苏科版数学八年级下册 第10章 分式（期末复习讲义）基础版 学案 含答案

第十章分式【期末复习讲义】-基础版第十章分式【期末复习讲义】-基础版『导图+知识梳理+26个题型讲练+真题实战练共62题』（原卷版）归纳归纳题型汇总一览无余题型序列题型名称题型序列题型名称题型一分式无意义的条件题型十四已知分式恒等式，确定分子或分母题型二分式有意义的条件题型十五分式加减混合运算题型三分式值为零的条件题型十六分式加减的实际应用题型四分式的求值题型十七分式加减乘除混合运算题型五求分式值为正（负）数时未知数的取值范围题型十八分式化简求值题型六求使分式值为整数时未知数的整数值题型十九分式最值题型七利用分式的基本性质判断分式值的变化题型二十分式方程无解问题题型八将分式的分子分母的最高次项化为正数题型二十一列分式方程题型九将分式的分子分母各项系数化为整数题型二十二分式方程的行程问题题型十约分题型二十三分式方程的工程问题题型十一最简分式题型二十四分式方程的经济问题题型十二最简公分母题型二十五分式方程和差倍分问题题型十三通分题型二十六分式方程的其它实际问题第一部分第一部分框架速览体系搭建第二部分第二部分知识梳理核心归纳知识点一分式相关概念定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；分式有意义的条件：B≠0；分式值为0的条件：分子=0且分母≠0知识点二分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.知识点三分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.知识点四分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.知识点五分式通分（找最简公分母）与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式：2.取各分母所有因式的最高次幂的积知识点六分式的乘除分式的乘除法运算乘法分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即a除法分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即a知识点七分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：abn=⑴、（是正整数）⑵、（是正整数）⑶、（是正整数）⑷、（，是正整数，）⑸、（是正整数）⑹、（，n是正整数）知识点八同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：ac知识点九异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：a+cb+d知识点十分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.知识点十一分式方程的解法解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.知识点十二分式方程应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．要掌握常见问题中的基本关系，如：行程问题：速度＝路程÷时间；工作量问题：工作效率＝工作量÷工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．第三部分第三部分精讲变式融会贯通题型讲练一分式无意义的条件【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知当x=−1时，分式x−bx+a无意义，当x=4时，分式x−bx+a的值为0，则a+b的值是【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式x−n2x+m，当x=−4时，该分式无意义；当x=2时，该分式的值为0．求分式m+n题型讲练二分式有意义的条件【例2】（24-25八年级下·河北张家口·期中）下列各式中，不论x取何值分式都有意义的是（

）A．1x B．11−x C．1x【变式】（24-25八年级下·全国·课后作业）当x取什么数时，下列分式有意义？当x取什么数时，下列分式的值等于0？(1)xx(2)x−5x(3)2x题型讲练三分式值为零的条件【例3】（24-25八年级下·甘肃白银·月考）若分式x2−9(x−3)(x+1)的值为0，则xA．3 B．−3 C．±3 D．−1【变式】当x=______时，分式x2题型讲练四分式的求值【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）若x−y=−2xy，则分式4x+5xy−4yx−3xy−y的值等于（

A．−35 B．35 C．−【变式】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）已知1a−a=1，则A．±5 B．5 C．±3 D．题型讲练五求分式值为正（负）数时未知数的取值范围【例5】（25-26八年级上·重庆·期中）已知关于x的不等式组3x≥2x+1x−k−14<1有且仅有2个整数解，且分式2k−14k【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式2x+12−x根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如下．原式可转化为下面两个不等式组：①2x+1>02−x>0或②2x+1<0解不等式组①，得_________，解不等式组②，得_________，故当x满足______时，分式2x+12−x解答问题：(1)请将瑶瑶的解题思路补充完整；(2)若分式2x−4x+5的值为负，求x题型讲练六求使分式值为整数时未知数的整数值【例6】（25-26八年级上·重庆忠县·期末）对于一列非零数a1，a2，a3，…，设a1=x，a2=x2+3x，且从第三个数起，以后每一个数都等于前面两个数的商，如：a3=a2a1，a4A．4 B．3 C．2 D．1【变式】（25-26八年级上·河北承德·期末）阅读资料，解决问题：定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：4x+1,x+1x2(1)分式x2(2)将假分式3x+1x−1(3)如果分式x2+3x−3x+3题型讲练七利用分式的基本性质判断分式值的变化【例7】（25-26八年级下·河南周口·月考）下列说法正确的是（

）A．分式x−1x2−1的值为0，则B．分式ab的分子、分母都乘以mC．分式2xyx+y中的x，y都扩大3D．分式xx【变式】（25-26八年级上·全国·期末）阅读理解：材料1：我们为了研究分式1x的值与分母xx…−4−3−2−101234…1…−0.25−−0.5−1无意义10.510.25…从表格数据观察，当x>0时，随着x的增大，1x的值随之减小，并无限接近0；当x<0时，随着x的增大，1材料2：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．例如：x−1x+2=请根据上述材料解答下列问题：(1)当m>0时，随着m的增大，1+1m的值；当m<0时，随着m的增大，m+2m的值；(2)当m>1时，随着m的增大，3m+1m−1题型讲练八将分式的分子分母的最高次项化为正数【例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数．(1)−2x+y−x−3y(2)−0.01z−0.5−0.3z−0.04【变式】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式x−1（2）不改变分式的值，使分式x−y（3）当x满足什么条件时，分式2−3x4题型讲练九将分式的分子分母各项系数化为整数【例9】（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数：(1)0.5x−1(2)54【变式】（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数．(1)12(2)0.2a−0.03b0.04a+b题型讲练十约分【例10】（25-26八年级下·江苏南京·期中）定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样abc+d，m+n+p2mn+p的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简1a−1b1a+1b(1)m+nmn=____________（用含(2)求证：不论t取何值，分式2t+6【变式】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）将下列分式化简(1)36a(2)a题型讲练十一最简分式【例11】（25-26八年级上·山东济宁·期末）下列说法正确的是（

