苏科版数学八年级下册 第11章 二次根式高效培优 学案 含答案

第11章二次根式教学目标1.理解二次根式的定义，掌握二次根式双重非负性，会求二次根式有意义的字母取值范围；2.掌握二次根式两大核心性质：和，能熟练化简计算；3.掌握二次根式乘、除运算法则，理解最简二次根式概念，会化简二次根式、进行分母有理化；4.认识同类二次根式，熟练掌握二次根式加减运算；5.能正确进行二次根式混合运算，合理运用运算律、乘法公式简化计算；6.经历概念形成、法则猜想、归纳验证的过程，发展符号意识、抽象概括、类比转化能力，感受数学知识的系统性与逻辑性，体会数学运算的严谨性。教学重难点重点（1）二次根式两条核心性质的理解与运用；（2）二次根式乘除法则、最简二次根式的化简，二次根式乘除法则的适用条件限制；（3）同类二次根式判定与二次根式加减运算。2.难点（1）二次根式双重非负性的综合应用（求值、参数问题）；（2）忽略被开方数a≥0，漏写取值范围限制；（3）复杂根式化简、分母有理化的灵活运用；（4）二次根式混合运算中公式、运算顺序的综合灵活运用。考点01二次根式的概念1）二次根式:一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式（quadraticradical），a可以是一个数，也可以是一个代数式。当a是一个非负数时，表示a的算术平方根。2）二次根式有意义：被开方数为非负数，即有意义。3）二次根式的性质（1）二次根式（）的双重非负性：即且。（2）二次根式的性质1：当时，。（3）二次根式的性质2：。【题型1】二次根式的识别与二次根式求值1．（25-26八年级下·江苏·月考）下列各式一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·河南南阳·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．3．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）当时，二次根式的值是_____．4．（25-26八年级上·四川达州·期中）如果函数，其中表示当时对应的函数值，那么的值为___________．【题型2】二次根式有意义1．（2026·山东淄博·一模）请写出一个使在实数范围内有意义的的值为_____．2．（25-26九年级下·河北邯郸·月考）若在实数范围内有意义，则满足条件的的值为______．（写出一个即可）3．（25-26八年级下·福建·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是____．4．（25-26八年级下·成都·期中）已知m是函数自变量取值范围内的一个非负整数，则的平方根是________．5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知，为等腰三角形的两条边长，且，满足，则此三角形的周长为（

）A．10 B．11 C．10或11 D．12【题型3】二次根式的性质求参数1．（2026·广东汕头·一模）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（

）A．B．C．D．2．（24-25八年级下·浙江金华·月考）如果，那么（

）A． B． C． D．3．（25-26八年级下·宁夏固原·月考）已知，则的取值范围是_____________4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中），则x的取值范围是________．【题型4】二次根式的性质化简1．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（

）A． B． C． D．2．（25-26八年级下·甘肃平凉·月考）实数、在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是__________．3．（25-26八年级下·河南许昌·月考）如图，实数a、b在数轴上的位置，化简．4．（25-26八年级下·山东济宁·月考）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题，化简：．解：隐含条件，解得．．∴原式．【启发应用】(1)按照上面的解法，试化简．【类比迁移】(2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．(3)已知a，b，c为的三边长，化简【题型5】二次根式的规律问题1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）小明做数学题时，发现：；；；；…；按此规律，若（，为正整数），则______．2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各个等式的规律：；；；…请用上述等式反映出的规律解决下列问题：(1)_______，_______；(2)猜想的第个等式：__________（用含的等式表示），并证明．3．（25-26八年级下·四川自贡·月考）【观察思考】第1个等式：；

