苏科版数学八年级下册 第11章 二次根式（期末复习讲义）培优版 学案 含答案

第十一章二次根式【期末复习讲义】-培优版第十一章二次根式【期末复习讲义】-培优版『导图+知识梳理+19个题型讲练+真题实战练共48题』（原卷版）归纳归纳题型汇总一览无余题型序列题型名称题型一求二次根式的值题型二求二次根式中的参数题型三二次根式有意义的条件题型四利用二次根式的性质化简题型五二次根式的乘法题型六二次根式的除法题型七二次根式的乘除混合运算题型八分母有理化题型九最简二次根式的判断题型十化为最简二次根式题型十一已知最简二次根式求参数题型十二复合二次根式的化简题型十三同类二次根式题型十四二次根式的加减运算题型十五二次根式的混合运算题型十六已知字母的值，化简求值题型十七已知条件式，化简求值题型十八比较二次根式的大小题型十九二次根式的应用第一部分第一部分框架速览体系搭建第二部分第二部分知识梳理核心归纳知识点一二次根式的相关概念和性质1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如3,1【易错点拨】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质（1）a≥0 (a≥0)；

（2）a2=a(a≥0)；

（3）【易错点拨】（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即=(a)2（），如2=(2)2（2）a2中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，a2一定有意义.（3）化简a2时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）a2与(不同点：a2中可以取任何实数，而(a)2a2=，(a)2=a相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，a2=(a3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2）被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如2,【易错点拨】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.【易错点拨】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如2与38，由于38=22，2知识点二二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法a积的算术平方根化简公式：ab二次根式的除法a商的算术平方根化简公式：a【易错点拨】（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如ab被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(−4)×(−9)≠2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.【易错点拨】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如2+3第三部分第三部分精讲变式融会贯通题型讲练一求二次根式的值【例1】（2026·山西太原·一模）阅读与思考下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务．构造和差对偶式解决复杂代数问题对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如ax+by和ax−by的和差对偶形式．具体探究如下：探究：例题：已知a+b=10，求a2解：我们从a+b=10这个式子的结构出发，构造a=5+m, b=5−m（a==25+10m+=25+10m+=108．应用：……任务：(1)材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________．A．分类讨论思想

B．转化思想

C．数形结合思想(2)已知a+b=−8，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求a2(3)已知a+b=4【变式】下列各式是二次根式的有（

）（1）21；（2）−19；（3）x2+1；（4）3A．4个 B．3个 C．2个 D．1个题型讲练二求二次根式中的参数【例2】（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）已知18−n是整数，则正整数n的最大值为____．【变式】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若m满足关系式3x+5y−2−m+2x+3y−m=1−x−y⋅题型讲练三二次根式有意义的条件【例3】（2026八年级下·广东江门·专题练习）我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、【解决问题】(1)已知10是“完美数”，请将它写成a2+b2（(2)已知S=x2+9y2+4x−12y+k（x、y是整数，【探究问题】(3)已知a2+6ab+10b(4)已知实数x、y满足−x2+【实际应用】(5)已知△ABC的三边长a、b、c满足a+b−2a−1−4b−2【变式】（25-26八年级下·湖北武汉·月考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A,D两点坐标分别为A(0,a),D(b,b)，且a−b=5−b(1)求A,D两点坐标；(2)点B,C是x轴上两动点（B在C左侧），且使四边形ABCD为平行四边形．①如图，当点B,C分别在原点两侧时，连接DO，过点O作OG⊥DO交AB于点G，连接DG，取DG中点H，在DO上截取DE，使DE=GO，若DE=2，求AH②当点B在原点左侧时，过点O的直线MN⊥AB，分别交AB,CD于M,N,试探究OM,BM,CN三条线段之间的数量关系．题型讲练四利用二次根式的性质化简【例4】（25-26八年级下·重庆开州·期中）先化简，再求值：m+12−mm+2【变式】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）【问题情境】定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”．(1)【数学思考】如图1，在▱ABCD中，若AB=BC=10，AC=2，试判断▱ABCD(2)【深入探究】如图2，▱ABCD为“倍线平行四边形”（BD>AC），点E是BC上的动点，连接AE交BD于点F．①若E是BC的中点，AC⊥AB，AB=22，求AE②过点A作AG⊥AE交BD于点G，若OG=OA，求证：E是BC的中点．题型讲练五二次根式的乘法【例5】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答下列问题：第1个等式：1+1第2个等式：2+1第3个等式：3+1第4个等式：4+1(1)直接写出第7个等式：______；(2)根据上述规律，请用含n的式子表示第n个等式（n为正整数），并证明等式成立；【变式】将两个等腰三角形顶点重合叠放，∠BAC=∠DAE=120°，AB=AC，(1)【探究发现】如图1，如图叠放，连接BD和CE，试证明：△ABD≌△ACE．(2)【性质应用】如图2，叠放后若点D恰好落在BC上，连接EB和EC，EB=7①证明：ED⊥BC．②若延长BA交CE于点P，求EP的长度．(3)【联想拓展】如图3，在△BCD中放置等腰三角形DAC，∠DAC=120°，AD=AC，若∠ABC=60°，AB=1，BC=3题型讲练六二次根式的除法【例6】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图；(1)在图①中以已知线段为对角线画一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上，该矩形的面积为______．(2)在图②中以已知线段为对角线画一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上，该菱形的周长为_____．(3)在图③中画一个周长为45(4)在图④中画一个面积为8的正方形．【变式】（25-26八年级下·北京·期中）如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，点P为线段BE上一动点（不与B，E重合），连接PC，过P作PN⊥PC且PN=PC（点N在点P上方），连接DN．(1)当点E，点P在如图1所示的位置时，作NM⊥ND，交直线BC于M，交直线BE于Q．①在图1中补全图形；②求证：∠CDN=∠BMN；③写出PB与PQ的数量关系并证明；(2)如图2，若E为CD中点，正方形ABCD边长为2，当∠PND=135°时，请直接写出线段PC的长．题型讲练七二次根式的乘除混合运算【例7】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）如图等腰三角形ABC中，AD与BE分别是△ABC的高，已知AD=33，BC=2(1)求△ABC的面积(2)求BE的长．【变式】．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，△ACB的锐角顶点A在△ECD的斜边DE上．(1)如图1，连接BD．①请你探究AE与BD之间的关系，并证明你的结论；②求证：AE(2)如图2，若AE=3，AC=35，点F是AD的中点，求点F到线段CD题型讲练八分母有理化【例8】（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF=DE，连接AF,(1)求证：四边形ADCF是矩形；(2)若∠BAC=60°, BD=2AD=2，求点A到边【变式】（25-26八年级下·福建厦门·期中）阅读下面的折纸过程：第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形MNAB．然后把纸片展平．第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出矩形CDAB的对角线BD，并把BD折到图3中所示的ED处．第四步，展平纸片如图4，按照所得的点E折出EF，矩形BAEF就是黄金矩形．请写出黄金矩形BAEF的边长之比，即ABAE=题型讲练九最简二次根式的判断【例9】（25-26八年级下·河南信阳·月考）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．12 B．23 C．0.3 D．【变式】（25-26八年级上·福建漳州·月考）下列命题中，是真命题的是（

