模型31“十字架”模型 （含答案）2025年中考数学几何模型专题复习

模型31“十字架”模型

基地模型

正方形与矩形中“十字架”模型解题的相同点：寻找（构造）两条“十字架线”所在的特殊三角形，再利用等角代换

证明另一组角相等；

不同点：正方形暗含边相等，得到全等三角形，矩形得到相似三角形.

%3形

类型

过顶点型不过顶点型过顶点型不过顶点型

在正方形ABCD中，点E,F,在矩形ABCD中点E,F,G,H分

在正方形ABCD中，点E,F分在矩形ABCD中，点E在

条件G.H分别在边AB,CD.BC.别在边AD.BC.AB.DC上.EF_L

别在边CD.AD±.AE1BF边AD上,CE_LBD

AD±.EF±GHGH

AHD

AFDAEDAED

一

H

图示

G

巴BCBF(

BCBCC

结论△ABF^ADAE.BF=AEEF=GH△BCD^ACDE.BD_BCDGH=BCD

ABF三DAE.BF=AE

证明:如图①,AE.BF交于点G「・•四边形ABCD为正方形,.48=DA.^BAF=^ADE=90°,

:AE1BF,AZ.AGB=90°,:.4ABF+LBAG=90°

vZ-BAG+Z.DAE=90\:.Z.ABF=Z.DAE

在△ABF和.DAE中，

LBAF=/.ADE

BA=AD,

LABF=Z.DAE

：.AABF^ADAE(ASA),/.BF=AE.图①

结论:EF=GH

自主证明:如图②，分别过点H,F作HI±BC于点I,FJ±AB于点J,JF与HG交于点M,EF与HG交于点O.

证明:如图③,BD,CE交于点F「・・四边形ABCD是矩形.

，/BCD=NCDE=90。，

VCE±BD,/.ZBFC=90°,

.\ZDBC+ZBCF=90°,

VZDCE+ZBCF=90°,

图③

AZDBC=ZDCE.

/.△BCD^ACDE,

BDBC

A—=—.

CECD

处=££

EFCD

自主证明：如图④，EF与GH交于点I,过点E作列姐C于点J,过点G作（GK13CZ）于点K,GK与EF交于

点L.

图④

模型解题三步法

例1如图在矩形ABCD中有两条相交线段EG.FH点E.F,G,H分别在边AB.BC,CD,DA上，若EG团H/噂=[

EG=10,则FH的长为.

例2如图，在ABC中，^BAC=90。,48=4C,,BD是AC边上的中线、过点A作AE1BD交BD于点F.交B

C于点E,则黑的值为

题以类解

1.如图,在矩形ABCD中，点E是边AB上一点，将BCE沿CE折叠，使点B落在AD边上的点F处，连接

BF.,则折痕CE的长为

第2题图

第1题图

2.如图，已知.AD=5,AB=3在正方形ABCD的边AD上任取一点.E（AE〉DE）,连接BE.^（CF1BE,交AB

于点F.连接EF并延长交CB的延长线于点P.若点E,F恰好分别是AD,AB的黄金分割点，则PB•BC=_.（用

含a的代数式表示）

3.如图在正方形ABCD中,E是边AB上的点、连接CE,过点D作DF_LCE,分别交BC,CE于点F,G.若AB=3,

图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为4:9以必DCG的面积为,CG+DG的长为.

.4D

BFC

第3题图

4.如图，在R（AACB中,NACB=90。,AC=4,BC=3点D为AC的中点，连接BD,过点C作CEJ_BD交AB于点

E,交BD于点F,则CE的长为.

5.如图，在正方形ABCD中,E,F分别为AD,CD的中点,AF,BE交于点0.连接DO并延长交AB于点G,若

0D=则OB=

6.如图，在RtAABC中,NACB=90o,AC=BC点D,E分别是线段AC,BC上的点，且满足AD=CE,连接DE,

过点C作DE的垂线.垂足为点F,交线段AB于点G.

求证：((I)CG=DE;

(2)4G=y/2BE.

第6题图

7.如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上的动点，连接AE.过点B作BH_LAE,交AE于点G,交CD于点

F,过点D作DHXBH于点H.

⑴如图①，当点E是BC中点时，若AB=6,DH=/求FH的长；

(2)如图②，连接HC,当点E在BC边上运动时，试判断FH,EG,BG之间的数量关系，并说明理由.

第7题图

自主证明：(结论:EF=GH)

如图②，分别过点H,F作HI±BC于点I,FJJ_AB于点JJF与HG交于点M,EF与HG交于点Q

.-.zEJF=zGIH=90oJF=HI.

...EF_LGH,「.NGOF=90°,

/.zOMF+zOFM=90°,

又.NMHI+NOMF=90°,

/.zOFM=zMHI.

在叱开和AGIH在

NEJF=NGIH

JF=IH,

(NJFE=ZlHG

「.△EJ餐AGIH(ASA),

/.EF=GH.

自主证明：(结论：真=勺

如图④，讦与GH交于点I,过点E作EJJ_BC于点J,过点G作GK±CD于点K,GK与EF交于点L.

