苏科版数学七年级下册 易错题考点必刷练 同步练习 含答案

2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期末真题汇编复习【2024新教材】易错题考点必刷练（25个易错考点共90题）同学你好，本套讲义结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。题目精选近两年江苏省各市近两年常考易错真题，压轴题等重点题目！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，按照考点划分，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！TOC\t"标题2,1"\h\u易错考点训练01：同底数幂的乘法 2易错考点训练02：幂的乘方与积的乘方 2易错考点训练03：同底数幂的除法 2易错考点训练04：单项式乘单项式 3易错考点训练05：多项式乘多项式 3易错考点训练06：完全平方公式 3易错考点训练07：平方差公式 4易错考点训练08：解二元一次方程 4易错考点训练09：二元一次方程组的解 4易错考点训练10：解二元一次方程组 5易错考点训练11：二元一次方程组的应用 6易错考点训练12：解三元一次方程组 9易错考点训练13：线段垂直平分线的性质 10易错考点训练14：轴对称的性质 10易错考点训练15：平移的性质 12易错考点训练16：作图-平移变换 12易错考点训练17：旋转的性质 14易错考点训练18：不等式的定义 15易错考点训练19：不等式的性质 15易错考点训练20：不等式的解集 16易错考点训练21：解一元一次不等式 17易错考点训练22：一元一次不等式的整数解 18易错考点训练23：．解一元一次不等式组 19易错考点训练24：一元一次不等式组的应用 20易错考点训练25：命题与定理 22易错考点训练01：同底数幂的乘法1．（2024春•鼓楼区校级期末）计算（﹣x2）（﹣x）2的结果是（）A．0 B．﹣x4 C．x4 D．x222．（2021春•苏州期末）若am＝3，an＝5，则am+n的值是（）A．53 B．35 C．83．（2024春•淮安区校级期末）计算：x5•x2＝．易错考点训练02：幂的乘方与积的乘方4．（2023春•淮安区期末）下列运算正确的是（）A．a+2a2＝3a2 B．a3•a2＝a6 C．（x2）3＝x5 D．（﹣x3）2＝x65．（2022春•苏州校级期末）若x，y均为正整数，且2x+1•4y＝128，则x+y的值为（）A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或56．（2023春•南京期末）若9m＝27n，则m，n满足的关系是（）A．m＝3n B．n＝3m C．3m＝2n D．2m＝3n7．（2022春•吴江区期末）若2x﹣3＝1，则x＝．易错考点训练03：同底数幂的除法8．（2024春•工业园区校级期末）下列运算正确的是（）A．m3•m3＝m9 B．（mn）2＝m2n2 C．（m2）3＝m5 D．m3÷m3＝39．（2024春•连云港期末）若4m＝16，2n＝8，则22m﹣n＝．10．（2020春•吴中区期末）已知关于x、y的方程组x+2y=2mx−2y=4（m（1）计算：x2﹣4y2＝（用含m的代数式表示）；（2）若（a2）x÷（ay）3＝a6（a是常数a≠0），求m的值；（3）若m为正整数，满足0＜n≤|x﹣y|的正整数n有且只有8个，求m的值．易错考点训练04：单项式乘单项式11．（2022春•宿城区校级期末）下列计算正确的是（）A．（a2）3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．a2+a3＝a5 D．2a×3a＝6a12．（2022春•盱眙县期末）计算3x•2x2y的结果是．易错考点训练05：多项式乘多项式13．（2022春•清江浦区期末）如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为（a+3b）、宽为（a+b）的矩形，需要B类卡片张．14．（2022春•工业园区期末）若a+b＝6，a2﹣b2＝12，则（a+b）（a﹣b+1）＝．15．在（x+1）（2x2﹣ax+1）的运算结果中x2的系数是﹣6，那么a的值是．16．（2022春•常州期末）将（a+b）（c+d）展开后是4个单项式的和；将（a+b）（c+d+e）展开后是6个单项式的和；将（a+b+c）（d+e+f）展开后是9个单项式的和；…，以此类推，将（a1+a2+a3+…+am）（b1+b2+b3+…+bn）展开后是个单项式的和．易错考点训练06：完全平方公式17．（2022春•鼓楼区期末）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5 B．a3•a2＝a5 C．a3+a3＝a6 D．（a+b）2＝a2+b218．（2024春•江都区期末）已知a+b＝7，ab＝11，则a2+b2＝．19．（2024春•吴中区校级期末）已知a+2b＝1，则a2﹣4b2+4b的值为．20．（2022春•海州区期末）如图，长方形ABCD的周长为12，分别以BC和CD为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为20，则长方形ABCD的面积是．21．（2021春•兴化市期末）当一个正方形的边长增加5cm时，它的面积增加85cm2，则原来正方形的边长是cm．易错考点训练07：平方差公式22．（2022春•相城区期末）若a2﹣2a﹣1＝0，那么代数式（a+2）（a﹣2）﹣2a的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．323．（2022春•高新区校级期末）观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（）A．1 B．0 C．1或﹣1 D．0或﹣224．（2020春•淮安区期末）下列各运算中，正确的是（）A．（m﹣2）2＝m2﹣4 B．（a+1）（﹣a﹣1）＝a2﹣1 C．（1+2a）2＝1+2a+4a2 D．（a+1）（﹣1+a）＝a2﹣125．（2018春•兴化市期末）如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是（）A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2m+6易错考点训练08：解二元一次方程26．（2021春•镇江期末）已知x与y的互为相反数，并且2x﹣y＝3，则xy的值为．27．（2024春•东海县期末）将方程3x﹣2y＝5变形为用含x的代数式表示y的形式为．28．（2023春•清江浦区期末）把方程x﹣2y＝6写成用含y的代数式表示x的形式为．易错考点训练09：二元一次方程组的解29．（2024春•宿城区期末）已知关于x，y的方程组x+y=kx−3y=k+2的解满足x﹣y＝2，则k的值为30．（2023春•姑苏区校级期末）若方程3xm+3n﹣2ym+2n﹣2＝2是关于x，y的二元一次方程，则m+n＝．31．（2024春•宿城区校级期末）已知关于x，y的方程组2x−y=72ax−by=4和x+2y=1（1）求出它们的相同解；（2）求（a+b）2023的值．32．（2024春•扬州期末）已知方程组4x−y=5ax+by=−1和3x+y=93ax+4by=18有相同的解，求（2a+3b）易错考点训练10：解二元一次方程组33．（2023春•灌云县期末）对于x、y，规定一种新的运算：x⊗y＝ax﹣by，其中a，b为常数，已知2⊗3＝5，3⊗4＝8，则a﹣b＝．（2022春•广陵区期末）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A射出的光束转动的速度是a°/秒，灯B射出的光束转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）求a、b的值；（2）如图2，两灯同时转动，在灯A射出的光束到达AN之前，若两灯射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，若∠BCD＝20°，求∠BAC的度数；（3）若灯B射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？35．（2022春•南京期末）解方程组：2x−y=33x+2y=836．