姆法则

克莱姆法则如果线性方程组

的系数行列式不等于零,即

那么,方程组有唯一解

其中Dj(j=1,2,…,n)是把系数行列式D中的第j列元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式.

返回上一页下一页证明

(1)方程组简写为把方程组的唯一解代入第i个方程,左端为返回上一页下一页所以(2)用D中第j列元素的代数余子式A1j,A2j,…,Anj依次乘方程组的n个方程,再把它们相加,得

当D不等于零时,方程组有唯一解.返回上一页下一页例

解线性方程组解返回上一页下一页于是方程组有解x1=3,x2=-4,x3=-1,x4=1返回上一页下一页克莱姆法则亦可叙述为

定理4

如果线性方程组的系数行列式D0,则方程组一定有解,且解是唯一的。

当方程组右边的常数项全部为零时,方程组变为齐次线性方程组.

它总有解

x1=0,x2=0,…,xn=0,称为齐次线性方程组的零解。

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定理4*

如果线性方程组无解，或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零（D=0）。

定理

5'

如果齐次线性方程组有非零解,则齐次线性方程组的系数行列式必为零。

定理5

如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零,则齐次线性方程组没有非零解。返回上一页下一页

若一组不全为零的数，它是齐次方程组的解，则称它为齐次线性方程组的非零解。

例

若齐次线性方程组有非零解，则t应满足什么条件？解

由定理5,要方程组有非零解，其系数行列式必为零.返回上一页下一页例

问

为何值时，齐次线性方程组有非零解？解

方程组