）A．算术平方根等于自身的数只有1B．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等C．三角形一边上的高和这边上的中线重合D．12题型讲练十化为最简二次根式【例10】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）为了改善市民的居住环境，两江新区力抓“宜居重庆”建设，修建了多个公园．如图，四边形ABCD是已建成的某个环湖公园的人行步道俯视图．经测量，点B在点A的正东方向，点D在点A的正北方向，AD=200米，点C正好在点B的东北方向，且在点D的北偏东60∘方向，CD=800米．（参考数据：2≈1.41，(1)求步道BC的长度（结果保留根号）；(2)体育爱好者小王从A跑到C有两条路线，分别是A→D→C与A→B→C．其中AD和AB都是下坡，DC和BC都是上坡．若他下坡每米消耗热量0.08千卡，上坡每米消耗热量0.1千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？【变式】（25-26八年级下·安徽池州·期中）欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何的开创者．下面问题是欧几里得证明勾股定理证法的一小片段：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、（1）连接BI、CE，若AB=6，BC=8，则BI=________．（2）过点B作BN∥AI，交AC于点M，交HI于点N，若AI=6、NI=2，则正方形BCFG的边长是________．题型讲练十一已知最简二次根式求参数【例11】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）下列说法中正确的是________．（填序号）①若5=a，则80等于6a②使12n是正整数的最小整数n是3；③0.5是最简二次根式；【变式】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图1，在平面直角坐标系中，点Aa,0，点C3,b，a满足24a是整数，且a为最小的正整数，b满足最简二次根式3b−2与18−2b是同类二次根式，平移OA至CB（点O与点C对应，点A与点B对应），连接OC、(1)求a、b的值及B点坐标；(2)点D、E分别是OA、AB边上的动点，连接DC、DE，M、N分别为DC、DE的中点，连接MN，当D、E分别在OA、AB边上运动时，MN是否存在最小值？若存在，求出MN的最小值；若不存在，请说明理由；(3)如图2，将线段CO绕点C逆时针旋转90°至CF，连接OF，P为线段OF上一点，以CP为直角边作等腰直角三角形CPQ，其中∠PCQ=90°，试猜想PO，PF，PC三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．题型讲练十二复合二次根式的化简【例12】（25-26八年级下·湖北荆州·期中）形如m±2n的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m,ab=n，使得a2+例如：7+43=7+212【变式】（25-26八年级下·福建厦门·期中）小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：5+267−43【类比归纳】(1)仿照上面的方法，若将7+210化成a+b2，其中a>b，则a=_____，(2)请你仿照上面的方法化简：6−42(3)若a+215=m+n2，其中m>n，且a，题型讲练十三同类二次根式【例13】先化简，再求值．2x+y2+x+2y2−2【变式】下列各组二次根式：①8和20；②3x和8x；③2bb和b21b；④−−27题型讲练十四二次根式的加减运算【例14】（25-26八年级下·浙江温州·期中）计算：12−13；【变式】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）我们知道a2±2ab+b2可以写成a±b2的形式，所以我们把a2±2ab+(1)下列各式中是“完全平方根式”的有_____；①1+23+3②5+(2)利用“完全平方根式”化简：7+26(3)已知A=a+43+b（a>b，且a,b为正整数），a+43+b是“完全平方根式”，当A的值最小时：①求出这个最小值；②若B=axA+题型讲练十五二次根式的混合运算【例15】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，某农家乐有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为72m，宽AB为32m，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为10+1(1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）(2)若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？【变式】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点（不与B，C重合），点B，F关于直线AE对称，BF与AE相交于点H，M为AE延长线上一点，连接FM．(1)求证：∠ABF=∠DAE；(2)连接DF，若∠HMF=45°．①求证：D，F，M三点共线；②若DF=4，判断2AB题型讲练十六已知字母的值，化简求值【例16】（25-26八年级下·北京·期中）【阅读】我们将a+b与a−b称为一对“对偶式”，因为a+2+2根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：(1)分母有理化：17(2)比较大小：17−2__________16−3．（用“>(3)已知x=16−【变式】．（25-26八年级上·四川成都·期中）阅读材料：像5+25−2=3，a⋅a=aa≥0、b+1b−1例如：123=(1)3−7与______互为有理化因式，将2(2)比大小2020−2019______2019−2018；（直接填>，<，=，(3)求式子12(4)已知m是正整数，a=m+1−mm+1+m，题型讲练十七已知条件式，化简求值【例17】（25-26八年级上·安徽六安·月考）在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题：已知a=12+3∵a=12+3=2−32+∴a2−4a=−1，∴(1)15+3(2)若11+2+(3)若a=5+12【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知a−6+b2题型讲练十八比较二次根式的大小【例18】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）我们可以用不同的方法比较二次根式的大小．例如：比较32和26方法1：我们可以用“平方法”将32和26因为322=18，262=26方法2：在方格纸中通过“构造线段法”来比较大小．如图，在方格纸中，画线段AB=32，AC=26，连接BC，可得∠ABC=90°．根据垂线段最短，可得AB<AC，即(1)比较大小：46(2)请分别用“平方法”和“构造线段法”比较5+2与13【变式】（25-26八年级上·山东济南·期末）阅读材料：像5+25−2例如2与2，3+1与3−1，3+2例如：123=解答下列问题：(1)26+1与________互为有理化因式，将(2)①比较大小：2026−2025________2025−2024（填>，<，=，②计算以下式子的值：2(3)已知整数a，b满足2a3+1−b3题型讲练十九二次根式的应用【例19】（25-26八年级下·广西百色·期中）如图，长方形空地ABCD的长BC为18m，宽AB为8m，现准备在空地中划出长FG为3+1m，宽EF为(1)求整改后长方形空地的总周长，即长方形ABCD与EFGH的周长总和（结果化为最简）；(2)求长方形花卉实验田EFGH的面积（结果化为最简）．【变式】（25-26八年级下·福建龙岩·期中）【定义理解】材料1：一个点把一条线段分为两段，如果其中较短线段与较长线段的比等于较长线段与整条线段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比，这个比值为5−1例如：如图1，CB材料2：我们把宽与长的比是5−12的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．例如：如图2，矩形ABCD的宽为AB，长为BC，如果ABBC【操作发现】下面，我们用一张矩形纸片折叠黄金矩形第一步：如图①，将矩形纸片MNPQ折叠，使得MN与MB重合，折痕为MC，展开．第二步：如图②，将纸片折叠，使得MN与BC重合，折痕为FA，展开．第三步：如图③，连接NF，再将矩形沿过点N的直线NE折叠，使得NF的对应边NG落在边NP上，展开．第四步：如图④，过点E作ED⊥NP于点D，得到矩形BCDE．【初步应用】(1)如图2，若黄金矩形ABCD的长BC=5+1，请直接写出它的宽(2)在矩形MNPQ中，MN=2．请判断图④中矩形MNDE是不是黄金矩形，并说明理由．【迁移拓展】(3)小明用一张宽为n的矩形纸片，按照【操作发现】的折纸步骤进行操作折叠黄金矩形，在探究中发现点E恰好是线段BQ的黄金分割点，请直接写出长MQ的长度___________．第四部分第四部分拓展拔高实战攻坚1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列计算中，正确的是（