第2个等式：；第3个等式：；

第4个等式：；(1)直接写出第个等式：；(2)如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律：．(3)证明（2）中的运算规律．4．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：________；(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明．考点02二次根式的乘除法1）二次根式乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）。2）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）。3）分母有理化：当一个式子的分母中含有根号时，只要分子、分母都乘适当的数或式，就可以使分母中不含有根号。如：，上面这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化。4）最简二次根式：一般地，化简二次根式就是使二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含根号；（3）被开方数写成乘积形式时，不含能开得尽方的因数或因式，且因式的次数等于1。这样化简后得到的二次根式叫作最简二次根式（simplestquadraticradical）.【题型1】二次根式的乘法（除法）运算1．（24-25八年级下·江苏·期中）计算______2．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）计算×​的结果等于______．3．（25-26·四川泸州·八年级期中）计算：______．【题型2】二次根式的除法1．（25-26八年级下·江苏·月考）计算:____2．（25-26八年级下·江苏·课后作业）计算：（1）_____；（2）__________．3．（25-26·广西崇左·八年级期中）计算结果等于_________．【题型3】二次根式的乘除法混合运算1．（25-26八年级下·成都·月考）计算：(1)；(2)；(3)．2．（25-26八年级下·江苏·期中）计算：(1)；(2)；(3)．3．（2026八年级下·广东·专题练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．4．（25-26八年级下·江苏·周测）计算：(1)．(2)（，）．(3)．(4)．【题型4】最简二次根式1．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（

）A． B． C． D．2．（25-26八年级下·江苏·课后作业）下列式子中属于最简二次根式的是（

）A． B． C． D．3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．4．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）将化简，正确的结果是（

）A． B． C． D．5．（25-26八年级下·江苏·课后作业）已知二次根式是最简二次根式．可取的最小正整数是________．可取的最小整数是__________．【题型4】分母（分子）有理化1．（25-26八年级下·浙江金华·月考）小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的：，，，，，．请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：(1)计算：．(2)若．①求的值；②求的值．2．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：(1)的有理化因式是；(2)化去式子分母中的根号：；（直接写结果）(3)利用你发现的规律计算下列式子的值：．3．（24-25八年级下·江苏·月考）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式．（1）的有理化因式是________（写出一个即可），的有理化因式是________（写出一个即可）；[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．（2）请利用分母有理化化简：________．[材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化，比如：．（3）试利用分子有理化比较和的大小．（写出比较大小的过程）4．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用，其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式．比如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：和的大小可以先将它们分子有理化如下：．因为，所以，．再例如，求的最大值、做法如下：解：由可知，而．当时，分母有最小值2．所以的最大值是2．利用上面的方法，完成下面问题：(1)比较和的大小；(2)求的最大值．【题型5】二次根式的化简1．（25-26八年级下·江苏·课后作业）化简的结果是（

）A． B． C． D．2．（25-26八年级下·山东·课后作业），则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（25-26八年级下·广东·课后作业）把化简得（

）A． B． C． D．4．（25-26八年级下·山东日照·月考）把式子中根号外的移到根号内得（

）A． B． C． D．【题型6】复合二次根式的化简1．（25-26八年级上·广西来宾·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；．【类比归纳】(1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方；(2)请你仿照上面的方法化简：；【类比归纳】(3)若，其中，且，，均为正整数，求的值．2．（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题．例：求的算术平方根．解：∵，∴的算术平方根是．根据以上材料，回答下列问题：(1)_____________；(2)化简：；(3)在中，，，，那么BC边的长为多少？3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简；例如：化简；且，，，由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：【方法运用】（1）填空：①__________；②__________；【方法应用】（2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长；【迁移运用】（3）已知为常数（），满足，求的值．4．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，例如，，那么，我们可以利用完全平方公式来解决下面的问题：例1

求的算术平方根．解：，所以的算术平方根是．例2

求的算术平方根．解：，所以的算术平方根是．请根据上面的方法化简：(1)___________；(2)___________；（直接写出化简结果）(3)化简：．考点03二次根式的加减1）同类二次根式：经过化简后，被开方数相同的二次根式，叫作同类二次根式。2）二次根式的加减：二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式。3）二次根式的混合运算：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算。注意：进行二次根式的混合运算时，一般需要综合运用二次根式的乘除法性质、分母有理化方法和正式运算的法则、公式和运算律。【题型1】同类二次根式1．（25-26八年级下·安徽宣城·期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（

）A．与 B．与 C．与 D．与2．（24-25八年级下·河南周口·期中）可以与下列哪个二次根式合并（）A． B． C． D．3．（25-26八年级下·云南昭通·月考）下列二次根式与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．4．（24-25八年级下·广西梧州·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值是_____．【题型2】二次根式的加减运算1．（22-23八年级上·广西贺州·期中）下列计算正确的是（