）A．x3B．分式x+yxC．分式x2−4D．分式xyx+y中的x，y【变式】（2025八年级上·河北沧州·专题练习）下列说法正确的是（

）A．若分式x2−4x−2值为0，则B．根据分式的基本性质，mn可以变形为C．分式xy3x+2y中，x，yD．分式x+1x题型讲练十二最简公分母【例12】（2026八年级下·全国·专题练习）阅读下列解题过程，回答下列问题：例如：求2x2y解：第一步：1，2x2y第二步：xy2，第三步：x2y2，2y∴2x2y，3请用以上方法解决下列问题：(1)求cab，abc，(2)求32x2yz【变式】（25-26八年级上·湖南永州·月考）下列说法正确的是（

）A．当x≠3时，分式x−3xB．分式23a与1aC．当分式m2−9D．无论x为何值，3x题型讲练十三通分【例13】（25-26八年级下·全国·课后作业）把分式1x−2，1x−2x+1和2A．最简公分母是x−2x+12 C．1x−2x+1=【变式】（2026八年级下·全国·专题练习）若将分式3mm+n与3n2m−n通分，则分式3mA．6m2−6mnC．2m−n D．题型讲练十四已知分式恒等式，确定分子或分母【例14】（25-26八年级上·山东滨州·期末）根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法．例：m为何值时，多项式x2−2x+m有一个因式是解：设它的另一个因式为x+a（a为常数），则x比较两边的系数，得a+1=−2m=a，解得m=−3(1)已知多项式2x2+mx+4有一个因式是x−4(2)已知x+5x2−x=Ax−1−(3)已知x+1是x3−3x【变式】（25-26八年级上·北京海淀·期末）根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法．例：k为何值时，多项式x3+3x解：设它的另一个因式为x2+ax+b（则x==x比较两边的系数，得a+1=3a+b=−23k=b，解得(1)已知多项式2x2−7x+m有一个因式是x−5(2)已知2x−3x2+x=Ax+1+B(3)已知x−2是x3−3x题型讲练十五分式加减混合运算【例15】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考请认真阅读，并完成相应任务．通过小学的学习，我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．例如：83我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如x−1x+1，x2x+1这样的分式就是假分式；再如3类似地，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）．如：x−1x+1再如：x任务：(1)分式3x+1(2)将假分式x2(3)已知2x+3x−1的值为正整数，直接写出x【变式】（25-26八年级上·河北邯郸·月考）某数学兴趣小组探究了分式的一种特殊变形：分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形．例如：2x+3x−1(1)将分式3x−1x−1分离常数，则3x−1x−1=(2)利用分离常数法，当分式1−4x2x+3的值为正整数时，满足条件的整数x题型讲练十六分式加减的实际应用【例16】（25-26八年级上·山东泰安·月考）【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子M、N的大小，只需要作差．若M−N>0，则M>N；若M−N=0，则M=N；若M−N<0，则M<N．【解决问题】(1)若a>0，则aa+1−a−1a0；（填“>”“(2)已知A=2x2−1，B=x2−2x+1x−1，当【变式】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）一瓶水，每次倒一点，是否一定能倒完？有人肯定觉得不管怎么倒，一定能倒完．真是这样吗？下面我们用所学的数学知识来分析解决．(1)用简便方法计算下题：12(2)利用（1）中得出的规律解决以下问题，一个容器装有1升水，按如下要求倒水：第1次倒出12升水，第2次倒出12升的13，第3次倒出13升的14，第4次倒出14升的15题型讲练十七分式加减乘除混合运算【例17】（25-26八年级下·河南南阳·期中）计算或化简：y−3x22÷【变式】（24-25八年级上·重庆北碚·期末）计算：x3x+4y+2x−y2；题型讲练十八分式化简求值【例18】（25-26八年级下·河南南阳·期中）先化简，再求值：x−2xx+1÷x2−2x+1x+1，在−1【变式】25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：a2+1a−2÷a2题型讲练十九分式最值【例19】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有a−b2≥0，所以a+b−2ab≥0，即a+b≥2ab（当且仅当a=b时取到等号）．特别地，a+1a【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他．(1)函数y=x+4(2)对于函数y=2−x−9xx>0，当x=(3)【能力提升】求函数y=4x+1x−1x>1【变式】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1（1）将“和谐分式”3x+7x+1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：3x+7x+1（2）分式5x2+3题型讲练二十分式方程无解问题【例20】（25-26八年级下·福建漳州·期中）对于平面直角坐标系中的点Pa,b，若点P′的坐标为a+kb,b+ak（其中k为常数，且k≠0）则称点P′为点P的“k系雅培点”；例如：P(1)点P6,1的“2系雅培点”，则P′的坐标为(2)已知点Ax,y在第四象限，且满足xy=−12，点A是点Bm,n的“①求m与n之间的数量关系；②若分式方程m−3nx−3−cx+18【变式】若关于x的方程1x−3+2=kx−4题型讲练二十一列分式方程【例21】（25-26八年级上·河南安阳·期末）为缓解城市地面交通压力，提高人们出行的效率，某地准备扩建一条地铁路线，现要对沿线6000m的地下管道进行改迁，为尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天比原计划多改迁30m，结果提前10天完成改迁任务．设原计划每天改迁管道xm，则可列方程为（