（2024春•靖江市期末）已知关于x，y的方程组x−3y=4−tx+y=3t（1）若x﹣y＝3，求t的值；（2）设M＝（x﹣y）2，N＝4y，比较M与N的大小关系并说明理由．易错考点训练11：二元一次方程组的应用37．（2021春•工业园区期末）如图，我国古代数学的经典著作《九章算术》中有一道“盈不足术”问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？该问题中的羊价为（）A．160钱 B．155钱 C．150钱 D．145钱38．（2023春•泰兴市期末）一个二元一次方程组常常可以有不同的实际意义，例如，二元一次方程组2x+y=110①x+3y=180②方程①的实际意义是：甲、乙两人加工零件，甲做2h，乙做1h，共加工110个零件，则方程②的实际意义是：39．（2024春•海安市期末）如图，7个形状、大小完全相同的小长方形放在一个大长方形中，已知大长方形的周长为28，小长方形的周长为12，则AB与CD的差为．40．（2024春•睢宁县期末）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．（1）做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板5张，长方形纸板10张．（2）若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（3）该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板162张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且290＜a＜300．试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．（直接写出答案）41．（2024春•海州区期末）某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．（1）若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买A，B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，已知A型板材每张30元，B型板材每张90元，求最多可以制作竖式箱子多少个？（2）①若该工厂仓库里现有A型板材65张、B型板材110张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少个，恰好将库存的板材用完？②若该工厂新购得78张规格为（3×3）m的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于25个，且材料恰好用完，则能制作两种箱子共56或58个．42．（2020春•海州区期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十二两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？（请用方程组解答）43．（2021春•射阳县校级期末）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈，某校欲购买规格分别为300mL和500mL的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买1瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要90元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元．（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．（2）该校在校师生共2000人，平均每人每天都需使用10mL的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费10000元，则这批消毒液可使用多少天？易错考点训练12：解三元一次方程组44．（2024春•崇川区校级期末）已知x，y，z满足4x+3y+z=72x−3y−13z=−1，则2x+y﹣zA．2 B．3 C．4 D．545．（2022春•南通期末）若x＝3，y＝b；x＝a，y=112都是关于x．y的方程3x﹣2y＝c的解，且3a﹣2b＝2c2+2c﹣10，则关于x的不等式c2x﹣3a＞10x+2b的解集是46．（2021春•广陵区校级期末）若3x﹣y﹣7＝2x+3y﹣1＝y﹣kx+9＝0，则k的值为．47．（2021春•平山县校级期末）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝2时，y＝3；当x＝﹣2时，y＝11．（1）求a，b，c的值；（2）小苏发现：当x＝﹣1或x=53时，易错考点训练13：线段垂直平分线的性质48．（2019春•崇川区校级期末）如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（）厘米．A．16 B．18 C．26 D．2849．（2023春•射阳县期末）如图，D、E是△ABC的BC边上的两点，DM，EN分别垂直平分AB、AC，垂足分别为点M、N．若∠DAE＝24°，则∠BAC的度数为．易错考点训练14：轴对称的性质50．（2024春•建邺区校级期末）折纸实验：如图，长方形纸带ABCD，E、F分别是边AD、BC上一点，∠DEF＝α（0°＜α＜90°且α≠60°），将纸带ABCD沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2．（1）当α＝25°时，则∠BFE＝；∠GFC'＝；（2）两次折叠后，求∠NFE的大小（用含α的代数式表示）．51．（2023春•广陵区期末）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：（1）【问题再现】如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A＝50°．则∠P＝；（2）【问题推广】如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝76°，求∠PBH的度数．（3）如图3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝80°，则∠BPC＝；（4）【拓展提升】在四边形BCDE中，EB∥CD，点F在直线ED上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，若∠EBF＝α，∠DCF＝β，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系．易错考点训练15：平移的性质52．（2023春•沛县期末）如图，△ABC沿BC方向平移得到△DEF，已知BC＝5，EC＝2，则平移的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4易错考点训练16：作图-平移变换53．（2019春•徐州期末）如图，方格纸中每个小格子的边长均为1个单位长度．△ABC的三个顶点和点P都在方格纸的格点上．（1）若将△ABC平移，使点P恰好落在平移后得到的△A'B'C'的内部，则符合要求的格点三角形能画出个，请在方格纸中画出符合要求的一个三角形；（2）在（1）的条件下，若连接对应点BB'、CC'，则这两条线段的位置关系是平行或在同一条直线上；（3）画一条直线l，将△ABC分成两个面积相等的三角形．54．（2021春•泰兴市期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1cm，点A、B、C、D都是格点．（1）求△ABC的面积；（2）若△ABC沿着A→D方向平移后得△DEF（其中点A、B、C的对应点分别是D、E、F），画出△DEF；（3）只用无刻度的直尺作△ABC的高AH．55．（2024春•徐州期末）在所给的方格纸中，用无刻度的直尺分别按要求画图．（1）在图1中，已知A，B，C为格点，将△ABC向右平移2格，再向上平移1格，得到△A'B'C'，画出△A'B'C'；（2）在图2中，已知D，E，F，G均为格点，DE与FG交于点O，∠DOF＝α，画△DEM，使其同时满足下列条件：①点M为格点；②△DEM的一个角等于α．