）A．B．C．D．2．（25-26八年级下·江苏·月考）计算的结果是（

）A． B． C． D．3．（25-26八年级下·山东聊城·期中）计算：______．4．（25-26八年级下·北京·月考）计算：．【题型3】二次根式的混合运算1．（25-26八年级下·山东日照·月考）计算(1)；(2)2．（24-25八年级下·浙江金华·期中）化简或计算：(1)；(2)3．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）计算：(1)；(2)（．4．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）计算(1)；(2)．5．（25-26八年级下·江苏·期中）计算：(1)；(2)；(3)；(4)【题型4】二次根式的化简求值1．（2026八年级上·四川成都·专题练习）已知，，则的值为______．2．（25-26八年级下·北京·月考）已知，，求下列代数式的值．3．（24-25八年级下·江苏期中）已知，，求的值．4．（25-26八年级上·河南漯河·期末）已知，则的值为（

）A．1 B．3 C．5 D．75．（25-26八年级下·江西赣州·月考）已知，则代数式的值是____．【题型5】比较二次根式的大小1．（2026九年级下·吉林长春·专题练习）比较大小：______．（用“”“”“”填空）2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）比较实数、、的大小，并将其用“”连接：____________．3．（25-26八年级下·山东临沂·月考）比较大小：________．4．（25-26八年级上·浙江·期末）比较大小：______【题型6】二次根式的实际应用1．（25-26八年级下·江苏·期中）等腰三角形的两条边长为和，则这个三角形的周长为（

）A．B．C．D．或2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）由古希腊数学家海伦和南宋数学家秦九韶分别提出的三角形面积公式：，（其中为三角形三边长，）也可求出三角形面积．已知三边长分别为，则的面积为（

）A． B． C． D．3．（25-26七年级下·贵州遵义·月考）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从60m的高空落到地面的时间是（

）A． B． C． D．12s4．（25-26七年级下·贵州遵义·月考）如图，从一个大正方形木板上裁去面积为和的两个小正方形木料．(1)裁去的两块正方形木料的边长分别为________和________；(2)求剩余木料的面积．5．（24-25八年级下·河南三门峡·期末）综合与应用【材料阅读】小红和小青在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形面积问题”进行了探究．他们各自查找了相关问题的资料．小红找到的资料如下：我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记载：如果一个三角形的三边长分别为，，，则（秦九韶公式）．小青找到的资料如下：古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中记载：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，则（海伦公式）．【推理论证】（1）小红和小青运用整式乘法和因式分解的知识对秦九韶公式进行了化简，发现化简后的秦九韶公式与海伦公式相同．这说明海伦公式与秦九韶公式是同一个公式，所以我们也称海伦公式为“海伦－秦九韶公式”．下面是他们不完整的推理过程，请将这个推理过程补充完整．证明：，（

）（

）（

）（

）（

）（

）（

）【学以致用】（2）已知三角形的三边分别为，，．请运用“海伦－秦九韶公式”计算三角形的面积．①，，；②，，．

第11章二次根式教学目标1.理解二次根式的定义，掌握二次根式双重非负性，会求二次根式有意义的字母取值范围；2.掌握二次根式两大核心性质：和，能熟练化简计算；3.掌握二次根式乘、除运算法则，理解最简二次根式概念，会化简二次根式、进行分母有理化；4.认识同类二次根式，熟练掌握二次根式加减运算；5.能正确进行二次根式混合运算，合理运用运算律、乘法公式简化计算；6.经历概念形成、法则猜想、归纳验证的过程，发展符号意识、抽象概括、类比转化能力，感受数学知识的系统性与逻辑性，体会数学运算的严谨性。教学重难点重点（1）二次根式两条核心性质的理解与运用；（2）二次根式乘除法则、最简二次根式的化简，二次根式乘除法则的适用条件限制；（3）同类二次根式判定与二次根式加减运算。2.难点（1）二次根式双重非负性的综合应用（求值、参数问题）；（2）忽略被开方数a≥0，漏写取值范围限制；（3）复杂根式化简、分母有理化的灵活运用；（4）二次根式混合运算中公式、运算顺序的综合灵活运用。考点01二次根式的概念1）二次根式:一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式（quadraticradical），a可以是一个数，也可以是一个代数式。当a是一个非负数时，表示a的算术平方根。2）二次根式有意义：被开方数为非负数，即有意义。3）二次根式的性质（1）二次根式（）的双重非负性：即且。（2）二次根式的性质1：当时，。（3）二次根式的性质2：。【题型1】二次根式的识别与二次根式求值1．（25-26八年级下·江苏·月考）下列各式一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A．∵可以为负数，当时，无意义，∴不一定是二次根式，A错误．B．∵，被开方数为负数，无意义，∴不是二次根式，B错误．C．∵对任意实数，都有，∴，被开方数恒为正，且根指数为2，∴一定是二次根式，C正确．D，∵的根指数为3，不是2，∴不是二次根式，D错误．2．（25-26九年级上·河南南阳·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A．当时，不是二次根式，故不符合题意；