/.zEJF=zGKH=90°,

..EF_LGH,

.•.zGIL=90°,

D

o

.-.zHGK+zGLI=90/

•.zFEJ+zGLI=90",

.•.zHGK=zFEJ,

nHGK"FEJ,

.GH_GK

"EF~EJ1

•；GK=BC,EJ=CD,逢吟•

模型解题三步法

例18【解析】找模型：矩形中是否存在两条线段相交且垂直：矩形ABCD中，线段EG,FH

相交,EG，HF,抽离模型如解图用模型根据矩形不过顶点型"十字架"模型可得：窦=霁=打跖

ttuKG5

=10,.老/解得FH=8.例1题解图

例22【解析】根据正方形过顶点型"十字架"模型可得:△ACG%BAD(ASA),「.CG=AD=1AC=|AB;.BAll

CG,."CEG』EA(8字型相似),二*=霁=(即雾=2.

题以类解

1.蜉【解析】找模型：矩形中是否存在两条线段相交且垂直：在矩形ABCD中，线段BF,CE相交,BFJ_C

E.抽离模型:如解图，用模型"四边形ABCD是矩形「BC=AD=5,CD=AB=3,由折叠的性质可得，CF=BC=5,「.在

RbCDF中，DF=y/CF2-CD2=V52-32=4,/.AF=AD-DF=5-4=l,/.BF=7AF?+衣=什+32=同,由折叠

的性质可得，BF±CE,根据矩形过顶点型"十字架"模型可得：ABF〜8CE噂=萼即:=券，解得CE=要,

第2题解图

2.a2【解析】找模型正方形中是否存在两条线段相交且垂直：正方形ABCD中，线段BE,CF相交，BE±C

F.抽离模型如解图，用模型：根据正方形过顶点型"十字架"模型可得:△ABE2BCF(ASA),「.AE=BF「「ADIICP/.A

AEF~'BPF,「.AEBP二AFBF,•.点E,F恰好分别是ADAB的黄金分割点目AE>DE,：.喘=BF=AE,AB=BC

DrAD

MBP=BC,：.PB,BC=a2.

BPBC

3.1,V19【解析】•.阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为49AB=3〃•.阴影部分的面积为9=4/.

空白部分的面积为9-4:5”在正方形ABCD中,CD=BC/DCF=/CBE=90°,DF_LCE,「.ZCFD+ZBCE=90°;/z

ft

BCE十zBEC=90,.-.zCFD=zBEC,..^DCF^CBE(AAS)

（正方形过顶点型"十字架"模型）SADCC=S期力.”.=2x5=1；设DG=a（a>0）,CG=b（b>0）,则\ab=^,

又「a24-d2=32,.t.a2+2ab4-b2=94-10=19,即（a+b）2=19,•-a+b="©（负值已舍去），即DG+CG=

回.

4.誓【解析】如解图，过点A作AC的垂线，过点B作BC的垂线,两垂线交于点G,延长CE交A

G于点H”NACB=90°/.四边形AGBC为矩形「zCAH=90o,v点D是AC的中点,••.CD=AD=2;.BC=3,「.BD

22

=y^BC+CD=V13,vCE^BD,：.zBFC=90°,.'.zBCF+zCBD=90°；/zBCF+zACH=90°r-.zACH=zCBD,

.•.△CAHsBCD,.嚼/吟，即品=；笫;CH=竽,回=*易证AAEH"BEC（由平行可得"8字型"相似）,

嚏嗯,即詈等，解得〃=誓

第5题解图

5.乃【解析】在^ABE和ADAF中,

AE=DF

•（EAB=LFDA,：.△ABEN△以「（SAS）

AB=DA

（正方形过顶点型"十字架"模型）,.•.zABE=zDAF,BE=AF.-/zABE+zAEB=90o,/.zDAF+zAEB=90°,/.zAOB

=90°,.“ABEjOBAJgAE=aJjHJDF=a,AB=2aj£Rt&ABE中，BE=>JAB2+AE2=VSa,AAF=V5a,vABE-

•,有=筹=*同理得卜='在3OE中,。产+4°2=力£2,°产+4°£2=。2得°E=当a（负值已舍

ABOli2a2OA25

去），.•.。4=等见。8=¥出才=力打一4。二芯Q-等。二誓口,如解图，将&ODE绕点D逆时针旋转90°得

,,O

至以O'DF,则AODF空AODE3.ZDFO=ZDEO;.ZAEO=ZDFA,ZAEO+ZDEO=180°,/ZDFO+ZDFA=180/BP^O,

FQ'在同一直线上.•.・O'F=O£=^a,.・.。。'=0尸+OF=皑。+且。="a,在RbODO'中，。。'=&。。,即

O050

延0=或乂百=连,解得8二叵,：.0B*a=®

545

6.证明:（1）如解图将3CG沿AC平移到^DIVIN的位置点N在BC上，连接MEZGN,/.DNIIAG且DN=AG,

MN=CG,

•.zCAB=45°,

•.zCDN=45°,

•.CD=CN,

.CG±DE,

•・zDCF+zCDF=90°,

.•NCMN+NMNC=90。，

•.zMNC=zEDC;vNMCN=NECD=90°,