）A．35−25C．22−22．（25-26八年级下·安徽·期中）已知n为整数，且满足n<12+613，则A．4 B．5 C．6 D．73．（25-26八年级下·上海金山·期中）在矩形ABCD中，AB<BC，点E在边AB上，点F在边BC上，连接DE、DF、EF．AB=a，BE=CF=b，DE=c，∠BEF=∠DFC；以下两个结论：（

）①a+b>22cA．①②都正确 B．①②都错误C．①正确，②错误 D．①错误，②正确4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若3x+2y−192+2x+y−11=0，则5．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）整数x满足0<x<60，且二次根式2x−1与5是同类二次根式，则x=______．6．（25-26八年级下·重庆·期中）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简a2−1−a7．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为对角线BD上任意一点（不与B，D重合），连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线BC于点F，以AE,EF为邻边作矩形AEFG，连接BG．给出下列四个结论：①∠EAB=∠EFC；②AE=EF；③CD−BF=22BE；④设四边形AGBE的周长为m，则88．（25-26八年级下·浙江温州·期中）计算：(1)2329．（25-26八年级下·河南三门峡·期中）按要求解题(1)已知a=10+3，b=10(2)已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：a+1210．（25-26八年级下·湖北随州·期中）已知正方形ABCD的边长为6cm，点F从点B出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点E从点D出发，向点A以1cm/s的速度移动（不与点A重合），设点E，F(1)如图①，在点E，F移动的过程中，连接CE,CF,EF，则△CEF的形状是______．(2)如图②，连接EF，设EF交BD于点M，连接AM，求证：EM=FM；(3)如图③，点G，H分别在边AB,CD上，且GH=35cm，连接EF，当EF与GH的夹角为45°时，求

第十一章二次根式【期末复习讲义】-培优版第十一章二次根式【期末复习讲义】-培优版『导图+知识梳理+19个题型讲练+真题实战练共48题』（解析版）归纳归纳题型汇总一览无余题型序列题型名称题型一求二次根式的值题型二求二次根式中的参数题型三二次根式有意义的条件题型四利用二次根式的性质化简题型五二次根式的乘法题型六二次根式的除法题型七二次根式的乘除混合运算题型八分母有理化题型九最简二次根式的判断题型十化为最简二次根式题型十一已知最简二次根式求参数题型十二复合二次根式的化简题型十三同类二次根式题型十四二次根式的加减运算题型十五二次根式的混合运算题型十六已知字母的值，化简求值题型十七已知条件式，化简求值题型十八比较二次根式的大小题型十九二次根式的应用第一部分第一部分框架速览体系搭建第二部分第二部分知识梳理核心归纳知识点一二次根式的相关概念和性质1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如3,1【易错点拨】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质（1）a≥0 (a≥0)；

（2）a2=a(a≥0)；

（3）【易错点拨】（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即=(a)2（），如2=(2)2（2）a2中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，a2一定有意义.（3）化简a2时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）a2与(不同点：a2中可以取任何实数，而(a)2a2=，(a)2=a相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，a2=(a3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2）被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如2,【易错点拨】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.【易错点拨】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如2与38，由于38=22，2知识点二二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法a积的算术平方根化简公式：ab二次根式的除法a商的算术平方根化简公式：a【易错点拨】（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如ab被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(−4)×(−9)≠2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.【易错点拨】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如2+3第三部分第三部分精讲变式融会贯通题型讲练一求二次根式的值【例1】（2026·山西太原·一模）阅读与思考下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务．构造和差对偶式解决复杂代数问题对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如ax+by和ax−by的和差对偶形式．具体探究如下：探究：例题：已知a+b=10，求a2解：我们从a+b=10这个式子的结构出发，构造a=5+m, b=5−m（a==25+10m+=25+10m+=108．应用：……任务：(1)材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________．A．分类讨论思想

B．转化思想

C．数形结合思想(2)已知a+b=−8，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求a2(3)已知a+b=4【答案】(1)B(2)86(3)17【思路引导】（1）根据转化思想解答即可；（2）仿照材料中的例题解答过程解答即可；（3）仿照材料中的例题解答过程解答即可．【完整解答】（1）解：材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是转化思想；（2）解：我们从a+b=−8这个式子的结构出发，构造a=−4+m, b=−4−m（a==16−8m+=16−8m+=86；（3）解：我们从a+b=4这个式子的结构出发，构造aa−b+8==4+4m+=4+4m+=17．【变式】下列各式是二次根式的有（

