《高等数学》-7λ- 矩阵

§7.1λ-矩阵的概念

定义１

设aij(λ)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)均为λ的多项式，那么以aij(λ)为元素的m×n矩阵称为λ－矩阵或多项式矩阵。

显然，数字矩阵是特殊的λ－矩阵。λ－矩阵的加法、数乘和乘法与数字矩阵的运算相同，并且具有相同的运算规律。返回上一页下一页

例设

则A(λ)可以写成

由于λ-矩阵的每一个元素都是λ的多项式，所以任何λ-矩阵（7-１）可用唯一地表示成以数字矩阵为系数的λ的多项式。

其中A0,A1,…Aｌ均为m×n数字矩阵。返回上一页下一页

定义２

如果λ-矩阵A(λ)中有一个r（r≥1）级子式不为零，而所有的r+1级子式（假若有的话）全为零，则称A(λ)的秩为r.零矩阵的秩规定为０。

定义３

对于n阶λ-矩阵A(λ),如果有一个n阶λ-矩阵B(λ),使得A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=En，(7-2)

则称A(λ)是可逆的，此时B(λ)就称为A(λ)的逆矩阵，记为A-1(λ)。

定理１

n阶λ-矩阵A(λ)可逆的充分必要条件为它的行列式|A(λ)|是一个非零的常数。返回上一页下一页

例如，数字矩阵的特征矩阵λE-A的秩为n，因为

证必要性:设A(λ)可逆，则在(7-2)式两边取行

因为|A(λ)|与|B(λ)|都是λ的多项式，并且它们的乘积等于１，所以它们都是零次多项式。即|A(λ)|是一个非零的数。

充分性：设d＝|A(λ)|是一个非零的常数，A*(λ)是A(λ)的伴随矩阵，A*(λ)也是一个n阶λ－矩阵,有返回上一页下一页列式得例

λ-矩阵解

由计算可得|A(λ)|=4，|B(λ)|=--2(λ+1)

所以A(λ)可逆，而B(λ)不可逆。返回上一页下一页是否可逆？

§

7.2

λ-矩阵的标准型

由单位矩阵Eｎ经过一次上述初等变换得到的λ-矩阵称为初等矩阵。

定义4

下列三种变换称为λ-矩阵的初等变换：

(1)互换矩阵的某两行（列）。

(2)用非零的数ｃ乘矩阵的某一行（列）。

(3)把矩阵中某一行（列）的倍加到另一行（列）上,其中是一个λ的多项式。返回上一页下一页单位矩阵Eｎ互换i，j两行（列）：单位矩阵Eｎ

第i行（列）乘以非零常数ｃ：

单位矩阵Eｎ

第j行（列）的倍加到第i行（列）上：(1)初等矩阵都是可逆的，并且结论：返回上一页下一页(2)对一个λ－矩阵A(λ)作一次初等行（列）变换，相当于A(λ)左（右）乘一个相应的初等矩阵。

定义５

如果λ－矩阵A(λ)经过有限次初等变换而化为B(λ)，则称A(λ)与B(λ)等价，记为A(λ)≌

B(λ)

定理２

两个λ－矩阵A(λ)与B(λ)等价的充分必要条件是存在可逆矩阵P（λ）和Q（λ

），使得B(λ)＝P(λ）A(λ)Q（λ）

证

由定义５和结论（2）知，A(λ)与B(λ)等价的充分必要条件是存在一系列初等矩阵P１，

P２，…

，PS和Q１，

Q２，…，Qｔ，使得

B（λ

）＝P１P２…

PSA(λ)Q１Q２…Qｔ返回上一页下一页令P（λ）=P１

P２…

PS,Q（λ

）=Q１

Q２…Qｔ因为初等矩阵都是可逆的，它们的乘积还是可逆的,所以P（λ）和Q（λ

）均为可逆的，故定理得证。

由结论（1），（2），容易证明λ－矩阵的等价关系具有下列性质：(1)自反性每一个λ－矩阵与自己等价，

(2)对称性若A(λ)≌

B(λ),则B(λ)≌

A(λ)，

(3)传递性若A(λ)≌

B(λ)，且B(λ)≌

C(λ)，则A(λ)≌

C(λ)。返回上一页下一页

引理

若λ－矩阵A(λ)=(aij(λ))m×ｎ的左上角元素aij(λ)≠

０，并且A(λ)中至少有一个元素不能被a11(λ)整除，则必存在一个与A(λ)等价的矩阵B(λ),它的左上角元素b11(λ)也不为零，且ｂij(λ)次数小于aij(λ)的次数。

证

根据A(λ)中不能被a11(λ)整除的元素所处位置，分三种情况讨论。

(1)若A(λ)的第一列有一个元素ai1(λ)不能被a11(λ)整除，则用a11(λ)去除ai1(λ)可得返回上一页下一页ai1(λ)=q(λ)a11(λ)+r(λ)其中r(λ)（≠０）的次数小于a11(λ)的次数，上面右端矩阵B(λ)即为所求。

(2)若A(λ)的第一行有一个元素a1ｊ(λ)不能被a11(λ)整除，则这种情况的证法与情况(1)类似。返回上一页下一页此时(3)若A(λ)中第一行与第一列的元素都能被a11(λ)整除，但A(λ)中另有元素aij(λ)(i>1,j>1)不能被a11(λ)整除，此时可设ai1(λ)=a11(λ)φ(λ),则有返回上一页下一页上面右端矩阵M(λ)中第一行有一个元素这就化到了已经证明的情况（２）。不能被a11(λ)整除,