）A．6000x−30−6000xC．6000x−6000【变式】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）中国高铁以其庞大的网络规模、先进的技术和快速便捷的服务，成为世界上最长的高速铁路网络，连接了国内众多城市，极大地促进了区域经济的发展和人员流动的便利．从A地到B地，路程为180 km，某趟动车行驶的平均速度比普通列车快50%，所需时间比普通列车少(1)根据题意填空．①小明设_____为x km/h，列出尚不完整的方程：180②小华设_____为yh，列出尚不完整的方程：180(2)请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程．题型讲练二十二分式方程的行程问题【例22】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度．【变式】（2026九年级下·广东深圳·专题练习）为响应深圳市教育局“每周半天计划”，深圳某校推出“山海课堂”，将课堂搬至山海之间，依托鲲鹏径20段特色线路展开活动．学校将初一年级分为20个组，化身“探路者”，每组独立完成一段路线任务，最终拼合出完整的200公里轨迹．【信息收集】信息一：路段路程（千米）计划平均速度（千米/时）第11组鲲鹏径11段12.5a+1.3第19组鲲鹏径19段6a信息二：第11组和第19组计划用时相等．【问题解决】(1)求a的值和计划用时；(2)第11组的同学前段的平均速度为3千米/时，后段由于体力下降，平均速度降为2千米/时．如果第11组的同学想要在计划的时间内到达终点，则至少需要保持平均速度为3千米时多长时间？题型讲练二十三分式方程的工程问题【例23】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）渝北中学提档升级工程中要维修一段4800米长的围墙，有甲、乙两个工程队可供选择，甲、乙的工作效率始终保持不变．已知甲队每天比乙队多修40米，甲队单独修完这条路所用天数是乙队的45(1)求甲、乙两队每天各修围墙多少米？(2)若施工时发现，需要维修的围墙总长度为y米．先由甲队单独施工6天，再由两队合作施工x天完成任务，请直接列出y与x的函数解析式．(3)若需要维修的围墙总长度为4800米，施工方决定先由两队合作施工若干天，再由甲队单独施工完成，要求总工期不超过20天．求两队至少需要合作多少天？【变式】（25-26八年级下·广东深圳·期中）项目式学习问题：迎接APEC的智能机器人采购与工程规划背景：2026年亚太经合组织（APEC）非正式高官会在深圳举行，某街道办拟购买智能机器人沿街巡逻．现有A、B两款巡逻机器人，需解决机器人单价、巡逻工程规定日期及采购方案等问题．素材一A款机器人单价比B款贵2万元．若用60万元单独采购A款，采购数量会比仅采购B款少1素材二有一项巡逻工程，A机器人单独巡逻恰能在规定日期内完成，B机器人单独巡逻则需超出规定日期10天．若A、B两机器人合作8天，余下工作由B机器人单独完成，可提前素材三已知A款机器人每日巡逻路程为48千米，每台单价12万元；B款机器人每日巡逻路程为32千米，每台单价10万元．街道办拟购买两种机器人共8台，要求每日巡逻总路程不低于320千米，且总费用不超过90万元．任务一：机器人单价计算(1)设B款机器人每台的单价为x万元，则A款机器人每台的单价为x+2万元，请根据素材一列出分式方程，不用求解．任务二：巡逻工程规定日期(2)根据素材二，求该项工程规定日期多少天？任务三：机器人采购方案(3)根据素材三，问有多少种购买方案，A，题型讲练二十四分式方程的经济问题【例24】（25-26八年级下·重庆·期中）某区域为规范共享电单车管理，计划投放A型和B型两种电单车共50辆．经测算，每辆A型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆B型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时．(1)请问该区域投放了多少辆A型和多少辆B型电单车？(2)经市场调研，每辆A型电单车的进价比每辆B型多200元．如果用48000元采购A型电单车的数量与用36000元采购B型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？【变式】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）2026年清明假期，长沙岳麓山、橘子洲等各大景区游客量大幅攀升，文旅氛围浓厚．某商家抢抓文旅机遇，购进岳麓山纪念徽章和橘子洲纪念钥匙扣两款特色文创，深受游客及本地学生喜爱．已知每个橘子洲纪念钥匙扣的进价比每枚岳麓山纪念徽章贵5元，且用300元购进岳麓山纪念徽章的数量，与用450元购进橘子洲纪念钥匙扣的数量相等．(1)求每枚岳麓山纪念徽章和每个橘子洲纪念钥匙扣的进价各是多少元？(2)该商家计划购进两种文创产品共50件，要求橘子洲纪念钥匙扣的件数不低于25件，且总进货费用不超过635元，则有哪几种购买方案？请将购买方案列举出来．题型讲练二十五分式方程和差倍分问题【例25】（2026·山东济宁·一模）随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍．(1)每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？(2)若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本．【变式】（2026·广西南宁·一模）为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花．(1)用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天；(2)求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克．题型讲练二十六分式方程的其它实际问题【例26】（2026·湖南长沙·二模）2026年春节期间，电影《飞驰人生3》的热播带动了一批汽车模型的销售．某商家推出A，B两种赛车模型，已知每个B种赛车模型的进价比A种赛车模型贵20元，用2000元购进A种赛车模型和用2400元购进B种赛车模型的数量相同．(1)A，B两种赛车模型每个的进价分别是多少？(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过11200元的资金购进A，B两种赛车模型共100个，那么最多能购进B种赛车模型多少个？【变式】（25-26八年级上·河南许昌·期末）某校购进甲、乙两种款式的篮球，购买甲种篮球用了1200元，购买乙种篮球用了2100元，购买的乙种篮球数量是甲种的1.5倍，乙种篮球单价比甲种单价贵5元．(1)求甲、乙两种篮球的单价分别为多少元；(2)该校计划再次订购这两种篮球共60个，总费用不超过2000元，那么该校最少购买多少个甲种篮球？第四部分第四部分拓展拔高实战攻坚1．（25-26八年级下·重庆·期中）小阳与小红两人周末去广阳岛骑行，小阳的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了10km，小阳骑行时间比小红少用了0.1h．设小红的骑行速度为xkm/hA．101.2x+0.1=10x B．101.2x+10=2．（2026·福建三明·一模）在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（

）小刚：900小强：∗+3=A．x表示规定时间 B．y表示慢马的速度C．*表示9002y D．△表示3．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（

）A．89630−x−120=896C．89630+x=8964．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）若关于x的分式方程xx+2−kx−25．（25-26八年级下·江苏淮安·期中）对于非零的两个实数a,b，规定a⊙b=1a−1b．如果1⊙6．（25-26八年级下·江西九江·期中）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍．A、B两款玩偶的单价分别是多少元？设B款哪吒玩偶的单价是x元．可列方程___________．7．（25-26八年级下·江苏淮安·期中）解方程：(1)2x−3=58．（25-26八年级下·福建泉州·期中）先化简，再求值：1+1a−3÷9．（25-26八年级下·重庆·期中）先化简，再求值：3x+1−x+1÷x210．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）根据以下素材，探索完成任务．素材1定义：如果两个分式P与Q的和为常数k，则称P与Q互为“和定分式”，常数k称为“和定值”．例如：分式P=1m，Q=2m−1m，P+Q=1m+素材2分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式1x+1，2x素材3如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式xx+1，2问题解决：(1)已知分式A=x−5x+2，B=2x+11x+2，判断(2)已知分式C=2x−1x+4，D=Mx2−16，若C与D互为“和定分式”，且分式为真分式，求“和定值”(3)已知分式E=ax−4x−1，F=x+bx2−2x+1（a，b为常数），若E与