B．∵，∴不是二次根式，故不符合题意；

C．是二次根式，故符合题意；

D．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意；故选C．3．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）当时，二次根式的值是_____．【答案】2【详解】解：当时，，故答案为：2．4．（25-26八年级上·四川达州·期中）如果函数，其中表示当时对应的函数值，那么的值为___________．【答案】【详解】解：∵，∴；代入，得，∵，即，∴，∴．故答案为：．【题型2】二次根式有意义1．（2026·山东淄博·一模）请写出一个使在实数范围内有意义的的值为_____．【答案】0(答案不唯一)【详解】解：由题意，得，解得，∴使在实数范围内有意义的的值可以为0(答案不唯一)．2．（25-26九年级下·河北邯郸·月考）若在实数范围内有意义，则满足条件的的值为______．（写出一个即可）【答案】1（答案不唯一）【详解】解：∵在实数范围内有意义，∴，解得，故答案为：1（答案不唯一）．3．（25-26八年级下·福建·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是____．【答案】【详解】解：由题意得：，移项得：，系数化为得：．4．（25-26八年级下·成都·期中）已知m是函数自变量取值范围内的一个非负整数，则的平方根是________．【答案】【详解】解：函数中，自变量需满足且．解不等式得，故的取值范围为且．∵是非负整数且在此范围内，只能为．当时，．的平方根为．故答案为：．5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知，为等腰三角形的两条边长，且，满足，则此三角形的周长为（

）A．10 B．11 C．10或11 D．12【答案】C【详解】解：由题意可得：，解得：，∴，∴，∴等腰三角形的三边长分别为3，3，4或3，4，4，且都满足三角形三边关系，∴或，∴等腰三角形的周长为10或11．【题型3】二次根式的性质求参数1．（2026·广东汕头·一模）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：∵，∴，∴，∴的取值范围在数轴上表示为：．2．（24-25八年级下·浙江金华·月考）如果，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由题意得当时解得3．（25-26八年级下·宁夏固原·月考）已知，则的取值范围是_____________【答案】【详解】解：由题意知，，∴，解得．4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中），则x的取值范围是________．【答案】【详解】解：∵，∴，解得．故答案为：．【题型4】二次根式的性质化简1．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由数轴可知，，原式．故选C．2．（25-26八年级下·甘肃平凉·月考）实数、在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是__________．【答案】【详解】解：如图所示：∵,∴，∴．3．（25-26八年级下·河南许昌·月考）如图，实数a、b在数轴上的位置，化简．【答案】【详解】解：由图可知，，，则，原式．4．（25-26八年级下·山东济宁·月考）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题，化简：．解：隐含条件，解得．．∴原式．【启发应用】(1)按照上面的解法，试化简．【类比迁移】(2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．(3)已知a，b，c为的三边长，化简【答案】(1)1(2)(3)【详解】（1）解：隐含条件，解得．．∴原式；（2）解：由数轴可得，且，∴，∴原式；（3）解：由三角形三边关系可得：，∴，∴原式．【题型5】二次根式的规律问题1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）小明做数学题时，发现：；；；；…；按此规律，若（，为正整数），则______．【答案】【详解】解：由规律可得：，当时，式子为，∵，∴，，∴．2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各个等式的规律：；；；…请用上述等式反映出的规律解决下列问题：(1)_______，_______；(2)猜想的第个等式：__________（用含的等式表示），并证明．【答案】(1)，(2)，证明见解析【详解】（1）解：由；；；可得；；（2）解：猜想的第个等式：，证明：．3．（25-26八年级下·四川自贡·月考）【观察思考】第1个等式：；