）（1）21；（2）−19；（3）x2+1；（4）3A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【思路引导】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如a(a≥0)【完整解答】解：二次根式有（1）21，（3）x2故选：C．题型讲练二求二次根式中的参数【例2】（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）已知18−n是整数，则正整数n的最大值为____．【答案】18【思路引导】根据二次根式有意义的条件可得被开方数非负，结合18−n是正整数，可知18−n为正的完全平方数，要得到正整数n的最大值，只需要让18−n取最小的正完全平方数即可求解．【完整解答】解：∵18−n是整数，∴18−n≥0，18−n是整数，解得n≤18，∴18−n是完全平方数，要使正整数n的值最大，需使18−n取最小的完全平方数，即18−n=0，解得n=18．【变式】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若m满足关系式3x+5y−2−m+2x+3y−m=1−x−y⋅【答案】3【思路引导】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得1−x−y=x−1+y=0，即得x+y=1，3x+5y−2−m+2x+3y−m=0，再根据二次根式的非负性得3x+5y−2−m=0，2x+3y−m=0，即得x+2y=2，再解方程组x+y=1【完整解答】解：由题意得，1−x−y≥0，x−1+y≥0，∴1−x−y=x−1+y=0，∴x+y=1，3x+5y−2−m+∴3x+5y−2−m=0，2x+3y−m=0，∴x+2y=2，由x+y=1x+2y=2，解得x=0∴0+3×1−m=0，∴m=3，故答案为：3．题型讲练三二次根式有意义的条件【例3】（2026八年级下·广东江门·专题练习）我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、【解决问题】(1)已知10是“完美数”，请将它写成a2+b2（(2)已知S=x2+9y2+4x−12y+k（x、y是整数，【探究问题】(3)已知a2+6ab+10b(4)已知实数x、y满足−x2+【实际应用】(5)已知△ABC的三边长a、b、c满足a+b−2a−1−4b−2【答案】(1)3(2)k=8，理由见解析(3)4(4)当x=2时，5x−3y的最大值为6，无最小值；(5)14【思路引导】（1）根据“完美数”的定义即可求解；（2）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解；（3）利用配方法和非负数的性质即可求解；（4）利用配方法和非负数的性质即可求解；（5）利用配方法和非负数的性质即可求解．【完整解答】（1）解：∵10是“完美数”∴10=3（2）解：k=8，理由如下：∵S===要使S为“完美数”，∴k−8=0，即k=8；（3）解：∵a2∴a2∴a+3b2∴a+3b=0，b+1=0，解得b=−1，a=3，则a−b=4．（4）解：∵−x∴−y=−x∴−3y=−3x∴5x−3y=5x−3x无论x取何值，−3(x−2)∴当x=2时，5x−3y的最大值为6，无最小值；（5）解：∵a+b−2a−1∴a−2∴a−1−2∴a−1∴a−1∴a−1−1∵a−1−12≥0，b−2∴a−1−1=0，b−2−2=0∴a=2，b=6，c=6，∴a+b+c=14，即△ABC的周长为14．【变式】（25-26八年级下·湖北武汉·月考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A,D两点坐标分别为A(0,a),D(b,b)，且a−b=5−b(1)求A,D两点坐标；(2)点B,C是x轴上两动点（B在C左侧），且使四边形ABCD为平行四边形．①如图，当点B,C分别在原点两侧时，连接DO，过点O作OG⊥DO交AB于点G，连接DG，取DG中点H，在DO上截取DE，使DE=GO，若DE=2，求AH②当点B在原点左侧时，过点O的直线MN⊥AB，分别交AB,CD于M,N,试探究OM,BM,CN三条线段之间的数量关系．【答案】(1)A(2)①22；②OM=BM+CN或【思路引导】（1）根据二次根式有意义的条件得到不等式组，求出b=5，进而得到a=5，即可得出A、D两点坐标；（2）①连接EG，延长AH交CD于点T，根据平行四边形的性质，证明△AGH≌△TDHAAS，得到AG=DT，AH=TH，再根据等腰直角三角形的性质，证明△AOG≌△ADESAS，AE=AG，∠OAG=∠DAE，从而推出△AGE是等腰直角三角形，然后证明△OAE≌△ADTSAS②分两种情况讨论：当点C在原点右侧时，过点N作NE∥BC交AB延长线于点E，先证明四边形BCNE是平行四边形，得到BE=CN，BC=EN，再证明△AOM≌△NEMAAS，得到OM=EM，即可得出数量关系；当点C在原点左侧时，过点N作NF∥BC【完整解答】（1）解：∵a−b=5−b∴5−b≥03b−15≥0，解得：∴a−5=0，∴a=5，∴A0,5（2）解：①如图，连接EG，延长AH交CD于点T，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵OA⊥BC，∴OA⊥AD，∵AB∥∴∠AGH=∠TDH，∠GAH=∠DTH，∵H是DG中点，∴DH=GH，在△AGH和△TDH中，∠AGH=∠TDH∠GAH=∠DTH∴△AGH≌△TDHAAS∴AG=DT，AH=TH，∵A0,5∴OA=AD=5，∴△AOD是等腰直角三角形，OD=∴∠ADO=∠AOD=45°，∵DE=∴OE=OD−DE=42∵OG⊥DO，∴∠DOG=90°，∴∠AOG=45°=ADE，在△AOG和△ADE中，OA=AD∠AOG=∠ADE∴△AOG≌△ADESAS∴AE=AG，∠OAG=∠DAE，∴AE=DT，∠GAE=∠OAG+∠OAE=∠DAE+∠OAE=90°，∴△AGE是等腰直角三角形，∴EG=2∵∠OAB+∠ABO=90°∴∠ABO=∠OAE，∴∠OAE=∠ADC，在△OAE和△ADT中，OA=AD∠OAE=∠ADT∴△OAE≌△ADTSAS∴OE=AT=2AH，∴AH=②当点C在原点右侧时，过点N作NE∥BC交AB延长线于点∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD∵NE∥∴四边形BCNE是平行四边形，∴BE=CN，BC=EN，∴EN=AD=OA，∵MN⊥AB，∴∠AMO=∠NME=90°，∴∠MAO+∠AOM=90°，∵∠MAO+∠AEN=90°，∴∠AOM=∠AEN，在△AOM和△NEM中，∠AOM=∠NEM∠AMO=∠NME∴△AOM≌△NEMAAS∴OM=EM，∵EM=BM+BE，∴OM=BM+CN；当点C在原点左侧时，过点N作NF∥BC交AB于点同理可证，四边形BCNF是平行四边形，△AOM≌△NFMAAS∴OM=FM，BF=CN，∵BM=FM+BF，∴BM=OM+CN，即∴OM=BM−CN，综上可知，OM、BM、CN三条线段之间的数量关系为OM=BM+CN或OM=BM−CN．题型讲练四利用二次根式的性质化简【例4】（25-26八年级下·重庆开州·期中）先化简，再求值：m+12−mm+2【答案】m+2m+1；3+【思路引导】先计算整式的乘法及分式的混合运算，再将m=3【完整解答】解：原式==1+=1+=m+2当m=3原式=3【变式】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）【问题情境】定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”．(1)【数学思考】如图1，在▱ABCD中，若AB=BC=10，AC=2，试判断▱ABCD(2)【深入探究】如图2，▱ABCD为“倍线平行四边形”（BD>AC），点E是BC上的动点，连接AE交BD于点F．①若E是BC的中点，AC⊥AB，AB=22，求AE②过点A作AG⊥AE交BD于点G，若OG=OA，求证：E是BC的中点．