第十章分式【期末复习讲义】-基础版第十章分式【期末复习讲义】-基础版『导图+知识梳理+26个题型讲练+真题实战练共62题』（解析版）归纳归纳题型汇总一览无余题型序列题型名称题型序列题型名称题型一分式无意义的条件题型十四已知分式恒等式，确定分子或分母题型二分式有意义的条件题型十五分式加减混合运算题型三分式值为零的条件题型十六分式加减的实际应用题型四分式的求值题型十七分式加减乘除混合运算题型五求分式值为正（负）数时未知数的取值范围题型十八分式化简求值题型六求使分式值为整数时未知数的整数值题型十九分式最值题型七利用分式的基本性质判断分式值的变化题型二十分式方程无解问题题型八将分式的分子分母的最高次项化为正数题型二十一列分式方程题型九将分式的分子分母各项系数化为整数题型二十二分式方程的行程问题题型十约分题型二十三分式方程的工程问题题型十一最简分式题型二十四分式方程的经济问题题型十二最简公分母题型二十五分式方程和差倍分问题题型十三通分题型二十六分式方程的其它实际问题第一部分第一部分框架速览体系搭建第二部分第二部分知识梳理核心归纳知识点一分式相关概念定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；分式有意义的条件：B≠0；分式值为0的条件：分子=0且分母≠0知识点二分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.知识点三分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.知识点四分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.知识点五分式通分（找最简公分母）与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式：2.取各分母所有因式的最高次幂的积知识点六分式的乘除分式的乘除法运算乘法分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即a除法分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即a知识点七分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：abn=⑴、（是正整数）⑵、（是正整数）⑶、（是正整数）⑷、（，是正整数，）⑸、（是正整数）⑹、（，n是正整数）知识点八同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：ac知识点九异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：a+cb+d知识点十分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.知识点十一分式方程的解法解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.知识点十二分式方程应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．要掌握常见问题中的基本关系，如：行程问题：速度＝路程÷时间；工作量问题：工作效率＝工作量÷工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．第三部分第三部分精讲变式融会贯通题型讲练一分式无意义的条件【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知当x=−1时，分式x−bx+a无意义，当x=4时，分式x−bx+a的值为0，则a+b的值是【答案】5【思路引导】根据分式无意义的条件求出a的值，根据分式值为0的条件求出b的值，再代入计算a+b即可．【规范解答】解：当x=−1时，分式x−bx+a即−1+a=0，解得：a=1，当x=4时，分式x−bx+a的值为0即4−b=0且4+a≠0，解得：b=4，则a+b=1+4=5．【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式x−n2x+m，当x=−4时，该分式无意义；当x=2时，该分式的值为0．求分式m+n【答案】5【思路引导】本题考查的是分式的值为零的条件，分式无意义的条件，掌握以上知识点是解题的关键．根据分母为0是分式无意义，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算求出m、n的值，然后代入求出代数式的值即可．【规范解答】解：由题意，得2×−4解得m=8∴m+n题型讲练二分式有意义的条件【例2】（24-25八年级下·河北张家口·期中）下列各式中，不论x取何值分式都有意义的是（

）A．1x B．11−x C．1x【答案】C【思路引导】本题考查了分式有意义的条件，根据题意逐一分析各选项分母是否可能为零，若无论x取何值分母均不为零，则符合题意，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．【规范解答】解：A、分母为x，当x=0时，分母为零，分式无意义，不符合题意；B、分母为1−x，当x=1时，分母为零，分式无意义，不符合题意；C、分母为x2+1，由于x2≥0，则D、分母为x2−1，当x=1或故选：C．【变式】（24-25八年级下·全国·课后作业）当x取什么数时，下列分式有意义？当x取什么数时，下列分式的值等于0？(1)xx(2)x−5x(3)2x【答案】(1)任何实数，x=0(2)x≠0，x=5(3)x≠5，x=−5【思路引导】本题考查了分式有意义的条件，分式无意义⇔分母为零；分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零．（1）根据分母不为零分式有意义，分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案．（2）根据分母不为零分式有意义，分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案．（3）根据分母不为零分式有意义，分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案．【规范解答】（1）解：∵x2>0∴当x为任何实数时，分式有意义．当x=0时，分式的值等于0．（2）解：当x2≠0时，即当x−5=0时，即x=5时，分式的值等于0．（3）解：当x−5≠0，即x≠5，分式有意义．当2x−10=0时，解得：x=±5，当故当x=−5时，分式的值为0．题型讲练三分式值为零的条件【例3】（24-25八年级下·甘肃白银·月考）若分式x2−9(x−3)(x+1)的值为0，则xA．3 B．−3 C．±3 D．−1【答案】B【思路引导】根据分式的值为零的条件，分子为零，分母不为零，进行求解即可．【规范解答】解：∵x∴x2−9=0解得x=−3．【变式】当x=______时，分式x2【答案】−2【思路引导】根据分式值为零的条件，可得分子为零且分母不为零，据此解答即可．【规范解答】解：∵分式x2∴x2解得x=−2，∴当x=−2时，分式x2题型讲练四分式的求值【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）若x−y=−2xy，则分式4x+5xy−4yx−3xy−y的值等于（