56．（2019春•镇江期末）镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是．易错考点训练17：旋转的性质57．（2020春•溧阳市期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，现将△ABC绕着点A逆时针旋转一定角度α（0＜α＜180°）得到△AB'C′，并且使AC'⊥AB，那么旋转角的度数α为（）A．65° B．25° C．35° D．40°58．（2023春•玄武区期末）如图，直线c与a、b相交，∠1＝45°，∠2＝70°，要使直线a与b平行，则直线a绕点O顺时针旋转的角度至少是．59．（2020春•新沂市期末）已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，现将图中的△ABC绕点F按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为s．易错考点训练18：不等式的定义60．（2020春•建邺区期末）某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是x～ymg，则x，y的值分别为（）A．x＝15，y＝30 B．x＝10，y＝20 C．x＝15，y＝20 D．x＝10，y＝3061．（2021春•江都区校级期末）下列各式中，不是不等式的是（）A．3x≠0 B．4x2﹣2x+5 C．﹣1＜0 D．5x﹣2≥162．（2023春•丹阳市校级期末）某市某天的最高气温是6℃，最低气温是﹣2℃，则当天该市气温t（℃）的变化范围用不等式表示为．易错考点训练19：不等式的性质63．（2024春•贾汪区期末）已知x＞y，则下列不等式一定成立的是（）A．x﹣3＜y﹣3 B．﹣5x＜﹣5y C．a2x＞a2y D．x64．（2024春•海安市期末）已知x﹣y＝1，且2﹣y＞0，则x的取值范围是．65．（2022春•高邮市期末）已知关于x、y的方程组x+2y=−a+3①2x+y=4a②求：（1）若3x+3y＝18，求a值；（2）若﹣5x﹣y＝16，求a问题解决：（1）王题解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将①+②可得3x+3y＝3a+3，又因为3x+3y＝18，则a值为；（2）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减已经不能解决问题，经过思考，王磊将①×m，②×n得mx+2my=−ma+3m③2nx+ny=4na④，再将③+④得：（m+2n）x+（2m+n）y＝（﹣m+4n）a+3m，又因为﹣5x﹣y＝16，⋯⋯请根据王磊的解题思路求出m、n及a问题拓展：（3）已知关于x，y的不等式组x+2y＞−a+3①2x+y＜4a②，若x+5y＝2，求a66．（2020春•溧阳市期末）知识阅读：我们知道，当a＞2时，代数式a﹣2＞0；当a＜2时，代数式a﹣2＜0；当a＝2时，代数式a﹣2＝0．基本应用：当a＞2时，用“＞，＜，＝”填空．（1）a+50；（2）（a+7）（a﹣2）0；理解应用：当a＞1时，求代数式a2+2a﹣15的值的大小；灵活应用：当a＞2时，比较代数式a+2与a2+5a﹣19的大小关系．易错考点训练20：不等式的解集67．（2024春•鼓楼区校级期末）若不等式组x≥−3x＜a的解集中的整数和为﹣5，则整数a的值为68．（2024春•宿城区期末）已知关于x的不等式（a+2）x＜1的解集为x＞1a+2，则a的取值范围为69．（2022春•建邺区校级期末）若不等式组x＞1x＜a有解，则a的取值范围是70．（2021春•灌南县校级期末）已知方程组x+y=−7−mx−y=1+3m的解满足x为非正数，y（1）求m的取值范围；（2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|；（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．易错考点训练21：解一元一次不等式71．（2024春•无锡期末）若关于x、y的方程组2x+y=k+2x+5y=2k−1的解满足x+2y＞﹣1，则kA．k＞−43 B．k＜−43 C．72．（2024春•睢宁县期末）若不等式组x−a＞0x−a＜1的解集中任一个x的值均不在2≤x≤5的范围内，则a的取值范围是73．（2024春•宿城区校级期末）已知关于x，y的方程组x+2y=−7+m2x+y=2m+4，若此方程组的解满足x+y≥2，则m的取值范围是74．（2024春•盐城期末）[学习探究]：观察下列不等式及其解集：①|x|＞1的解集为：x＞1或x＜﹣1；②|x|＞12的解集为：x＞1/2或③|x|＞15的解集为：x＞15或x＜﹣15；④|x|＞100的解集为：x＞100或x＜﹣100；回答下列问题：（1）|x|＞3的解集是（2）归纳：当a＞0时，不等式|x|＞a的解集是（3）运用（2）中的结论解不等式|2x+1|＞3易错考点训练22：一元一次不等式的整数解75．（2024春•鼓楼区期末）不等式3x+1＞0的最小整数解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．276．（2023春•句容市期末）若实数3是不等式x3+2m＜﹣3的一个解，则A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．377．（2024春•东台市期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“友好不等式”，（1）不等式x≥2x≤2的“友好不等式”；（填“是”或“不是”）；（2）若a≠﹣1，关于x的不等式x+3＞a与不等式ax﹣1≤a﹣x互为“友好不等式”，求a的取值范围；（3）若关于x的不等式x﹣m≥0不是2x﹣1＜x+2的“友好不等式”，则m的取值范围是．78．（2024春•盱眙县期末）如图，在数轴上，点A、B分别表示数2a﹣1，1+a，且点A在点B的左侧．（1）求a的取值范围；（2）若点A、B表示的数是关于x的不等式x﹣2a＜2的解，求a的整数解．易错考点训练23：．解一元一次不等式组79．（2024春•泗洪县期末）已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.7]＝2，[﹣4.3]＝﹣5．若[2−x3]=−1A．2＜x≤5 B．2≤x＜5 C．5≤x＜8 D．5＜x≤880．（2024春•仪征市期末）若定义一种新的取整符号[]，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：[2.3]＝2，[﹣1.7]＝﹣2．则下列结论：①[﹣2.1]+[0.99]＝﹣3；②[x]+[﹣x]＝0；③若[x+1]＝3，则x的取值范围是2≤x＜3；④方程x−[x]=15的解有无数多个．其中正确的是81．（2024春•兴化市期末）（1）解方程组：x+2y=42x−3y=1（2）解不等式组：x−2(x−1)≥11+x82．（2022春•泰州期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．（1）在方程①x﹣（3x+1）＝﹣5；②2x3+1＝0；③3x﹣1＝0中，不等式组−x+2＞x−53x−1＞−x+2（2）若不等式组x−2＜11+x＞−x+2的某个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是x﹣2＝0（3）若方程12−12x=12x，3+x＝2（x+1易错考点训练24：一元一次不等式组的应用83．（2024春•沭阳县期末）某校准备成立校足球队，现计划购进一批甲、乙两种型号的足球，已知3个甲种型号足球的价格与2个乙种型号足球的价格之和为900元；如果购买5个甲种型号足球和4个乙种型号足球，一共需花费1600元．（1）求每个甲种型号足球和每个乙种型号足球的价格分别是多少元？（2）学校计划购买甲、乙两种型号的足球共28个，其中甲种型号足球的个数不少于乙种型号足球的个数，并且学校购买甲、乙两种型号足球的预算资金不超过5000元，求该学校共有几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种方案最便宜？84．