第2个等式：；第3个等式：；

第4个等式：；(1)直接写出第个等式：；(2)如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律：．(3)证明（2）中的运算规律．【答案】(1)(2)（为正整数）(3)见解析【详解】（1）解：观察可知，第个等式：；（2）解：观察等式的规律：第个等式为：（为正整数）；（3）证明：等式左边，为正整数，，等式左边等式右边．4．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：________；(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明．【答案】(1)(2)，证明见解析【详解】（1）解：第6个等式：；（2）解：猜想第n个等式为：，证明如下：等式左边，∵n为正整数，∴，∴等式左边右边，∴等式成立．考点02二次根式的乘除法1）二次根式乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）。2）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）。3）分母有理化：当一个式子的分母中含有根号时，只要分子、分母都乘适当的数或式，就可以使分母中不含有根号。如：，上面这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化。4）最简二次根式：一般地，化简二次根式就是使二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含根号；（3）被开方数写成乘积形式时，不含能开得尽方的因数或因式，且因式的次数等于1。这样化简后得到的二次根式叫作最简二次根式（simplestquadraticradical）.【题型1】二次根式的乘法（除法）运算1．（24-25八年级下·江苏·期中）计算______【答案】2【详解】解：．2．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）计算×​的结果等于______．【答案】【详解】解：，故答案为：．3．（25-26·四川泸州·八年级期中）计算：______．【答案】【详解】，故答案为：【题型2】二次根式的除法1．（25-26八年级下·江苏·月考）计算:____【答案】【详解】解：．2．（25-26八年级下·江苏·课后作业）计算：（1）_____；（2）__________．【答案】【详解】（1）解：；（2）解：．故答案为：，，．3．（25-26·广西崇左·八年级期中）计算结果等于_________．【答案】6【详解】解：；故答案为：6．【题型3】二次根式的乘除法混合运算1．（25-26八年级下·成都·月考）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)2【详解】（1）解：（2）（3）2．（25-26八年级下·江苏·期中）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．3．（2026八年级下·广东·专题练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)15(3)1(4)【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．4．（25-26八年级下·江苏·周测）计算：(1)．(2)（，）．(3)．(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．（3）解：原式．（4）解：先化简各根式：，，原式．【题型4】最简二次根式1．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：A.，被开方数是能开得尽方的数，∴A不符合要求，B.，被开方数含能开得尽方的因式，∴B不符合要求，C．的被开方数含分母，化简得，∴C不符合要求，D．的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因式，满足最简二次根式的条件，∴D符合要求．2．（25-26八年级下·江苏·课后作业）下列式子中属于最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵最简二次根式满足：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，对于A选项，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；对于B选项，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式；对于C选项，，被开方数含分母，不是最简二次根式；对于D选项，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；∴答案选B．3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意，B．是最简二次根式，符合题意，C．，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意，D．，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意．4．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）将化简，正确的结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：；故选：A．5．（25-26八年级下·江苏·课后作业）已知二次根式是最简二次根式．可取的最小正整数是________．可取的最小整数是__________．【答案】2【详解】解：①正整数依次为当时，，不是最简二次根式；当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式．∴可取的最小正整数是．②先解不等式，得整数依次为当时，，不是最简二次根式；当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式．∴可取的最小整数是．故答案为：．【题型4】分母（分子）有理化1．（25-26八年级下·浙江金华·月考）小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的：，，，，，．请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：(1)计算：．(2)若．①求的值；②求的值．【答案】(1)(2)①;②【详解】（1）解：，，，；（2）解：，，，，，①；②，，，，，．2．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：(1)的有理化因式是；(2)化去式子分母中的根号：；（直接写结果）(3)利用你发现的规律计算下列式子的值：．【答案】(1)；(2)；(3)2017．【详解】（1）解：∵两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，∵，∴的有理化因式是：，故答案为：；（2）解：∵，故答案为：；（3）解：，，，，．3．（24-25八年级下·江苏·月考）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式．（1）的有理化因式是________（写出一个即可），的有理化因式是________（写出一个即可）；[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．（2）请利用分母有理化化简：________．[材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化，比如：．（3）试利用分子有理化比较和的大小．（写出比较大小的过程）【答案】（1）（答案不唯一），（答案不唯一）；（2）；（3）【详解】（1）的有理化因式是（答案不唯一），的有理化因式是（答案不唯一），故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）；（2）；（3），，，，．4．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用，其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式．比如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：和的大小可以先将它们分子有理化如下：．因为，所以，．再例如，求的最大值、做法如下：解：由可知，而．当时，分母有最小值2．所以的最大值是2．利用上面的方法，完成下面问题：(1)比较和的大小；(2)求的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：（1）∵，，∵，∴，即；（2）∵，，∴，∵，∴当时，分母有最小值，∴则的最大值为：．【题型5】二次根式的化简1．（25-26八年级下·江苏·课后作业）化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：．2．（25-26八年级下·山东·课后作业），则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：，且，且，且，．3．（25-26八年级下·广东·课后作业）把化简得（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵二次根式中被开方数非负，∴，解得，∴．4．（25-26八年级下·山东日照·月考）把式子中根号外的移到根号内得（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵二次根式中被开方数非负且分母不为，∴，得，∴．【题型6】复合二次根式的化简1．（25-26八年级上·广西来宾·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；．【类比归纳】(1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方；(2)请你仿照上面的方法化简：；【类比归纳】(3)若，其中，且，，均为正整数，求的值．【答案】(1)(2)(3)16或32【详解】（1）解：根据题意得，；（2）解：；（3）解：由题意得，，∴，∵，且，，均为正整数，∴，的值可能为15，1或5，3，∴当、时，，则；当、时，，则．2．（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题．例：求的算术平方根．解：∵，∴的算术平方根是．根据以上材料，回答下列问题：(1)_____________；(2)化简：；(3)在中，，，，那么BC边的长为多少？【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：故答案为：（2）．（3）在中，由勾股定理，得，即边的长度为．3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简；例如：化简；且，，，由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：【方法运用】（1）填空：①__________；②__________；【方法应用】（2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长；【迁移运用】（3）已知为常数（），满足，求的值．【答案】（1）①；②；（2）新正方形花圃的边长为米；（3）【详解】解：（1）①；②；故答案为：；；（2）由题可知，新正方形花圃面积为（平方米），，则新正方形花圃的边长为米；（3）∵，∴，∴，∴．，∴的值为．4．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，例如，，那么，我们可以利用完全平方公式来解决下面的问题：例1