A．−35 B．35 C．−【答案】B【思路引导】将4x+5xy−4yx−3xy−y化为4x−y+5xy【规范解答】解：4x+5xy−4y=====3【变式】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）已知1a−a=1，则A．±5 B．5 C．±3 D．【答案】B【思路引导】将1a−a=1变形得到【规范解答】解：由条件可知1a∴a>0，∴1又1a∴1题型讲练五求分式值为正（负）数时未知数的取值范围【例5】（25-26八年级上·重庆·期中）已知关于x的不等式组3x≥2x+1x−k−14<1有且仅有2个整数解，且分式2k−14k【答案】24【思路引导】本题主要考查了解一元一次不等式组、分式，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．先求解不等式组，得到解集范围，根据有且仅有2个整数解的条件确定k的取值范围；再根据分式值为非负数的条件，得到k的另一取值范围，求交集后得到整数k的值，最后求和．【规范解答】解：3x≥2x+1∴不等式组的解集为1≤x<k+3∵有且仅有2个整数解，即整数解为1和2，∴2<k+3解得5<k≤9，∴整数k可为6，7，8，9，又∵分式2k−14k2+1∴2k−14≥0，得k≥7，∴满足条件的整数k为7,8,9，∴7+8+9=24，故答案为：24．【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式2x+12−x根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如下．原式可转化为下面两个不等式组：①2x+1>02−x>0或②2x+1<0解不等式组①，得_________，解不等式组②，得_________，故当x满足______时，分式2x+12−x解答问题：(1)请将瑶瑶的解题思路补充完整；(2)若分式2x−4x+5的值为负，求x【答案】(1)−12(2)−5<x<2【思路引导】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．（1）分别求出两个不等式组的解集，即可解答；（2）先根据有理数的除法法则得出③2x−4>0x+5<0或④2x−4<0【规范解答】（1）解：解不等式组①，得−1解不等式组②，得不等式组无解，故当x满足−12<x<2故答案为：−12<x<2（2）解：∵分式2x−4x+5∴分子、分母异号，原式可转化为③2x−4>0x+5<0或④2x−4<0解不等式组③：由2x−4>0，得x>2，由x+5<0，得x<−5，∴不等式组③无解；解不等式组④：由2x−4<0，得x<2，由x+5>0，得x>−5，∴不等式组④的解集为−5<x<2．综上所述，若分式2x−4x+5的值为负，则x的取值范围为−5<x<2题型讲练六求使分式值为整数时未知数的整数值【例6】（25-26八年级上·重庆忠县·期末）对于一列非零数a1，a2，a3，…，设a1=x，a2=x2+3x，且从第三个数起，以后每一个数都等于前面两个数的商，如：a3=a2a1，a4A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【思路引导】本题考查分式中的规律探究，分式的求值，正确的地找到规律，是解题的关键先求出前几个数，得到这列数6个数为一个周期，循环出现，再逐一进行判断即可．【规范解答】解：∵a1=x,a∴a3∴a4∴a5∴a6∴a7∴a8∴这列数6个数为一个周期，循环出现，∵1000÷6=166……4，∴a1000∵a3∴x2∴3x∴3x∵周期乘积a161÷6=10……1，∴a1∴a30∵998÷6=166……2，999÷6=166……3，∴a998=a∴a998∵a998∴x+2=±1，x+2=±2，x+2=±3，x+2=±6，∴满足条件的整数x共有8个．又x+2≠0，x+3≠0，x≠0即x≠−3，x≠0，x≠−2，故满足条件的整数x共有6个．故④正确，故选：B．【变式】（25-26八年级上·河北承德·期末）阅读资料，解决问题：定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：4x+1,x+1x2(1)分式x2(2)将假分式3x+1x−1(3)如果分式x2+3x−3x+3【答案】(1)假分式(2)3+4x−1(3)−6,−4,−2【思路引导】本题考查分式的化简，分式的求值，熟练掌握新定义是解题的关键：（1）根据新定义进行判断即可；（2）根据题干给定的方法，进行求解即可；（3）先将假分式化为带分式，再根据分式x2【规范解答】（1）解：由题意，分式x2（2）解：3x+1x−1x2（3）解：x2若使原分式的值为整数，则3x+3∴x+3=±1或±3，∴x=−6,−4,−2,0，∴符合条件的负整数x的值为−6,−4,−2．题型讲练七利用分式的基本性质判断分式值的变化【例7】（25-26八年级下·河南周口·月考）下列说法正确的是（

）A．分式x−1x2−1的值为0，则B．分式ab的分子、分母都乘以mC．分式2xyx+y中的x，y都扩大3D．分式xx【答案】D【思路引导】根据分式的性质，对各选项进行判断即可．【规范解答】解：选项A：当x=1时，分式分母为0，分式无意义，即选项A错误；选项B：当m=0时，分式无意义，故选项B错误；选项C：当x，y都扩大3倍，分式转变为2×3x×3y3x+3y选项D：xx【变式】（25-26八年级上·全国·期末）阅读理解：材料1：我们为了研究分式1x的值与分母xx…−4−3−2−101234…1…−0.25−−0.5−1无意义10.510.25…从表格数据观察，当x>0时，随着x的增大，1x的值随之减小，并无限接近0；当x<0时，随着x的增大，1材料2：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．例如：x−1x+2=请根据上述材料解答下列问题：(1)当m>0时，随着m的增大，1+1m的值；当m<0时，随着m的增大，m+2m的值；(2)当m>1时，随着m的增大，3m+1m−1【答案】(1)减小，减小(2)3m+1m−1的值无限接近【思路引导】本题考查了分式的性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．（1）根据表格得当m>0时，随着m的增大，1m的值随之减小，从而得到1+1m的值随之减小；当m<0时，随着m的增大，2m的值随之减小，从而得到（2）当m>1时，随着m的增大，4m−1的值随之减小，并无限接近于零，从而得出3m+1m−1的值无限接近【规范解答】（1）解：当m>0时，随着m的增大，1m∴当1m的值随之减小，从而得到1+由于m+2m=1+2m，则当m<0时，随着m的增大，2m故答案为：减小；减小；（2）解：∵3m+1m−1∴当m>1时，随着m的增大，4m−1∴3+4m−1的值无限接近即当m>1时，随着m的增大，3m+1m−1的值无限接近3题型讲练八将分式的分子分母的最高次项化为正数【例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数．(1)−2x+y−x−3y(2)−0.01z−0.5−0.3z−0.04【答案】(1)2x−y(2)z+50【思路引导】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．（1）将分式的分子分母同乘以−1即可得；（2）将分式的分子分母同乘以−100即可得．【规范解答】（1）解：−2x+y=2x−y（2）解：−0.01z−0.5=z+50【变式】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式x−1（2）不改变分式的值，使分式x−y（3）当x满足什么条件时，分式2−3x4【答案】（1）10x−2y25x+10y2；（2）【思路引导】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变．（1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案；（2）根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案；（3）根据解分式方程，可得答案；根据解不等式，可得答案．【规范解答】解：（1）原式=10x−2（2）原式=−y（3）①∵4x∴由2−3x4x2解得：x=2②2−3x4x2解得：x>2题型讲练九将分式的分子分母各项系数化为整数【例9】（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数：(1)0.5x−1(2)54【答案】(1)30x−20y(2)15x+12y【思路引导】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变；（1）分子分母都乘以60即可；（2）分子分母同时乘以12即可；【规范解答】（1）根据分式的基本性质，将0.5x−1得0.5x−1（2）解：根据分式的基本性质，将54得54【变式】（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数．(1)12(2)0.2a−0.03b0.04a+b【答案】(1)6x−8y(2)20a−3b【思路引导】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键；（1）根据分式的基本性质变形即可；（2）根据分式的基本性质变形即可．【规范解答】（1）解：12（2）解：0.2a−0.03b0.04+ab题型讲练十约分【例10】（25-26八年级下·江苏南京·期中）定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样abc+d，m+n+p2mn+p的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简1a−1b1a+1b(1)m+nmn=____________（用含(2)求证：不论t取何值，分式2t+6【答案】(1)2t(2)证明见解析，定值为2【思路引导】（1）直接把m+n=−2tt2（2）根据题意可证明mnt=32m+n，把式子2t+6n【规范解答】（1）解：∵m+n=−2tt2∴m+nmn（2）证明：∵mn=−3t∴mnt=−3t∴2t+======2，∴不论t取何值，分式2t+6n−【变式】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）将下列分式化简(1)36a(2)a【答案】(1)6(2)1−a【思路引导】（1）约去分子，分母的最大公因式即可；（2）先分解因式，然后约分计算即可；【规范解答】（1）解：36ab（2）解：a2题型讲练十一最简分式【例11】（25-26八年级上·山东济宁·期末）下列说法正确的是（