【答案】(1)▱ABCD是“倍线平行四边形”，理由见解析(2)①3；②见解析【思路引导】（1）由已知可得▱ABCD为菱形，又AC=2，故AO=1，由勾股定理可得BO=3，故BD=6，即BD=3AC，故▱ABCD为“倍线平行四边形”；（2）①由▱ABCD为“倍线平行四边形”可知BD=3AC，BO=3AO，设AO=x，则BO=3x勾股定理求得x=1，进而勾股定理求得BE，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出AE；②过点B作BH⊥AE交AE的延长线于点H，证明四边形AFCG是平行四边形，得出AG∥FC,AG=FC，进而证明△GFA≌△BFH，△BEH≌△CEF，即可得出【完整解答】（1）解：▱ABCD是“倍线平行四边形”．理由如下：在▱ABCD中，AO=CO=12AC=1∵AB=BC=10∴BO⊥AC，∴∠AOB=90°，∴BO=10∴BD=6，∴BD=3AC，∴▱ABCD是“倍线平行四边形”．（2）解：①∵▱ABCD是“倍线平行四边形”，∴BD=3AC，BO=OD,AO=OC，∴BO=3AO．设AO=x，则BO=3x．∵AC⊥AB，AB=22∴2∴x=1（舍负），∴AC=2，∴BC=2∵E是BC的中点，且∠BAC=90°，∴AE=1②如图，过点B作BH⊥AE交AE的延长线于点H，连接CG,CF．∵OG=OA，∴∠OAG=∠OGA．∵AG⊥AE，∴∠OAG+∠OAF=90°，∠OFA+∠OGA=90°，∴∠OFA=∠OAF，∴OA=OF，∴OG=OA=OF=OC，∴四边形AFCG是平行四边形，∴AG∥∵OB=3OA，设OG=OA=OF=OC=m，则OB=3m，FG=2m，∴FB=OB−OF=2m，∴FG=FB．∵AG⊥AE，BH⊥AE∴∠FAG=∠H=90°，∴AG∥又∵∠OFA=∠BFH，∴△GFA≌△BFHAAS∴AG=BH，∴AG=FC=BH，∵AG∥FC，∴FC∥∴∠HBE=∠FCE，∠H=∠CFE，∴△BEH≌△CEFAAS∴BE=CE，∴E是BC的中点．题型讲练五二次根式的乘法【例5】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答下列问题：第1个等式：1+1第2个等式：2+1第3个等式：3+1第4个等式：4+1(1)直接写出第7个等式：______；(2)根据上述规律，请用含n的式子表示第n个等式（n为正整数），并证明等式成立；【答案】(1)7+(2)n+1【思路引导】（1）根据已有式子找出规律即可；（2）结合（1）中的规律，并验证即可．【完整解答】（1）解：已知第1个等式：1+1第2个等式：2+1第3个等式：3+1第4个等式：4+1故第7个等式：7+1（2）解：第n个等式（n为正整数）为：n+1证明：左式=n∵n为正整数，∴n+1>0，∴n+1∴左式=n+1即n+1【变式】将两个等腰三角形顶点重合叠放，∠BAC=∠DAE=120°，AB=AC，(1)【探究发现】如图1，如图叠放，连接BD和CE，试证明：△ABD≌△ACE．(2)【性质应用】如图2，叠放后若点D恰好落在BC上，连接EB和EC，EB=7①证明：ED⊥BC．②若延长BA交CE于点P，求EP的长度．(3)【联想拓展】如图3，在△BCD中放置等腰三角形DAC，∠DAC=120°，AD=AC，若∠ABC=60°，AB=1，BC=3【答案】(1)见解析(2)①见解析；②1(3)6【思路引导】（1）先证明∠BAD=∠CAE，再利用SAS即可证明△ABD≌△ACE；（2）①由全等三角形的性质得到BD=EC=2，则可证明EC2+ED2=EB2，得到∠BDE=90°，即ED⊥BC；②由勾股定理求出CD的长，可证明（3）作∠BAW=120°，且使得AW=AB，连接BW，CW，可证明∠CBW=90°；证明△BAD≌△WAC，得到BD=WC；过点A作AG⊥BW于点G，则BW=2BG，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质可求出BG的长，进而得到BW的长，再利用勾股定理求出【完整解答】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，∴△ABD≌△ACESAS（2）解：①由（1）得△ABD≌△ACE，∴BD=EC=2，∵EB=7∴EC∴EC∴△BDE是直角三角形，且∠BDE=90°，∴ED⊥BC；②∵ED⊥BC，∴∠EDC=90°，∴CD=E∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=30°；∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE=∠ABD=30°，∴∠BCP=∠ACB+∠ACE=60°，∴∠BPC=180°−∠ABC−∠BCP=90°，∴CP=1∴EP=EC−CP=1（3）解：如图所示，作∠BAW=120°，且使得AW=AB，连接BW，∴∠AWB=∠ABW=30°，∵∠ABC=60°，∴∠CBW=∠ABW+∠ABC=90°；∵∠BAW=120°=∠CAD，∴∠BAW+∠DAW=∠CAD+∠DAW，∴∠BAD=∠WAC，又∵AB=AW，∴△BAD≌△WAC，∴BD=WC；如图所示，过点A作AG⊥BW于点G，则BW=2BG，在Rt△ABG中，∠AGB=90°∴AG=1∴BG=A∴BW=3∴WC=B∴BD=6题型讲练六二次根式的除法【例6】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图；(1)在图①中以已知线段为对角线画一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上，该矩形的面积为______．(2)在图②中以已知线段为对角线画一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上，该菱形的周长为_____．(3)在图③中画一个周长为45(4)在图④中画一个面积为8的正方形．【答案】(1)图见解析，8(2)图见解析，4(3)图见解析(4)图见解析【思路引导】（1）根据矩形的定义，结合网格特点作图，然后求出矩形的面积；（2）根据菱形的定义，结合网格特点作图，然后根据勾股定理求出边长，然后得出周长；（3）先求出这个菱形的边长为5，再根据勾股定理、网格特点作图即可得；（4）先求出这个正方形的边长为22【完整解答】（1）解：如图①，矩形ABCD即为所求．∴该矩形的面积为AB⋅CD=2×4=8；（2）解：如图②，菱形ABCD即为所求．∴AB=BC=CD=AD=∴该菱形的周长为AB+BC+CD+AD=410（3）解：∵菱形的周长为45∴菱形的边长为45∵AD=AB=BC=CD=1∴如图③，菱形ABCD即为所求．（4）解：∵正方形的面积为8∴正方形的边长为8=2∵AD=AB=BC=CD=∴如图④，正方形ABCD即为所求．【变式】（25-26八年级下·北京·期中）如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，点P为线段BE上一动点（不与B，E重合），连接PC，过P作PN⊥PC且PN=PC（点N在点P上方），连接DN．(1)当点E，点P在如图1所示的位置时，作NM⊥ND，交直线BC于M，交直线BE于Q．①在图1中补全图形；②求证：∠CDN=∠BMN；③写出PB与PQ的数量关系并证明；(2)如图2，若E为CD中点，正方形ABCD边长为2，当∠PND=135°时，请直接写出线段PC的长．【答案】(1)①见解析；②见解析；③PB=PQ，证明见解析(2)2【思路引导】（1）①根据题意画图即可；②由四边形ABCD是正方形，NM⊥ND，结合四边形内角和360°，可得∠CDN+∠NMC=180°，再由∠BMN+∠NMC=180°，即可证明结论；③将PB绕点P逆时针旋转90°到PF，连接BF，CF，NF，设NF与PC交于点G，与BC交于点H，可证明△NPF≌△CPB，可得∠PNF=∠PCB，NF=CB，∠PFN=∠PBC，再可证明四边形CDNF是平行四边形，最后证明△NQP≌△CFP，即可证明PB=PQ；（2）连接NE，设CN与BE交于点O，则可证明PE垂直平分CN，利用等面积法可求得OC的长，即可得CN的长，即可求得PC的长．【完整解答】（1）解：①补全图形如图：②证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∵NM⊥ND，∴∠MND=90°，∵∠MND+∠CDN+∠MCD+∠NMC=360°，∴∠CDN+∠NMC=360°−∠MND−∠MCD=180°，∵∠BMN+∠NMC=180°，∴∠CDN=∠BMN．③PB=PQ．