求的算术平方根．解：，所以的算术平方根是．例2

求的算术平方根．解：，所以的算术平方根是．请根据上面的方法化简：(1)___________；(2)___________；（直接写出化简结果）(3)化简：．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：依题意，，即；（2）解：依题意，，∴；（3）解：依题意，，∴；依题意，，则．考点03二次根式的加减1）同类二次根式：经过化简后，被开方数相同的二次根式，叫作同类二次根式。2）二次根式的加减：二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式。3）二次根式的混合运算：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算。注意：进行二次根式的混合运算时，一般需要综合运用二次根式的乘除法性质、分母有理化方法和正式运算的法则、公式和运算律。【题型1】同类二次根式1．（25-26八年级下·安徽宣城·期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（

）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】C【详解】解：，则与不是同类二次根式，故A错误；，则与不是同类二次根式，故B错误；，则与是同类二次根式，故C正确；，则与不是同类二次根式，故D错误．2．（24-25八年级下·河南周口·期中）可以与下列哪个二次根式合并（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：．A、，与不是同类二次根式，则不可以与合并；B、与不是同类二次根式，则不可以与合并；C、，与是同类二次根式，则可以与合并；D、，与不是同类二次根式，则不可以与合并．3．（25-26八年级下·云南昭通·月考）下列二次根式与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：A.=，最简二次根式的被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式，符合题意；B.，最简二次根式的被开方数为，与不相同，不是同类二次根式，不符合题意；C.，结果为整数，被开方数与不相同，不是同类二次根式，不符合题意；D.，最简二次根式的被开方数为，与不相同，不是同类二次根式，不符合题意．4．（24-25八年级下·广西梧州·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值是_____．【答案】4【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，解得：．【题型2】二次根式的加减运算1．（22-23八年级上·广西贺州·期中）下列计算正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意；B、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意；C、，故选项不符合题意；D、，计算正确，故选项符合题意．2．（25-26八年级下·江苏·月考）计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵，∴．3．（25-26八年级下·山东聊城·期中）计算：______．【答案】【详解】解：．4．（25-26八年级下·北京·月考）计算：．【答案】【详解】解：．【题型3】二次根式的混合运算1．（25-26八年级下·山东日照·月考）计算(1)；(2)【答案】(1)(2)【详解】（1）解：原式；（2）解：．2．（24-25八年级下·浙江金华·期中）化简或计算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【详解】（1）解：；（2）解：．3．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）计算：(1)；(2)（．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：原式；（2）原式．4．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）计算(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：原式；（2）解：原式.5．（25-26八年级下·江苏·期中）