（2024春•鼓楼区期末）某超市准备购进A，B两种商品，进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元；该超市将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A，B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？85．（2024春•盐城期末）四川光雾山国际红叶节的门票分两种：A种门票600元/张，B种门票120元/张，青年旅行社要为一个旅行团代购门票，在购票费用不超过5000元的情况下，购买A、B两种门票共15张，要求A种门票的数量不少于B种门票的数量的一半若设购买A种门票x张，请解答下列问题：（1）共有几种符合题意的购票方案？写出解答过程．（2）根据计算判断哪种购票方案更省钱．86．（2019春•盱眙县期末）阅读下列材料：解答“已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：解：∵x﹣y＝2，又∵x＞1，∴y+2＞1y＞﹣1又y＜0，∴﹣1＜y＜0．…①同理得：1＜x＜2．…②由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．请按照上述方法，完成下列问题：已知关于x、y的方程组3x−y=2a−5x+2y=3a+3（1）求a的取值范围；（2）已知a﹣b＝4，且b＜2，求a+b的取值范围；（3）已知a﹣b＝m（m是大于0的常数），且b≤1，求2a+12b易错考点训练25：命题与定理87．（2020春•邳州市期末）下列命题是真命题的是（）A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行 C．相等的两个角是对顶角 D．三角形的一个外角等于两个内角的和88．（2022春•宿豫区期末）能说明命题“任何数a的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是（）A．a＝﹣2 B．a＝0 C．a=12 D．89．（2024春•广陵区期末）下列命题中的真命题是（）A．相等的角是对顶角 B．若两个角的和为180°，则这两个角互补 C．若a，b满足|a|＝|b|，则a＝b D．同位角相等90．（2024春•姜堰区期末）已知：如图，点D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点．（1）给出下列三个事项：①DF∥AE；②∠FDE＝∠A；③DE∥BA．请你用其中两个事项作为条件，另一个事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；条件：，结论：.（填序号）证明：（2）在（1）的条件下，若∠A＝∠BDF＝2∠EDC，求∠AFD的度数．

2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期末真题汇编复习【2024新教材】易错题考点必刷练（25个易错考点共90题）同学你好，本套讲义结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。题目精选近两年江苏省各市近两年常考易错真题，压轴题等重点题目！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，按照考点划分，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！TOC\t"标题2,1"\h\u易错考点训练01：同底数幂的乘法 2易错考点训练02：幂的乘方与积的乘方 3易错考点训练03：同底数幂的除法 4易错考点训练04：单项式乘单项式 6易错考点训练05：多项式乘多项式 7易错考点训练06：完全平方公式 9易错考点训练07：平方差公式 10易错考点训练08：解二元一次方程 12易错考点训练09：二元一次方程组的解 13易错考点训练10：解二元一次方程组 15易错考点训练11：二元一次方程组的应用 18易错考点训练12：解三元一次方程组 24易错考点训练13：线段垂直平分线的性质 27易错考点训练14：轴对称的性质 28易错考点训练15：平移的性质 32易错考点训练16：作图-平移变换 33易错考点训练17：旋转的性质 37易错考点训练18：不等式的定义 40易错考点训练19：不等式的性质 41易错考点训练20：不等式的解集 44易错考点训练21：解一元一次不等式 46易错考点训练22：一元一次不等式的整数解 48易错考点训练23：．解一元一次不等式组 50易错考点训练24：一元一次不等式组的应用 53易错考点训练25：命题与定理 57易错考点训练01：同底数幂的乘法1．（2024春•鼓楼区校级期末）计算（﹣x2）（﹣x）2的结果是（）A．0 B．﹣x4 C．x4 D．x22【思路点拨】利用同底数幂的运算法则计算即可．【规范解答】解：（﹣x2）（﹣x）2＝﹣x2•x2＝﹣x4．故选：B．【考点评析】本题考查同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键．2．（2021春•苏州期末）若am＝3，an＝5，则am+n的值是（）A．53 B．35 C．8【思路点拨】根据同底数幂的乘法的运算法则解答即可．【规范解答】解：因为am＝3，an＝5，所以am•an＝3×5，所以am+n＝15，故选：D．【考点评析】此题考查了同底数幂的乘法．解题的关键是掌握同底数幂的乘法的运算法则．3．（2024春•淮安区校级期末）计算：x5•x2＝x7．【思路点拨】根据同底数幂的乘法法则计算即可．【规范解答】解：x5•x2＝x5+2＝x7．故答案为：x7【考点评析】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．易错考点训练02：幂的乘方与积的乘方4．（2023春•淮安区期末）下列运算正确的是（）A．a+2a2＝3a2 B．a3•a2＝a6 C．（x2）3＝x5 D．（﹣x3）2＝x6【思路点拨】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项法则，进行计算逐一判断即可解答．【规范解答】解：A、a与2a2不能合并，故A不符合题意；B、a3•a2＝a5，故B不符合题意；C、（x2）3＝x6，故C不符合题意；D、（﹣x3）2＝x6，故D符合题意；故选：D．【考点评析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．5．（2022春•苏州校级期末）若x，y均为正整数，且2x+1•4y＝128，则x+y的值为（）A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5【思路点拨】先把2x+1•4y化为2x+1+2y，128化为27，得出x+1+2y＝7，即x+2y＝6因为x，y均为正整数，求出x，y，再求了出x+y．，【规范解答】解：∵2x+1•4y＝2x+1+2y，27＝128，∴x+1+2y＝7，即x+2y＝6∵x，y均为正整数，∴x=2y=2或∴x+y＝5或4，故选：C．【考点评析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是化为相同底数的幂求解．6．（2023春•南京期末）若9m＝27n，则m，n满足的关系是（）A．m＝3n B．n＝3m C．3m＝2n D．2m＝3n【思路点拨】根据幂的乘方的法则，进行计算即可解答．【规范解答】解：∵9m＝27n，∴（32）m＝（33）n，∴32m＝33n，∴2m＝3n，故选：D．【考点评析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键．7．（2022春•吴江区期末）若2x﹣3＝1，则x＝3．【思路点拨】因为20＝1，所以x﹣3＝0，解方程即可求出x的值．【规范解答】解：∵20＝1，∴x﹣3＝0，解得x＝3．故答案为：3．【考点评析】本题考查了零指数幂的运用，解题的关键是熟知：任何不等于零的数的零次幂都等于1．易错考点训练03：同底数幂的除法8．（2024春•工业园区校级期末）下列运算正确的是（）A．m3•m3＝m9 B．（mn）2＝m2n2 C．（m2）3＝m5 D．m3÷m3＝3【思路点拨】运用同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方、同底数幂除法等知识进行逐一计算．【规范解答】解：∵m3•m3＝m6，∴选项A不符合题意；∵（mn）2＝m2n2，∴选项B符合题意；∵（m2）3＝m6，∴选项C不符合题意；∵m3÷m3＝1，∴选项D不符合题意，故选：B．