证明：如图，将PB绕点P逆时针旋转90°到PF，连接BF，CF，NF，设NF与PC交于点G，与BC交于点H，则∠BPF=∠FPE=90°，PF=PB，∵PN⊥PC，∴∠NPC=90°，∴∠NPC=∠BPF，∴∠NPC+∠FPC=∠BPF+∠FPC，∴∠NPF=∠CPB，在△NPF和△CPB中NP=CP∠NPF=∠CPB∴△NPF≌△CPBSAS∴∠PNF=∠PCB，NF=CB，∠PFN=∠PBC，∵∠NGP=∠CGH，∴180°−∠HGC−∠PCB=180°−∠NGP−∠PNF，∴∠GHC=∠NPG=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，DC=CB，∴NF∥CD，NF=DC，∴四边形CDNF是平行四边形，∴∠NFC=∠CDN，由②可知，∠CDN=∠BMN，∴∠NFC=∠BMN，∴∠NQP=∠PBC+∠BMN=∠PFN+∠NFC=∠CFP，∵∠FPE=∠NPC=90°，∴∠FPE−∠CPE=∠NPC−∠CPE，∴∠FPC=∠QPN，在△NQP和△CFP中，∠QPN=∠FPC∠NQP=∠CFP∴△NQP≌△CFPAAS∴PQ=PF，∵PF=PB，∴PQ=PB．（2）解：如图，连接NE，设CN与BE交于点O，∵PN⊥PC，PN=PC，∴∠PNC=45°，∵∠PND=135°，∴∠CND=∠PND−∠PNC=90°，∵E为CD中点，∴NE=1∴PE垂直平分CN，∴ON=OC=12CN∵正方形ABCD边长为2，∴∠BCD=90°，BC=CD=2，∵E为CD中点，∴CE=1在Rt△BCE中，BE=∵S△BCE∴OC=BC⋅CE∴CN=2OC=2×2在Rt△PNC中，P∴PC=2题型讲练七二次根式的乘除混合运算【例7】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）如图等腰三角形ABC中，AD与BE分别是△ABC的高，已知AD=33，BC=2(1)求△ABC的面积(2)求BE的长．【答案】(1)3(2)3【思路引导】本题考查了等腰三角形的“三线合一”性质以及勾股定理，关键是结合等腰三角形的性质确定线段长度，再通过面积的不同表示方法求解．（1）运用三角形面积公式，以BC为底边、AD为对应高，代入已知的边长和高的数值，通过二次根式的乘法运算即可求出三角形的面积；（2）结合等腰三角形“三线合一”的性质，先确定D是BC的中点，从而得到DC的长度，再在直角三角形ADC中，用勾股定理算出腰AC的长度；之后利用三角形面积相等建立方程，解出BE的长度．【完整解答】（1）解：∵AD是△ABC的高，BC=25，AD=3∴△ABC的面积S=1（2）解：∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，∴D是BC的中点，DC=1在Rt△ADC中，由勾股定理得AC=又∵BE是△ABC的高，面积S=1∴315=1【变式】．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，△ACB的锐角顶点A在△ECD的斜边DE上．(1)如图1，连接BD．①请你探究AE与BD之间的关系，并证明你的结论；②求证：AE(2)如图2，若AE=3，AC=35，点F是AD的中点，求点F到线段CD【答案】(1)①AE=BD，AE⊥BD，证明见解析；②证明见解析(2)F点到CD边的距离为9【思路引导】（1）①根据题意证明△ECA≌△DCBSAS，得AE=BD，∠CEA=∠CDB，由等腰直角三角形的性质得到∠CEA=∠CDE=∠CDB=45°，则∠ADB=∠CDB+∠EDC=90°②由等腰直角三角形，勾股定理得到AB2=2AC2（2）过点C作CH⊥DE于H，根据等腰直角三角形的性质，结合（1）中的②得到AD=9，则DE=AE+AD=12，AF=DF=9【完整解答】（1）解：①AE=BD，AE⊥BD，证明：∵△ACB、△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ECA+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°，∴∠ECA=∠DCB，在△ECA和△DCB中，CE=CD∠ECA=∠DCB∴△ECA≌△DCBSAS∴AE=BD，∠CEA=∠CDB，∵△ECD是等腰直角三角形，∠ECD=90°，∴∠CEA=∠CDE=∠CDB=45°，∴∠ADB=∠CDB+∠EDC=90°，∴AE⊥BD；即AE=BD，AE⊥BD．②证明：∵△ACB是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，AB∵△ADB是直角三角形，∠ADB=90°，∴AD∵AE=BD，∴AD∴AE（2）解：过点C作CH⊥DE于H，∵由②知AB2=AC∴AE∵AE=3，AC=35∴AD=9，∴DE=AE+AD=12，∵点F是AD的中点，∴AF=DF=9∵△ECD是等腰直角三角形，CH⊥DE，DE=12，∴CH=DH=EH=12DE=6∵S△CDF=∴h=924，即F点到CD【考点剖析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等面积法求三角形的高等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键．题型讲练八分母有理化【例8】（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF=DE，连接AF,(1)求证：四边形ADCF是矩形；(2)若∠BAC=60°, BD=2AD=2，求点A到边【答案】(1)见解析(2)3【思路引导】（1）先证明四边形ADCF是平行四边形，可得AD∥CF，再由∠ADC=∠DCF，可得∠ADC=∠DCF=90°，即可证明结论；（2）过点A作AM⊥BC于点M，利用矩形的性质可得EA=ED=EC=EF，∠ADC=90°，由∠BAC=60°可得△EDA是等边三角形，则可得AC=2AD=2，AD=1，再可求得CD，BC，然后利用三角形的面积求出AM的长即可．【完整解答】（1）证明：∵E是边AC的中点，∴AE=CE，∵EF=DE，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AD∥CF，∴∠ADC+∠DCF=180°，∵∠ADC=∠DCF，∴∠ADC=∠DCF=90°，∴四边形ADCF是矩形．（2）解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，由（1）可知，四边形ADCF是矩形，∴EA=ED=EC=EF，∠ADC=90°，∵∠BAC=60°，∴△EDA是等边三角形，∴EA=ED=AD，∴AC=2EA=2AD，∵BD=2AD=2，∴AC=2AD=2，AD=1，∴AB=AD+BD=3，CD=A∵∠ADC=90°，∴∠BDC=180°−∠ADC=90°，∴BC=B∵S△ABC∴AM=AB⋅CDBC=3×37=【变式】（25-26八年级下·福建厦门·期中）阅读下面的折纸过程：第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形MNAB．然后把纸片展平．第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出矩形CDAB的对角线BD，并把BD折到图3中所示的ED处．第四步，展平纸片如图4，按照所得的点E折出EF，矩形BAEF就是黄金矩形．请写出黄金矩形BAEF的边长之比，即ABAE=【答案】5【思路引导】设正方形MNAB的边长为2a，根据折叠性质得出AD的长，在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD的长，由折叠性质得DE=BD，进而求出AE【完整解答】解：设正方形MNAB的边长为2a，则AB=AN=2a由第二步折叠可知，D为AN的中点∴AD=1在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=由第三步折叠可知，DE=BD=5∴AE=DE−AD=∴AB题型讲练九最简二次根式的判断【例9】（25-26八年级下·河南信阳·月考）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．12 B．23 C．0.3 D．【答案】D【完整解答】解：A．12=4×3B．23=C．0.3=D．7是最简二次根式．．【变式】（25-26八年级上·福建漳州·月考）下列命题中，是真命题的是（