）A．x3B．分式x+yxC．分式x2−4D．分式xyx+y中的x，y【答案】C【思路引导】本题考查分式的定义、最简分式的判断、分式值为零的条件以及分式的基本性质．根据分式的定义、最简分式的判断、分式值为零的条件以及分式的基本性质逐一判断即可．【规范解答】解：A：分式定义要求分母中含有字母，而x3B：分母x2−yC：分式值为零需分子为零且分母不为零，x2−4x−2中，分子x2−4=0时x=2或x=−2D：当x,y同时扩大2倍，新分式为(2x)(2y)2x+2y故选：C．【变式】（2025八年级上·河北沧州·专题练习）下列说法正确的是（

）A．若分式x2−4x−2值为0，则B．根据分式的基本性质，mn可以变形为C．分式xy3x+2y中，x，yD．分式x+1x【答案】B【思路引导】本题考查了分式的相关知识点，根据分式值为零的条件、分式的基本性质、分式值的变化和最简分式的定义逐一判断各选项即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【规范解答】解：A、若分式x2−4x−2值为0，则x2−4=0B、根据分式的基本性质，mn可以变形为mC、2x×2y3×2x+2×2y=4xy23x+2y=2×xy3x+2y，故分式D、分式x+1x故选：B．题型讲练十二最简公分母【例12】（2026八年级下·全国·专题练习）阅读下列解题过程，回答下列问题：例如：求2x2y解：第一步：1，2x2y第二步：xy2，第三步：x2y2，2y∴2x2y，3请用以上方法解决下列问题：(1)求cab，abc，(2)求32x2yz【答案】(1)abc(2)12【思路引导】此题考查了求最简公分母，根据最简公分母的定义求解即可．根据题干中的方法求解即可．【规范解答】（1）解：第一步：1，cab，abc，第二步：ab，c，a2c，第三步：abc，c2，a2，∴cab，abc，bac（2）解：第一步：1，32x2yz第二步：2x2yz3第三步：6x2y2z3，第四步：12x3y2z3，∴32x2yz3，【变式】（25-26八年级上·湖南永州·月考）下列说法正确的是（