【考点评析】此题考查了同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方、同底数幂除法等知识的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．9．（2024春•连云港期末）若4m＝16，2n＝8，则22m﹣n＝2．【思路点拨】利用同底数幂的除法法则的逆运算得到22m﹣n＝22m÷2n，然后把22m＝4m＝16，2n＝8代入计算即可．【规范解答】解：因为22m＝4m＝16，2n＝8，所以22m﹣n＝22m÷2n＝16÷8＝2．故答案为：2．【考点评析】本题考查了同底数幂的除法．解题的关键是掌握同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am÷an＝am﹣n（m，n是正整数）．10．（2020春•吴中区期末）已知关于x、y的方程组x+2y=2mx−2y=4（m（1）计算：x2﹣4y2＝8m（用含m的代数式表示）；（2）若（a2）x÷（ay）3＝a6（a是常数a≠0），求m的值；（3）若m为正整数，满足0＜n≤|x﹣y|的正整数n有且只有8个，求m的值．【思路点拨】（1）利用平方差公式直接代入可解答；（2）先化简已知等式可得：2x﹣3y＝6，再解方程组可得x和y的值，代入2x﹣3y＝6中，可得m的值；（3）根据（2）中计算的x和y的值计算x﹣y，代入0＜n≤|x﹣y|，根据正整数n有且只有8个，可解答．【规范解答】解：（1）x2﹣4y2＝（x﹣2y）（x+2y）＝4×2m＝8m，故答案为：8m；（2）∵（a2）x÷（ay）3＝a6（a是常数a≠0），∴a2x÷a3y＝a6，a2x﹣3y＝a6，∴2x﹣3y＝6⑤，x+2y=2m①x−2y=4②①+②得：2x＝2m+4，x＝m+2③，①﹣②得：4y＝2m﹣4，y=12把③④代入⑤得：2（m+2）﹣3（12m解得：m＝﹣2；（3）由（2）知：x=m+2y=∴x﹣y＝m+2﹣（12m﹣1）=1∵0＜n≤|x﹣y|，∴0＜n≤|12∵正整数n有且只有8个，∴8≤|12m∴8≤12m+3＜9或﹣9＜∴10≤m＜12，﹣24＜m≤﹣22，∵m为正整数，∴m＝10或11．【考点评析】此题主要考查了同底数幂的除法运算，幂的乘方，平方差公式，解二元一次方程组，解不等式等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．易错考点训练04：单项式乘单项式11．（2022春•宿城区校级期末）下列计算正确的是（）A．（a2）3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．a2+a3＝a5 D．2a×3a＝6a【思路点拨】幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；不是同类项不能合并；单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘．【规范解答】解：A．（a2）3＝a6，此选项正确；B．a6÷a2＝a4，此选项错误；C．a2+a3＝a2+a3，此选项错误；D.2a×3a＝6a2，此选项错误；故选：A．【考点评析】本题考查了整式的混合运算，关键要掌握幂的乘方运算、幂的除法运算、合并同类项、单项式乘以单项式．12．（2022春•盱眙县期末）计算3x•2x2y的结果是6x3y．【思路点拨】根据单项式与单项式相乘的运算法则计算．【规范解答】解：3x•2x2y＝6x3y，故答案为：6x3y．【考点评析】本题考查的是单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．易错考点训练05：多项式乘多项式13．（2022春•清江浦区期末）如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为（a+3b）、宽为（a+b）的矩形，需要B类卡片4张．【思路点拨】先求出长为（a+3b）、宽为（a+b）的矩形面积，然后对照A、B、C三种卡片的面积，进行组合．【规范解答】解：长为（a+3b）、宽为（a+b）的矩形面积为长为（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2，A图形面积为a2，B图形面积为ab，C图形面积为b2，则可知需要A类卡片1张，B类卡片4张，C类卡片3张．故答案为：4．【考点评析】本题主要考查了多项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．14．（2022春•工业园区期末）若a+b＝6，a2﹣b2＝12，则（a+b）（a﹣b+1）＝18．【思路点拨】根据多项式乘多项式的运算法则、平方差公式计算即可．【规范解答】解：因为a+b＝6，a2﹣b2＝12，所以（a+b）（a﹣b+1）＝（a+b）（a﹣b）+（a+b）＝a2﹣b2+（a+b）＝12+6＝18．故答案为：18．【考点评析】此题考查了多项式乘多项式、平方差公式．能够正确利用多项式乘多项式的运算法则、平方差公式是解题的关键．15．（2021春•兴化市校级期末）在（x+1）（2x2﹣ax+1）的运算结果中x2的系数是﹣6，那么a的值是8．【思路点拨】先运用多项式的乘法法则进行计算，再根据运算结果中x2的系数是﹣6，列出关于a的等式求解即可．【规范解答】解：（x+1）（2x2﹣ax+1）＝2x3﹣ax2+x+2x2﹣ax+1＝2x3+（﹣a+2）x2+（1﹣a）x+1；∵运算结果中x2的系数是﹣6，∴﹣a+2＝﹣6，解得a＝8，故答案为：8．【考点评析】本题考查了多项式的乘法，注意运用运算结果中x2的系数是﹣6，列方程求解．16．（2022春•常州期末）将（a+b）（c+d）展开后是4个单项式的和；将（a+b）（c+d+e）展开后是6个单项式的和；将（a+b+c）（d+e+f）展开后是9个单项式的和；…，以此类推，将（a1+a2+a3+…+am）（b1+b2+b3+…+bn）展开后是mn个单项式的和．【思路点拨】观察可以发现4＝2×2，6＝2×3，9＝3×3，即展开后单项式的个数＝第一个多项式中单项式的个数×第二个多项式中单项式的个数，以次类推即可解答．【规范解答】解：∵（a+b）（c+d）展开后是4个单项式的和，4＝2×2；将（a+b）（c+d+e）展开后是6个单项式的和，6＝2×3；将（a+b+c）（d+e+f）展开后是9个单项式的和，9＝3×3；…，即展开后单项式的个数＝第一个多项式中单项式的个数×第二个多项式中单项式的个数，以此类推，将（a1+a2+a3+…+am）（b1+b2+b3+…+bn）展开后是mn个单项式的和．故答案为：mn．【考点评析】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是分析问题，找到规律，即展开后单项式的个数＝第一个多项式中单项式的个数×第二个多项式中单项式的个数．易错考点训练06：完全平方公式17．（2022春•鼓楼区期末）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5 B．a3•a2＝a5 C．a3+a3＝a6 D．（a+b）2＝a2+b2【思路点拨】根据幂的乘方的运算法则，同底数幂的乘法的运算法则，合并同类项的运算法则，完全平方公式，计算后判断．【规范解答】解：A、幂的乘方，底数不变指数相乘，原式＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；B、同底数幂相乘，底数不变指数相加，原计算正确，故此选项符合题意；C、合并同类项，系数相加字母部分不变，原式＝2a3，原计算错误，故此选项不符合题意；D、和的平方等于平方和加积的二倍，原式＝a2+b2+2ab，原计算错误，故此选项不符合题意；故选：B．【考点评析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项和完全平方公式，熟记运算法则和公式是解题的关键．18．（2024春•江都区期末）已知a+b＝7，ab＝11，则a2+b2＝27．【思路点拨】根据完全平方公式，可得出（a+b）2＝a2+2ab+b2，再整体代入即可．【规范解答】解：∵a+b＝7，ab＝11，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝49﹣22＝27．故答案为：27．