）A．算术平方根等于自身的数只有1B．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等C．三角形一边上的高和这边上的中线重合D．12【答案】B【思路引导】本题考查判断命题真假，涉及算术平方根，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，最简二次根式，掌握知识点是解题的关键．根据算术平方根的概念，全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，最简二次根式的概念逐一判断选项即可【完整解答】解：A、算术平方根等于自身的数为1和0，故原命题为假命题；B、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故原命题为真命题；C、只有等腰三角形底边上的高和中线才重合，一般三角形不一定，故原命题为假命题；D、12故选B．题型讲练十化为最简二次根式【例10】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）为了改善市民的居住环境，两江新区力抓“宜居重庆”建设，修建了多个公园．如图，四边形ABCD是已建成的某个环湖公园的人行步道俯视图．经测量，点B在点A的正东方向，点D在点A的正北方向，AD=200米，点C正好在点B的东北方向，且在点D的北偏东60∘方向，CD=800米．（参考数据：2≈1.41，(1)求步道BC的长度（结果保留根号）；(2)体育爱好者小王从A跑到C有两条路线，分别是A→D→C与A→B→C．其中AD和AB都是下坡，DC和BC都是上坡．若他下坡每米消耗热量0.08千卡，上坡每米消耗热量0.1千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？【答案】(1)6002(2)选A→D→C这条路线时，消耗的热量更多【思路引导】（1）过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点B作BF⊥CE于点F，求出∠DCE=30°，则可得到DE的长，进而求出AE的长，证明四边形ABFE是矩形，得到BF=AE米；证明△CBF是等腰直角三角形，得到CF=BF，据此利用勾股定理求解即可；（2）利用勾股定理求出CE的长，进而求出AB的长，再分别计算出两条路线消耗的热量，比较即可得到答案．【完整解答】（1）解：如图所示，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点B作BF⊥CE于点F，∴∠AEC=∠BFC=∠BFE=90°，由题意得，∠CDE=60°，∴∠DCE=90°−60°=30°，∴DE=1∴AE=AD+DE=600米，∵∠AEC=∠BFE=∠A=90°，∴四边形ABFE是矩形，∴BF=AE=600米；∵点C正好在点B的东北方向，∴∠CBF=45°，∴△CBF是等腰直角三角形，∴CF=BF=600米，∴BC=B答：步道BC的长度为6002（2）解：在Rt△CDE中，由勾股定理得CE=∴AB=EF=CE−CF=400A→D→C这条路线消耗的热量为0.08×200+0.1×800=96千卡，A→B→C这条路线消耗的热量为0.08×≈0.08×=91.96千卡，∵96>91.96，∴选A→D→C这条路线时，消耗的热量更多．【变式】（25-26八年级下·安徽池州·期中）欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何的开创者．下面问题是欧几里得证明勾股定理证法的一小片段：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、（1）连接BI、CE，若AB=6，BC=8，则BI=________．（2）过点B作BN∥AI，交AC于点M，交HI于点N，若AI=6、NI=2，则正方形BCFG的边长是________．【答案】258【思路引导】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及矩形的判定与性质．（1）证明△AEC≌△ABI即可作答；（2）先证明AMNI是矩形，可得AM、CM长度，再在Rt△ABM、Rt△MBC、Rt△ABC【完整解答】（1）解∵正方形ABDE、BCFG、ACHI，∴AE=AB，AC=AI，∠EAB=∠CAI=90°，∴∠EAB+∠BAC=∠CAI+∠BAC，即∠EAC=∠BAI，∵AE=AB∠EAC=∠BAI∴△AEC≌△ABISAS∴EC=BI，∵正方形ABDE、BCFG、ACHI，∴DE=DB=AB=6，∠EDC=90°，∴EC=D∴EC=BI=258（2）解∵在正方形ACHI中，BN∥AI，∴∠AMN=180°−∠MAI=90°，AI=AC=6，∴四边形AMNI是矩形，∴AM=NI=2，AI=MN=6，即CM=AC−AM=4，∵Rt△ABM中，AB2=AM又∵Rt△ABC中，A∴36=4+BM2+B∴BC=B则正方形BCFG的边长是26题型讲练十一已知最简二次根式求参数【例11】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）下列说法中正确的是________．（填序号）①若5=a，则80等于6a②使12n是正整数的最小整数n是3；③0.5是最简二次根式；【答案】②【思路引导】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二次根式的运算是解题的关键．利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案．【完整解答】解：①∵5=a，∴80②12n=4×3n=23n，要使23n为正整数，则3n需为整数，即3n为完全平方数，最小整数n=3③0.5=12故答案为：②．【变式】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图1，在平面直角坐标系中，点Aa,0，点C3,b，a满足24a是整数，且a为最小的正整数，b满足最简二次根式3b−2与18−2b是同类二次根式，平移OA至CB（点O与点C对应，点A与点B对应），连接OC、(1)求a、b的值及B点坐标；(2)点D、E分别是OA、AB边上的动点，连接DC、DE，M、N分别为DC、DE的中点，连接MN，当D、E分别在OA、AB边上运动时，MN是否存在最小值？若存在，求出MN的最小值；若不存在，请说明理由；(3)如图2，将线段CO绕点C逆时针旋转90°至CF，连接OF，P为线段OF上一点，以CP为直角边作等腰直角三角形CPQ，其中∠PCQ=90°，试猜想PO，PF，PC三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)6，4，B(2)存在，MN的最小值为12(3)PO【思路引导】（1）先根据二次根式的性质求出a，b，进而得出点A，C坐标，最后用平移的性质求出点B的坐标；（2）先判断出MN=12CE，判断出CE⊥AB时，MN（3）连接FQ，先判断出△COP≌△CFQ，得出OP=FQ，进而判断出∠PFQ=90°，最后用勾股定理，即可得出结论．【完整解答】（1）解：24a=∵a满足24a是整数，且a为最小的正整数，b满足最简二次根式3b−2与18−2b是同类二次根式，∴3b−2=18−2b∴a=6，b=4，∴A6,0，C由平移得，B6+3,4∴B9,4（2）解：如图，连接CE，过点C作CH⊥OA，∵M，N分别为DC，DE的中点，∴MN是△CDE的中位线，∴MN=1则MN最小，即CE最小，由（1）知，A6,0，B∴OA=6，AB=6−9∵C3,4∴CH=4，当CE⊥AB时，CE有最小，由平移可得，OA=BC，且OA平行于BC，∴四边形OABC是平行四边形，∴S∴CE即MN的最小值为125（3）解：PO理由：如图2，连接FQ，∵△PCQ是等腰直角三角形，∴CP=CQ，∠PCQ=90°，由旋转知，CO=CF，∠OCF=90°，∴∠OCF=∠PCQ，∴∠OCP=∠FCQ，∴△OCP≌△FCQSAS∴OP=FQ，∠COF=∠CFQ，∵CO=CF，∠OCF=90°，∴∠COF=∠OFC=45°，∴∠CFQ=45°，∴∠OFQ=∠OFC+∠CFQ=90°，根据勾股定理得，FQ∴PO题型讲练十二复合二次根式的化简【例12】（25-26八年级下·湖北荆州·期中）形如m±2n的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m,ab=n，使得a2+例如：7+43=7+212【答案】10−3【思路引导】把13−230化为10【完整解答】解：13−230【变式】（25-26八年级下·福建厦门·期中）小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：5+267−43【类比归纳】(1)仿照上面的方法，若将7+210化成a+b2，其中a>b，则a=_____，(2)请你仿照上面的方法化简：6−42(3)若a+215=m+n2，其中m>n，且a，【答案】(1)5，2(2)2−(3)16或32【思路引导】（1）根据题意，得5×（2）根据所学方法求解即可；（3）利用完全平方公式，等式的性质求解即可．【完整解答】（1）解：根据题意，得7+210且a>b，故a=5，b=（2）解：根据题意，得6−42故6−42（3）解：∵15∴a+215或a+215∴a=8,m=5,n=3或a=16,m=15,n=1，故a+m+n=8+5+3=16或a+m+n=16+15+1=32．题型讲练十三同类二次根式【例13】先化简，再求值．2x+y2+x+2y2−2【答案】x−y2；【思路引导】利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可．【完整解答】2x+y===x−y当x=2+1，原式=====4．【变式】下列各组二次根式：①8和20；②3x和8x；③2bb和b21b；④−−27【答案】③④【思路引导】先将各组二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断，同类二次根式指化简为最简二次根式后被开方数相同的二次根式．【完整解答】解：①化简得：8=22，②化简得：3x为最简二次根式，8x=2③化简得：2bb为最简二次根式，b21④由二次根式有意义可知−27x3≥0化简得：−−27−x3=−3x故化简后其中是同类二次根式的是③④．题型讲练十四二次根式的加减运算【例14】（25-26八年级下·浙江温州·期中）计算：(1)12−(2)48÷【答案】(1)5(2)4−【思路引导】（1）直接化简二次根式进而计算得出答案；（2）直接利用二次根式的乘法、除法运算法则求出答案．【完整解答】（1）解：12=2=5（2）解：48===4−6【变式】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）我们知道a2±2ab+b2可以写成a±b2的形式，所以我们把a2±2ab+(1)下列各式中是“完全平方根式”的有_____；①1+23+3②5+(2)利用“完全平方根式”化简：7+26(3)已知A=a+43+b（a>b，且a,b为正整数），a+43+b是“完全平方根式”，当A的值最小时：①求出这个最小值；②若B=axA+【答案】(1)①③(2)2(3)①2+3；②37【思路引导】（1）根据新定义进行判断即可；（2）根据新定义结合二次根式的性质进行化简即可；（3）①根据新定义推出ab=12，进而推出a=12,b=1或a=6,b=2或a=4,b=3，进而得到当a+b的值最小时，A有最小值，即可得出结果；②将B转化为B=2x2+3+3y2−【完整解答】（1）解：1+235+106−46故满足要求的是①③；（2）解：原式=====22（3）解：①A=∵a+43∴ab=12，又∵a>b，且a,b为正整数∴a=12,b=1或a=6,b=2或a=4,b=3，∵当a+b的值最小时，A有最小值，∴a=4,b=3，∴A=4+2②∴B=2x∵x,y为正整数，B是整数，∴y−x=0，即x=y，∴B=4x+3y∵A∴14<A∴B≤14，当x=y=7时，B=7，原式=7+7+49当x=y=28时，B=14，原式=28+28+题型讲练十五二次根式的混合运算【例15】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，某农家乐有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为72m，宽AB为32m，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为10+1(1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）(2)若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？【答案】(1)20(2)4680元【思路引导】（1）根据题意利用长方形周长公式列式计算即可；（2）先计算出种植蔬菜部分的面积，再求出销售收入即可．【完整解答】（1）解：由题意得，长方形空地ABCD的周长为2×∴长方形空地ABCD的周长为202（2）解：由题意得，蔬菜地的面积为72×∴销售收入=39×15×8=4680（元），∴销售收入为4680元．【变式】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点（不与B，C重合），点B，F关于直线AE对称，BF与AE相交于点H，M为AE延长线上一点，连接FM．(1)求证：∠ABF=∠DAE；(2)连接DF，若∠HMF=45°．①求证：D，F，M三点共线；②若DF=4，判断2AB【答案】(1)见解析(2)①见解析；②是，8【思路引导】（1）证明∠BAD=∠BHE=90°即可得出结论；（2）①证明∠BFD=135°，∠HFM=45°，可得∠HFM+∠BFD=180°，从而可得结论；②作DK⊥AM于K，根据AAS证明△ABH≌△DAK，得出BH=AK，BH=FH=AK，设BH=FH=AK=x，求出FM=2x，求出DM=4+2x，DK=22【完整解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，得∠BAE+∠DAE=90°，