定理３

任一非零的m×n的λ－矩阵A(λ)都等价于一个如下形式的矩阵：返回上一页下一页其中r≥

１，di(λ)(i=1,2,…,r)均为首项系数为１的多项式，且di(λ)|di+1(λ);i=1,2,…,r-1(7-3)式中的J（λ）称为A(λ)的Sｍith标准型。解

对A(λ)作初等变换：返回上一页下一页例返回上一页下一页上式最后一个矩阵就是所求的Smith标准型。§7.3λ-矩阵的不变因子

定义６

设λ-矩阵A(λ)的秩为r≥

１，k是不大于r的正整数，那么A(λ)中所有k级子式的首项系数为１的最大公因式Dｋ(λ)，称为A(λ)的k阶行列式因子。

由定义６知，一个秩为r（≥１）的λ-矩阵有且仅有r个行列式因子。

定理４

等价的λ－矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子。

证

我们只需证明，经过一次初等变换后λ-矩阵的秩和行列式因子是不变的。返回上一页下一页

设λ-矩阵A(λ)经过一次初等变换变成B(λ),f(λ)与g(λ)分别是A(λ)与B(λ)的k阶行列式因子，下面分三种情况证明f(λ)=g(λ).返回上一页下一页(1)，这时B(λ)的任一k级子式，或者等于A(λ)的某一个k阶子式，或者与A(λ)的某一个k级子式反号，因此f(λ)是g(λ)的因式，即f(λ)｜g(λ)；(2)，这时B(λ)的任一k级子式或者等于A(λ)的某一个k阶子式，或者等于A(λ)的某一个k级子式的c倍，因此f(λ)是g(λ)的因式，即f(λ)｜g(λ)；

对于列变换可以完全一样地讨论。于是经过一次初等变换将A(λ)变成B(λ)，总有f(λ)｜g(λ)，由于初等变换具有可逆性，所以B(λ)也可以经过一次初等变换变成A(λ)，同样也有g(λ)｜f(λ)，故f(λ)=g(λ).返回上一页下一页(３)这时B(λ)中那些包含第i行与第j行的k级子式和不包含第i行的k级子式都等于A(λ)中对应的k级阶子式，而B(λ)中那些包含第i行，但不包含第j行的k级子式，恰好等于A(λ)中对应的k级子式与另一个k级子式的φ(λ)倍之和，因此f(λ)是g(λ)的因式，即f(λ)｜g(λ)。

根据上述讨论和秩的定义可知，A(λ)与B(λ)既有相同的各阶行列式因子，又有相同的秩。设A(λ)的Smith标准型为返回上一页下一页

则A(λ)≌

J(λ)

由定理４得A(λ)的各阶行列式因子为：…于是有…返回上一页下一页这表明任一λ-矩阵的Smith标准型是唯一的。

定义７

在A(λ)的Smith标准型中，多项式d1(λ)，d2(λ),…,dr(λ)称为A(λ)的不变因子。

定理５A(λ)≌

B(λ)的充分必要条件是A(λ)与B(λ)有相同的行列式因子，或者说有相同的不变因子。

返回上一页下一页的不变因子和行列式因子。

例A(λ)的不变因子为

d1(λ)=1,d2(λ)=λ,d3(λ)=λ(λ2+1)

A(λ)的行列式因子为

D1(λ)=1,D2(λ)=λ,D3(λ)=λ2(λ2+1)

返回上一页下一页解

§7.4矩阵的若当（Jordan）标准型

本节在复数范围内介绍n阶矩阵的若当标准型

设A是一个n阶复矩阵，A(λ)=λE-A是A的特征矩阵，则A(λ)必有n个非零不变因子，把每一个次数大于零的不变因子都分解为互不相同的一次因式的方幂之积，所有这些一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为A(λ)的初级因子。

由于特征矩阵A(λ)=λE-A

完全由矩阵A所确定，因此这里A(λ)的不变因子及初级因子也常常称之为A的不变因子及初级因子。

返回上一页下一页解因为A的特征矩阵为返回上一页下一页的全部不变因子和初级因子。

例求矩阵所以λE-A的行列式因子为D4(λ)=|λE-A|＝（λ２-1）(λ2-4)D3(λ)=D2(λ)=D1(λ)=1A的不变因子为d3(λ)=d2(λ)=d1(λ)=1d4(λ)==D4(λ)D3(λ)(λ-1)(λ+1)(λ-2)(λ+2)而次数大于零的不变因子只有d4(λ),因此A的全部初级因子为λ-1,λ+1,λ-2,λ+2。返回上一页下一页的矩阵称为若当块（Jordan)，其中a是复数，由若干个若当块组成的准对角阵称为若当形矩阵。返回上一页下一页定义８

形如比如都是若当块。返回上一页下一页是一个若当形矩阵.若当块J(a,s)的初级因子是(λ-a)s.事实上，因为J（a,s）的特征矩阵为

显然它的行列式为(λ-a)s，且它的左下角那一个s-1阶子式为（-1）s-1，所以J（a,s）的行列式因子为D1(λ)=…=Ds-1(λ)=1,Ds(λ)=(λ-a)s，因此它的不变因子为

d1(λ)=…=ds-1(λ)=1,

ds(λ)=(λ-a)s,

由此即得J（a,s）的初级因子是(λ-a)s.返回上一页下一页

定理６

两个n阶矩阵A与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵λE-A

与λE-B等价，或者说A与B

有相同的不变因子，或者说A与B有相同的初级因子。矩阵的若当标准型：返回上一页下一页设n阶复矩阵A的全部初级因子为每一个初级因子对应一个ki阶若当块由所有这些若当块构成的准对角矩阵返回上一页下一页称为矩阵A的若当形矩阵，或A的若当标准型。