【考点评析】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2是解题的关键．19．（2024春•吴中区校级期末）已知a+2b＝1，则a2﹣4b2+4b的值为1．【思路点拨】把a2﹣4b2+4b变形成（a+2b）（a﹣2b）+4b，再整体代入即可得答案．【规范解答】解：∵a+2b＝1，∴a2﹣4b2+4b＝（a+2b）（a﹣2b）+4b＝a﹣2b+4b＝a+2b＝1．故答案为：1．【考点评析】本题考查代数式求值，解题的关键是将所求式子变形，再整体代入．20．（2022春•海州区期末）如图，长方形ABCD的周长为12，分别以BC和CD为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为20，则长方形ABCD的面积是8．【思路点拨】设长方形的长为x，宽为y，由题意列方程组，利用完全平方公式即可解答．【规范解答】解：设长方形的长为x，宽为y，由题意得：2x+2y=12x∴x+y＝6，∴（x+y）2＝36，∴x2+2xy+y2＝36∴2xy＝36﹣（x2+y2）＝16，∴xy＝8，∴长方形ABCD的面积是8，故答案为：8．【考点评析】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式的结构特征．21．（2021春•兴化市期末）当一个正方形的边长增加5cm时，它的面积增加85cm2，则原来正方形的边长是6cm．【思路点拨】设原正方形边长为xcm，则增加后边长为（x+5）cm，再根据增加的面积列方程求解即可．【规范解答】解：设原正方形边长为xcm，则增加后边长为（x+5）cm，根据题意列方程得：（x+5）2﹣x2＝85，整理得10x+25＝85，解得x＝6，∴原来正方形边长为6cm．故答案为：6．【考点评析】本题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键在于根据增加的面积构造方程求解．易错考点训练07：平方差公式22．（2022春•相城区期末）若a2﹣2a﹣1＝0，那么代数式（a+2）（a﹣2）﹣2a的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3【思路点拨】由已知条件求得a2﹣2a的值，再化简原式，把代数式转化成a2﹣2a的形式，后整体代入求值即可．【规范解答】解：（a+2）（a﹣2）﹣2a＝a2﹣4﹣2a＝a2﹣2a﹣4，∵a2﹣2a﹣1＝0，∴a2﹣2a＝1，∴原式＝1﹣4＝﹣3．故选：B．【考点评析】本题主要考查了求代数式的值，平方差公式，整体思想，解题的关键是把代数式化成a2﹣2a的形式．23．（2022春•高新区校级期末）观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（）A．1 B．0 C．1或﹣1 D．0或﹣2【思路点拨】先根据规律求x的值，再求代数式的值．【规范解答】解：∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0．∴x6﹣1＝0．∴x6＝1．∴（x3）2＝1．∴x3＝±1．∴x＝±1．当x＝1时，原式＝12021﹣1＝0．当x＝﹣1时，原式＝12021﹣1＝﹣2．故选：D．【考点评析】本题考查通过规律解决数学问题，发现规律，求出x的值是求解本题的关键．24．（2020春•淮安区期末）下列各运算中，正确的是（）A．（m﹣2）2＝m2﹣4 B．（a+1）（﹣a﹣1）＝a2﹣1 C．（1+2a）2＝1+2a+4a2 D．（a+1）（﹣1+a）＝a2﹣1【思路点拨】根据平方差公式和完全平方公式计算即可求出答案．【规范解答】解：A、原式＝m2﹣4m+4，原计算错误，故此选项不符合题意；B、原式＝﹣（a+1）2＝﹣（a2+2a+1）＝﹣a2﹣2a﹣1，原计算错误，故此选项不符合题意；C、原式＝1+4a+4a2，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（a+1）（﹣1+a）＝a2﹣1，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．【考点评析】本题考查整式的运算．解题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式进行计算．25．（2018春•兴化市期末）如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是（）A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2m+6【思路点拨】由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积剩余部分的面积可以求出，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．【规范解答】解：依题意得，剩余部分为：（m+3）2﹣m2＝m2+6m+9﹣m2＝6m+9，而拼成的矩形一边长为3，∴另一边长是（6m+9）÷3＝2m+3．故选：C．【考点评析】本题主要考查了多项式除以单项式，解题关键是熟悉除法法则．易错考点训练08：解二元一次方程26．（2021春•镇江期末）已知x与y的互为相反数，并且2x﹣y＝3，则xy的值为1．【思路点拨】首先根据：x与y互为相反数，可得：x+y＝0；然后根据2x﹣y＝3，求出x、y的值各是多少，再应用代入法，求出xy的值为多少即可．【规范解答】解：∵x与y互为相反数，∴x+y＝0，∴x+y=0①2x−y=3②①+②，得3x＝3，解得x＝1，∴y＝﹣1，∴xy＝1﹣1＝1．故答案为：1．【考点评析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，以及有理数的乘方的运算方法，要熟练掌握．27．（2024春•东海县期末）将方程3x﹣2y＝5变形为用含x的代数式表示y的形式为y=3x−52【思路点拨】把x看作已知数求出y即可．【规范解答】解：方程3x﹣2y＝5，2y＝3x﹣5，解得：y=3x−5故答案为：y=3x−5【考点评析】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．28．（2023春•清江浦区期末）把方程x﹣2y＝6写成用含y的代数式表示x的形式为x＝2y+6．【思路点拨】将y看作已知数，x看作未知数，表示即可．【规范解答】解：x﹣2y＝6，移项，得：x＝2y+6．故答案为：x＝2y+6．【考点评析】本题考查二元一次方程的知识．注意：要表示谁，谁就写在等式的左边．本题还可以有变式，用含x的代数式表示y．易错考点训练09：二元一次方程组的解29．（2024春•宿城区期末）已知关于x，y的方程组x+y=kx−3y=k+2的解满足x﹣y＝2，则k的值为1【思路点拨】先把方程组中的两个方程相减，消去x，k，求出y，再把y的值代入x﹣y＝2求出x，最后把x，y的值代入x+y＝k，求出k即可．【规范解答】解：x+y=k①x−3y=k+2②①﹣②得：y=−1把y=−12代入x﹣y＝2得：x把y=−12，x=3故答案为：1．【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握方程组的解是使每个方程两边相等的未知数的值．30．（2023春•姑苏区校级期末）若方程3xm+3n﹣2ym+2n﹣2＝2是关于x，y的二元一次方程，则m+n＝5．【思路点拨】若方程3xm+3n﹣2ym+2n﹣2＝2是关于x，y的二元一次方程，那么x和y的次数须均为1，由此得到关于m、n的二元一次方程组并求解，再计算m+n的值即可．【规范解答】解：将原方程整理，得3xm+3n﹣2ym+2n﹣2﹣2＝0．∵方程3xm+3n﹣2ym+2n﹣2＝2是关于x，y的二元一次方程，∴m+3n=1m+2n−2=1，解得m=7∴m+n＝7﹣2＝5．故答案为：5．【考点评析】本题考查二元一次方程组的解法，比较简单．熟练地求解二元一次方程组是初中数学必备的最基本的能力．31．（2024春•宿城区校级期末）已知关于x，y的方程组2x−y=72ax−by=4和x+2y=1（1）求出它们的相同解；（2）求（a+b）2023的值．【思路点拨】（1）根据已知条件，重新把不含有a，b的两个方程联立成方程组，利用加减消元法，求出x，y的值即可；（2）把（1）中所求的x＝3，y＝﹣1分别代入2ax﹣by＝4和ax+2by＝7得关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，再代入计算即可．