∵点B，F关于直线AE对称，∴AH⊥BH，

∴∠BHE=90°，得∠ABF+∠BAE=90°，

∴∠ABF=∠DAE；（2）①连接AF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD,∠BAD=90°，

∵点B，F关于直线AE对称，∴AB=AF,∠MHF=90°，∴AB=AD=AF，∴∠ABF=∠AFB,∠AFD=∠ADF，∴∠BFD=∠AFB+∠AFD=12∵∠HMF=45°，∴∠HFM=90°−45°=45°，∴∠HFM+∠BFD=45°+135°=180°，∴D，F，M三点共线；

②解：作DK⊥AM于K．∴∠AKD=90°．∵点B，F关于直线AE对称，∴BH=FH,∠MHF=∠AHB=90°由（1）得∠ABF=∠DAE∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∴△ABH≌△DAKAAS∴BH=AK，∴BH=FH=AK，设BH=FH=AK=x，

由①得∠HMF=∠HFM=45°，∴FH=HM=x，则FM=2∴DM=4+2∴DK=MK=22∴AM=AK+MK=22∴AM∴AB∴2AB题型讲练十六已知字母的值，化简求值【例16】（25-26八年级下·北京·期中）【阅读】我们将a+b与a−b称为一对“对偶式”，因为a+2+2根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：(1)分母有理化：17(2)比较大小：17−2__________16−3．（用“>(3)已知x=16−【答案】(1)7(2)>(3)2【思路引导】（1）运用提供的方法进行分母有理化即可求解；（2）先对16（3）先对x，y进行分母有理化，再计算xy，x+y的值，再对所要求的式子分解因式，代入即可求解．【完整解答】（1）解：17（2）解：16由（1）可知17∵7>6，∴7+23（3）解：x=1y=1∴xy=6+5∴x2【变式】．（25-26八年级上·四川成都·期中）阅读材料：像5+25−2=3，a⋅a=aa≥0、b+1b−1例如：123=(1)3−7与______互为有理化因式，将2(2)比大小2020−2019______2019−2018；（直接填>，<，=，(3)求式子12(4)已知m是正整数，a=m+1−mm+1+m，【答案】(1)3+7，(2)<(3)2018(4)m=504【思路引导】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键：（1）根据分母有理化，进行求解即可；（2）逆用分母有理化，进行判断即可；（3）先进行分母有理化，再进行计算即可；（4）求出a+