）A．当x≠3时，分式x−3xB．分式23a与1aC．当分式m2−9D．无论x为何值，3x【答案】D【思路引导】本题考查了分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题的关键是熟练掌握分式的相关概念与性质．判断分式有意义需分母不为零；确定最简公分母取系数最小公倍数与字母因式最高次幂的积；分式值为零需分子为零且分母不为零；判断分式值的正负需分析分母的取值范围．【规范解答】解：A、分式x−3x有意义的条件是x≠0，并非x≠3B、分式23a与1ab2的最简公分母是C、当m2−9m+3=0时，由m2−9=0得m=±3，但D、因x2+1≥1>0，故故选：D．题型讲练十三通分【例13】（25-26八年级下·全国·课后作业）把分式1x−2，1x−2x+1和2A．最简公分母是x−2x+12 C．1x−2x+1=【答案】D【思路引导】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，通分时分子分母需同乘相应因式，确保变形恒等是解题的关键．先确定三个分式的最简公分母，再逐一验证每个选项的通分是否正确．【规范解答】解：A、最简公分母为(x−2)(x+1)B、1x−2C、1(x−2)(x+1)D、正确通分应为2(x+1)2=故选：D．【变式】（2026八年级下·全国·专题练习）若将分式3mm+n与3n2m−n通分，则分式3mA．6m2−6mnC．2m−n D．【答案】A【思路引导】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可．【规范解答】解：∵两个分式的分母分别为m+n和2m−n∴最简公分母为2m+n∵要将3mm+n通分，需给分子分母同乘2∴分子变为3m×2m−n故选：A．题型讲练十四已知分式恒等式，确定分子或分母【例14】（25-26八年级上·山东滨州·期末）根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法．例：m为何值时，多项式x2−2x+m有一个因式是解：设它的另一个因式为x+a（a为常数），则x比较两边的系数，得a+1=−2m=a，解得m=−3(1)已知多项式2x2+mx+4有一个因式是x−4(2)已知x+5x2−x=Ax−1−(3)已知x+1是x3−3x【答案】(1)m=−9(2)11(3)x−2【思路引导】（1）由题意设它的另一个因式为2x+a，则2x（2）把等式右边两个分式通分相加，再比较两边分子的系数即可求得A、B的值，从而可求解；（3）由题意设它的另一个因式为x2+ax+b（a，【规范解答】（1）解：设它的另一个因式为2x+a，则2=2=2比较两边的系数，得a−8=m,−4a=4，解得a=−1,m=−9；（2）解：x+5xx+5xx+5x比较分子的系数得A−B=1,B=5，∴A=6,B=5∴A+B=5+6=11；（3）解：设它的另一个因式为x2+ax+b（则x==x比较两边的系数，得a+1=−3b=4a+b=0，解得∴x【变式】（25-26八年级上·北京海淀·期末）根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法．例：k为何值时，多项式x3+3x解：设它的另一个因式为x2+ax+b（则x==x比较两边的系数，得a+1=3a+b=−23k=b，解得(1)已知多项式2x2−7x+m有一个因式是x−5(2)已知2x−3x2+x=Ax+1+B(3)已知x−2是x3−3x【答案】(1)m=−15(2)8(3)x【思路引导】本题考查了多项式的乘法，分解因式，分式的加减法等知识，理解题意并正确进行计算是关键；（1）由题意设它的另一个因式为2x+a，则2x（2）把等式右边两个分式通分相加，再比较两边分子的系数即可求得A、B的值，从而可求解；（3）由题意设它的另一个因式为x2+ax+b（a，【规范解答】（1）解：设它的另一个因式为2x+a，则2=2=2比较两边的系数，得a−10=−7m=−5a解得a=3m=−15∴m=−15；（2）解：2x−3x2x−3x2x−3x比较分子的系数得A+B=2B=−3，解得A=5∴A−B=5−(−3)=8；（3）解：设它的另一个因式为x2+ax+b（则x==x比较两边的系数，得a−2=−3b−2a=0−2b=4，解得a=−1b=−2∴x题型讲练十五分式加减混合运算【例15】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考请认真阅读，并完成相应任务．通过小学的学习，我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．例如：83我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如x−1x+1，x2x+1这样的分式就是假分式；再如3类似地，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）．如：x−1x+1再如：x任务：(1)分式3x+1(2)将假分式x2(3)已知2x+3x−1的值为正整数，直接写出x【答案】(1)真(2)x−1+(3)2，6，−4【思路引导】本题考查了分式加减的实际应用，理解题意，利用题中的运算方法是解题的关键．（1）根据“真分式”和“假分式”的定义即可做出判断；（2）根据题中的运算方法即可将假分式化为带分式；（3）先将假分式化为带分式，根据分式的值为整数即可得到x的整数值．【规范解答】（1）解：∵分式3x+1∴分式3x+1故答案为：真；（2）解：x===x−1+1（3）解：2x+3===2+5∵2x+3x−1∴2+5则x−1必须是5的整数因数，∴x−1=1或x−1=5或x−1=−5，解得x=2或6或−4．【变式】（25-26八年级上·河北邯郸·月考）某数学兴趣小组探究了分式的一种特殊变形：分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形．例如：2x+3x−1(1)将分式3x−1x−1分离常数，则3x−1x−1=(2)利用分离常数法，当分式1−4x2x+3的值为正整数时，满足条件的整数x【答案】(1)2(2)−1【思路引导】本题考查了分式的加减以及分式的基本性质，掌握分式加减法的计算方法以及分式的性质是正确解答的关键．（1）将分子3x−1变形为3x−1+m，通过比较常数项求（2）对分式1−4x2x+3进行分离常数，得到−2+72x+3【规范解答】（1）解：由3x−1x−1得3x−1=3x−1−3+m=−1，∴m=2．故答案为：2；（2）解：对分式1−4x2x+3进行分离常数：分子1−4x=−2∴1−4x2x+3设分式的值为正整数N，则−2+72x+3=N由于N为正整数，N≥1，∴N+2≥3，即72x+3∵x为整数，∴2x+3为整数．又∵72x+3为整数且7∴2x+3只能为1．当2x+3=1时，x=−1，分式值为5，为正整数．因此满足条件的整数x的值为−1．故答案为：−1．题型讲练十六分式加减的实际应用【例16】（25-26八年级上·山东泰安·月考）【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子M、N的大小，只需要作差．若M−N>0，则M>N；若M−N=0，则M=N；若M−N<0，则M<N．【解决问题】(1)若a>0，则aa+1−a−1a0；（填“>”“(2)已知A=2x2−1，B=x2−2x+1x−1，当【答案】(1)>(2)A<1【思路引导】（1）先化简，再根据a>0作出判断即可；（2）计算A−1B，并根据x>−1，且【规范解答】（1）解：a===1∵a>0，∴a+1>0，∴1a即aa+1（2）解：∵B=x∴1B∴A−=====−1∵x>−1，且x≠1，∴x+1>0，∴1∴−1∴A<1【变式】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）一瓶水，每次倒一点，是否一定能倒完？有人肯定觉得不管怎么倒，一定能倒完．真是这样吗？下面我们用所学的数学知识来分析解决．(1)用简便方法计算下题：12(2)利用（1）中得出的规律解决以下问题，一个容器装有1升水，按如下要求倒水：第1次倒出12升水，第2次倒出12升的13，第3次倒出13升的14，第4次倒出14升的15【答案】(1)6(2)倒不完，理由见解析【思路引导】（1）裂项相消法进行计算即可；（2）根据题意，列出算式求出倒出去的水的和，利用裂项相消法进行计算即可．【规范解答】（1）解：1=1−=1−=6（2）解：倒不完，理由如下：1=1−=1−1故倒不完．题型讲练十七分式加减乘除混合运算【例17】（25-26八年级下·河南南阳·期中）计算或化简：(1)y−3(2)mm+2【答案】(1)x(2)−【规范解答】（1）解：y=====x（2）解：m===−=−2【变式】（24-25八年级上·重庆北碚·期末）计算：(1)x3x+4y(2)6x−2【答案】(1)7(2)4【思路引导】（1）先利用单项式乘以多项式和完全平方公式计算，然后合并同类项即可；（2）先把括号内合并，再将除法运算化为乘法运算，然后约分即可．【规范解答】（1）解：x=3=7x（2）解：6===4题型讲练十八分式化简求值【例18】（25-26八年级下·河南南阳·期中）先化简，再求值：x−2xx+1÷x2−2x+1x+1，在−1【答案】xx−1，当x=2时，原式=2【思路引导】先根据分式混合运算法则化简，得出最简结果，再根据分式有意义的条件得出x=2，代入求值即可．【规范解答】解：(x−=x=x(x−1)=xx−1∵x−2x∴x+1≠0，(x−1)2∴x≠1，x≠−1，∴在−1，1，2中只能取x=2，当x=2时，原式=2【变式】25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：a2+1a−2÷a2【答案】a−1a+1，当a=2时，原式=13；（答案不唯一，或当a=−2【思路引导】先根据分式的运算法则把所给分式化简，再从−2，−1，0，1，2中选取一个使原分式有意义的数代入计算即可．【规范解答】解：原式=a根据分式有意义的条件可得a≠0，±1，当a=2时，原式=2−1当a=−2时，原式=−2−1题型讲练十九分式最值【例19】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有a−b2≥0，所以a+b−2ab≥0，即a+b≥2ab（当且仅当a=b时取到等号）．特别地，a+1a【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他．(1)函数y=x+4(2)对于函数y=2−x−9xx>0，当x=(3)【能力提升】求函数y=4x+1x−1x>1【答案】(1)4(2)3，−4(3)当x=32时，函数y=4x+【思路引导】（1）根据题意利用“基本不等式”进行求解即可；（2）根据题意利用“基本不等式”进行求解；（3）根据题意，利用“基本不等式”以及整体思想进行求解．【规范解答】（1）解：∵x>0，∴x−∴x+4∴x+∴函数y=x+4（2）解：同（1）得x+9∴当x=9x时，解得x=3或x=−3（舍去），∴当x=3时，函数y=2−x+9x（3）解：∵4x+1∴4x−1当4x−1=1x−1时，函数解得x=12（舍去）或∴当x=32时，函数y=4x+1【变式】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1（1）将“和谐分式”3x+7x+1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：3x+7x+1（2）分式5x2+3【答案】3+4x+1【思路引导】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算．（1）将分子3x+7化为分母x+1的倍数与常数的和，然后拆分分式；（2）先将分式化为整式与常数分子的分式的和，再利用分母x2【规范解答】（1）解：3x+7x+1（2）解：5x∵x2∴2x∴−2∴5−2∴当x=0时，分式取得最小值3．题型讲练二十分式方程无解问题【例20】（25-26八年级下·福建漳州·期中）对于平面直角坐标系中的点Pa,b，若点P′的坐标为a+kb,b+ak（其中k为常数，且k≠0）则称点P′为点P的“k系雅培点”；例如：P(1)点P6,1的“2系雅培点”，则P′的坐标为(2)已知点Ax,y在第四象限，且满足xy=−12，点A是点Bm,n的“①求m与n之间的数量关系；②若分式方程m−3nx−3−cx+18【答案】(1)8,4(2)①m−3n=6；②2或−4【思路引导】（1）根据新定义的运算法则，即可求出P′（2）①根据点A是点Bm,n的“−3系雅培点”，且点A在第四象限，结合xy=−12，即可求解；②由①可得出m−3n的值，代入方程，再根据分式方程无解，即可求出c【规范解答】（1）解：（1）∵P6,1∴点P的“2系雅培点”P′的坐标为6+2×1,1+∴P′的坐标为8,4（2）解：①∵点A是点Bm,n的“−3同理可得：点Am−3n,n−∵xy=−12，故m−3nn−m3∵点A在第四象限，故m−3n>0，∴m−3n=6．②由①得m−3n=6，代入分式方程得6x−3整理得c+4x=18当c=−4时，方程无解；当c≠−4时，则x=18∵该方程无解，即方程有增根为3，∴x=18c+4=3解得c=2，综上所述，c=2或−4．【变式】若关于x的方程1x−3+2=kx−4【答案】−2，1【思路引导】分式方程无解包含两种情况：一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，将分式方程化为整式方程后，分两种情况讨论求解k即可．【规范解答】解：原方程为1方程两边同乘最简公分母x−3去分母得：1+2x−3展开并移项合并同类项得：k+2x=4k+5分两种情况讨论：当整式方程k+2x=4k+5无解时，满足未知数系数为0且常数项不为0k+2=0，解得k=−2，此时4k+5=−3≠0，符合要求；当整式方程的解为原分式方程的增根时，原分式方程分母为x−3和3−x，因此增根为x=3，将x=3代入k+2x=4k+53k+2解得k=1，符合要求；综上，k的值为1或−2．题型讲练二十一列分式方程【例21】（25-26八年级上·河南安阳·期末）为缓解城市地面交通压力，提高人们出行的效率，某地准备扩建一条地铁路线，现要对沿线6000m的地下管道进行改迁，为尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天比原计划多改迁30m，结果提前10天完成改迁任务．设原计划每天改迁管道xm，则可列方程为（