【规范解答】解：（1）由题意得：2x−y=7①x+2y=1②①×2得：4x﹣2y＝14③，②+③得：x＝3，把x＝3代入②得：y＝﹣1，∴方程组的解为：x=3y=−1（2）把（1）中所求的x＝3，y＝﹣1分别代入2ax﹣by＝4和ax+2by＝7得：6a+b=43a−2b=7①×2得：12a+2b＝8③，②+③得：a＝1，把a＝1代入①得：b＝﹣2，∴（a+b）2023＝[1+（﹣2）]2023＝（﹣1）2023＝﹣1．【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值．32．（2024春•扬州期末）已知方程组4x−y=5ax+by=−1和3x+y=93ax+4by=18有相同的解，求（2a+3b）【思路点拨】首先把4x﹣y＝5和3x+y＝9组成方程组，解方程组可得x、y的值，再把x、y的值代入ax+by＝﹣1，然后可求出答案．【规范解答】解：解方程组4x−y=53x+y=9解得x=2y=3将x＝2，y＝3代入方程ax+by＝﹣1得2a+3b＝﹣1，则（2a+3b）2023＝﹣1．【考点评析】此题主要考查了二元一次方程组的解，关键是掌握二元一次方程组的解一定能使方程左右相等．易错考点训练10：解二元一次方程组33．（2023春•灌云县期末）对于x、y，规定一种新的运算：x⊗y＝ax﹣by，其中a，b为常数，已知2⊗3＝5，3⊗4＝8，则a﹣b＝3．【思路点拨】根据已知条件列出方程组，解方程组求出a与b的值，再进行计算．【规范解答】解：∵2⊗3＝5，3⊗4＝8，∴2a﹣3b＝5，3a﹣4b＝8，联立2a−3b=53a−4b=8解得：a=4b=1∴a﹣b＝3．故答案为：3．【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的知识、新定义的知识，理解题意是解答的关键．（2022春•广陵区期末）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A射出的光束转动的速度是a°/秒，灯B射出的光束转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）求a、b的值；（2）如图2，两灯同时转动，在灯A射出的光束到达AN之前，若两灯射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，若∠BCD＝20°，求∠BAC的度数；（3）若灯B射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？【思路点拨】（1）根据|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0，可得a﹣3b＝0，且a+b﹣4＝0，进而得出a、b的值；（2）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°＝20°可得t的值，根据∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°可得∠BAC；（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前，②在灯A射线转到AN之后，分别求得t的值即可．【规范解答】解：（1）∵|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．又∵|a﹣3b|≥0，（a+b﹣4）2≥0．∴a＝3，b＝1；（2）设A灯转动时间为t秒，又∵PQ//MN，∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，∵∠ACD＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°＝20°，∴t＝55°，∵∠CAN＝180°﹣3t，∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°＝165°﹣135°＝30°；（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行．依题意得0＜t＜150①当0＜t＜60时，3t＝（30+t）×1，解得t＝15；②当60＜t＜120时，3t﹣3×60+（30+t）×1＝180，解得t＝82.5；③当120＜t＜150时，3t﹣360＝t+30，解得t＝195＞150（不合题意）综上所述，当t＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．【考点评析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0．35．（2022春•南京期末）解方程组：2x−y=33x+2y=8【思路点拨】由①得y＝2x﹣3③，把③代入②求出x，把x的值代入③求出y即可．【规范解答】解：2x−y=3①由①得y＝2x﹣3③，把③代入②得3x+2（2x﹣3）＝8，7x＝14，x＝2，把x＝2代入③得：y＝2×2﹣3＝1，所以这个方程组的解是x=2y=1【考点评析】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．36．（2024春•靖江市期末）已知关于x，y的方程组x−3y=4−tx+y=3t（1）若x﹣y＝3，求t的值；（2）设M＝（x﹣y）2，N＝4y，比较M与N的大小关系并说明理由．【思路点拨】（1）将两个方程相加整理后根据已知条件得到关于t的方程，解方程即可；（2）根据已知条件，利用含t的代数式表示出M，N后作差，再根据偶次幂的非负性与0比较大小即可．【规范解答】解：（1）x−3y=4−t①x+y=3t②①+②得：2x﹣2y＝2t+4，则x﹣y＝t+2，∵x﹣y＝3，∴t+2＝3，解得：t＝1；（2）M＞N，理由如下：x−3y=4−t①x+y=3t②②﹣①得：4y＝4t﹣4，即N＝4t﹣4，∵x﹣y＝t+2，∴M＝（x﹣y）2＝（t+2）2，则M﹣N＝（t+2）2﹣（4t﹣4）＝t2+4t+4﹣4t+4＝t2+8＞0，那么M＞N．【考点评析】本题考查解二元一次方程组，整式的加减，偶次幂的非负性，结合已知条件利用含t的代数式表示出x﹣y，4y是解题的关键．易错考点训练11：二元一次方程组的应用37．（2021春•工业园区期末）如图，我国古代数学的经典著作《九章算术》中有一道“盈不足术”问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？该问题中的羊价为（）A．160钱 B．155钱 C．150钱 D．145钱【思路点拨】设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【规范解答】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，依题意得：5x+45=y7x+3=y解得：x=21y=150故选：C．【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．38．（2023春•泰兴市期末）一个二元一次方程组常常可以有不同的实际意义，例如，二元一次方程组2x+y=110①x+3y=180②方程①的实际意义是：甲、乙两人加工零件，甲做2h，乙做1h，共加工110个零件，则方程②的实际意义是：甲做1h，乙做3h，共加工180个零件【思路点拨】类比方程①的实际意义，作答即可．【规范解答】解：二元一次方程组2x+y=110①x+3y=180②类比方程①的实际意义，可知：方程②的实际意义是甲做1h，乙做3h，共加工180个零件，故答案为：甲做1h，乙做3h，共加工180个零件．【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，明确题意，是解答本题的关键．39．（2024春•海安市期末）如图，7个形状、大小完全相同的小长方形放在一个大长方形中，已知大长方形的周长为28，小长方形的周长为12，则AB与CD的差为2．【思路点拨】设小长方形的长为x，宽为y，则大长方形的长为x+3y，宽为x+y，根据大长方形的周长为28，小长方形的周长为12，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．【规范解答】解：如图，设小长方形的长为x，宽为y，则大长方形的长为x+3y，宽为x+y，由题意得：2(x+3y+x+y)=282(x+y)=12解得：x=5y=1∴x+3y＝8，∴AB+EF＝5，CD+EF＝8﹣5＝3，∴AB﹣CD＝5﹣3＝2，故答案为：2．【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．40．（2024春•睢宁县期末）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．（1）做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板5张，长方形纸板10张．（2）若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（3）该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板162张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且290＜a＜300．试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．（直接写出答案）【思路点拨】（1）由一个竖式无盖纸盒需要1个正方形纸板、4个长方形纸板，一个横式无盖纸盒需要2个正方形纸板、3个长方形纸板，可求出做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，所需长方形及正方形纸板数量；（2）设竖式纸盒加工x个、横式纸盒加工y个，恰好能将购进的纸板全部用完，根据共用162张正方形纸板及338张长方形纸板，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（3）设竖式纸盒加工m个，则横式纸盒加工162−m2个，根据所用长方形纸板数＝4×竖式无盖纸盒数+3×横式无盖纸盒数，可得出a关于m的等式，结合a，m为正整数及290＜a＜300，可找出a【规范解答】解：（1）根据图中所给1个竖式无盖纸盒构成：4个长方形侧面和1个正方形底面可知，需要1个正方形纸板（底面）和4个长方形纸板（侧面）；根据图中所给1个横式无盖纸盒构成：2个正方形侧面+2个长方形侧面+一个长方形底面可知，需要2个正方形纸板（侧面）和3个长方形纸板（侧面和底面）；综上所述，做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板1+2×2＝5张，长方形纸板4+2×3＝10张，故答案为：5，10；（2）设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，根据题意得：x+2y=1624x+3y=338解得：x=38y=62∴加工竖式纸盒38个，横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完，答：加工竖式纸盒38个，横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完；（3）设竖式纸盒加工m个，则横式纸盒加工162−m2由题意得：4m+3×162−m化简得：52∵290＜a＜300，且a、m为整数，∴290＜52m+243＜300∴满足题意的m有19，20，21，22，∴使a=52m+243∴a的所有可能值是：293，298．【考点评析】本题考查实际应用题，涉及到立体图形的侧面展开、二元一次方程组应用和不等式组的应用，根据题意准确找到等量关系是解决问题的关键．41．（2024春•海州区期末）某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．（1）若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买A，B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，已知A型板材每张30元，B型板材每张90元，求最多可以制作竖式箱子多少个？（2）①若该工厂仓库里现有A型板材65张、B型板材110张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少个，恰好将库存的板材用完？②若该工厂新购得78张规格为（3×3）m的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于25个，且材料恰好用完，则能制作两种箱子共56或58个．【思路点拨】（1）表示出竖式箱子所用板材数量进而得出总金额即可得出答案；（2）①设制作竖式箱子a只，横式箱子b只，利用A型板材65张、B型板材110张，得出方程组求出答案；②设裁剪出B型板材m张，则可裁A型板材（78﹣m）张，进而得出方程组求出符合题意的答案．【规范解答】解：（1）设最多可制作竖式箱子x只，则A型板材x张，B型板材4x张，根据题意得：30x+90×4x≤10000，解得x≤252539答：最多可以做25只竖式箱子；（2）①设制作竖式箱子a只，横式箱子b只，根据题意，得：a+2b=654a+3b=110解得：a=5b=30答：能制作竖式箱子分别为5个和30个；②设裁剪出B型板材m张，则可裁A型板材（78﹣m）张，由题意得：a+2b=9(78−m)4a+3b=3m整理得：13a+11b＝78×9，∴a=78×9−11b13=∵a，b都为整数，且a≥25，∴b是13的整数倍，∴当b＝13时，a＝54﹣11×1＝43，符合题意，此时a+b＝56；当b＝26时，a＝54﹣11×2＝32，符合题意，此时a+b＝58；当b＝39时，a＝54﹣11×3＝21＜25，不符合题意；综上，能制作两种箱子共56或58．故答案为：56或58．【考点评析】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．42．（2020春•海州区期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十二两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？（请用方程组解答）【思路点拨】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝12两，根据等量关系列出方程即可．【规范解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：9x=11y(10y+x)−(8x+y)=12解得x=33y=27答：每枚黄金重33两，每枚白银重27两．【考点评析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．43．（2021春•射阳县校级期末）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈，某校欲购买规格分别为300mL和500mL的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买1瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要90元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元．（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．（2）该校在校师生共2000人，平均每人每天都需使用10mL的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费10000元，则这批消毒液可使用多少天？【思路点拨】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买1瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要90元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，根据总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，再结合可使用时间＝免洗手消毒液总体积÷每天需消耗的体积，即可求出结论．【规范解答】解：（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