）A．6000x−30−6000xC．6000x−6000【答案】C【思路引导】根据提前10天完成任务列方程．本题考查根据实际问题列分式方程，关键是找到原计划和实际完成任务的天数差．【规范解答】解：∵设原计划每天改迁管道x∴实际每天改迁管道(x+30)∵总管道长度为6000∴原计划完成任务的天数为6000x，实际完成任务的天数为∵实际比原计划提前10天完成任务∴6000故选：C【变式】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）中国高铁以其庞大的网络规模、先进的技术和快速便捷的服务，成为世界上最长的高速铁路网络，连接了国内众多城市，极大地促进了区域经济的发展和人员流动的便利．从A地到B地，路程为180 km，某趟动车行驶的平均速度比普通列车快50%，所需时间比普通列车少(1)根据题意填空．①小明设_____为x km/h，列出尚不完整的方程：180②小华设_____为yh，列出尚不完整的方程：180(2)请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程．【答案】(1)①普通列车的平均速度，12；②动车的行驶时间，(2)见解析【思路引导】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键．(1)①设普通列车的平均速度为xkm/h，则动车的平均速度为(1+50%)xkm/h，根据所需时间比普通列车少30min，即可列出关于x的分式方程，此题得解．②设动车的行驶时间为(2)解（1）中列出的方程并检验即可．【规范解答】（1）解：①小明设普通列车的平均速度为xkm/h，列出的方程为：180故答案为：普通列车的平均速度，1②小华设动车的行驶时间为yh，列出的方程为：180故答案为：动车的行驶时间，y+0.5（2）①设普通列车的平均速度为xkm/h，列出的方程为：180解得x=120，经检验x=120是方程的根且符合题意，此时120(1+50%答：该动车行驶的平均速度180km/h②设动车的行驶时间为yh，列出的方程为：180解得y=1，经检验y=1是方程的根且符合题意，此时180y答：该动车行驶的平均速度180km/h题型讲练二十二分式方程的行程问题【例22】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度．【答案】小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟【思路引导】设小鹏的速度为x米/分钟，则小勇的速度为2x米/分钟，利用“时间=路程÷速度”的关系，根据两人的时间差为4分钟列方程求解即可．【规范解答】解：设小鹏的速度为x米/分钟，则小勇的速度为2x米/分钟,根据题意，得12002x解得x=50，经检验，x=50是原分式方程的解，且符合题意，此时2x=2×50=100