2026初中数学9年级上(湘教)专题3.3 相似图形、相似三角形的判定(讲义)(解析版)

专题3.3相似图形、相似三角形的判定（举一反三讲义）





1

........................................................................................................................................3



2!

........................................................................................................................5



3"#$%&'

................................................................................................................................7



4"#()*&'

........................................................................................................................9



5"#(+,-./012)*&'

......................................................................................11



6"#3+,-./0&'

..........................................................................................................14



7456789:;(3)

......................................................................................................17



8<=;(3)

..........................................................................................................................20



9>?@;(A3)

..............................................................................................................23



10B3),B

........................................................................................................................27



11CD3)

................................................................................................................................30

知识点1相似图形

1.定义：把一个图形放大(或缩小)得到的图形与原图形是相似的.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，

或者说是相似形.两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形

叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比.

知识点2相似三角形

1.

'E

3)F*G3+./0(A3)HI3)JABCKA1B1C1LM@ABC

A1B1C1J△△△∽

△2.N*3)O3)/P

N*3)3)

QRSNTU(A3)HIN*33)F*G3+./0(A3)

'E

)HI3)

VWXYZ[\*XY][\^_'*

`a

,-+*./0

,-)**

/1bcd1LebcdfghiB

知识点3三角形相似的判定

jk(A3)FOY_A3)Llmn(A3)eJ

3)op'q

$%r3)_+stufg(+vDst,uw3)Ox3)J

1.'q1

()F,-*(A3)J

yzABCKKA′B′C′KL{A=A′LB=B′L|ABCA′B′C′J

2.'△q2

(+,-△./0Z2)∠∠*(A3)J∠∠△∽△

ABAC

A′B′C′A′A′B′C′

yzABCKKL{A′B′=A′C′LA=L|ABCJ

3.'△q3

3+,-△./0(A3)J∠∠△∽△

ABBCAC

yzABCKKA′B′C′L{L|ABCA′B′C′J

A′B′=B′C′=A′C′

s)△3)△&''q

jk_As)3)}+1_9s)+O~_As)3)}+1_9△∽△

s)+,-./0Llmn(As)3)J

4.3)€

VWv‚9:ƒ„…†

yzDE//BCLvc()F*(A3)

$%t

Y‡)Gˆ‰)*JADEABC



Š)6,‹)L()F*(A3)△∽△

B=AEDJADEACB

}Œ

∽

Š)(+,-.∠∠(+./0LZ2)*(A△△

AB

/0LAC3)JACBAED

AD=AE

△∽△

()F*(A3)

Ž

1=2

JACDABC

∠∠

△∽△

_‘),-*L

Š)’,-)“(+./0LZ2)*(A



(+,-./0L3)JABCA′B′C′

ABAC∠

2L△∽△

1=A′B′=A′C′

∠

【题型1识别相似图形】

01

’24-25”•–—·T˜™š·›œž“—Ÿ4

¡Ldd’“

AJBJCJDJ

¢£

A

F¤

¥

¦§d'ELX¨©SNYª[\^_'YJ«¬

XY­®J¯UL,4

__F¤L°±‰²¢£³bJ

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µ

AG(AXYLL¶U

·ª

BG(AX^YL^L^¶U

·ª

CG(AX^YL^L^¶U

·ª

DG(AX^YL^L^¶U

·¸

¹4

AJ

º»1-1

’2025¼•–—·N½·¾

ž“jL#¿[ÀÁ$ÂÃÄÅÆÇ¿[L|¿[ÈÉ(A

ÊËÌrJ’Í$ÎGÏ,­GG¡4“

¢£



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^Ôº[\bcÕ'Ln(AdÖLÍ×wØ¢£J

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µ

«¬'E1bzL#¿[ÀÁ$ÂÃÄÅÆÇ¿[L(AXYL[

\^YLÙÚn(AÖdL

¹¢£®

J

º»1-2

’24-25¼•–Û·ÜÝÞß·àá“âãä%…»åæåçèLc—é‘¡L^_

‘d’“퐿푂퐺푂

AJBJ

CJDJ

¢£

D

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¥

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¯U'E,4

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µ

A4

L(AXYL¶U'EL^¶U

·LA4

‰²ª

B4

L(AXYL¶U'EL^¶U

·LB4

‰²ª

C4

L(AXYL¶U'EL^¶U

·LC4

‰²ª

D4

L(AX^YL^¶U'EL¶U

·LD4

hÕJ

¹4

DJ

º»1-3

’24-25¼•–Û·Üšòó·àᓗŸô4

¡L$%rxhõ+_+stÁfF.(ö

FLf¡÷øöFõ+Oxõ+d’“

AJBJCJDJ

¢£

A

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¥

ùú¦§Òõ+&'L«¬õ+'Eð

ï%&ñ³bJ

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µ

AG÷ø3)Ox3),-)*G,-+/*L¶Uõ+'EL¶U

·ª

BG÷øûOxû,-)*L],-+/^*L^¶Uõ+'EL^¶U

·ª

CG÷øü+Oxü+,-)*L],-+/^*L^¶Uõ+'EL^¶U

·ª

DG÷øý+Oxý+,-)*L],-+/^*L^¶Uõ+'EL^¶U

·ª

¹4

AJ

【题型2由相似图形的性质求值】

02

’24-25¼•–Û·N½·þà@ÿ“D

ĀāĂăĄ¡LY

ã;#ąĆć¿[ĈJjL\

ĉÁ_Ċċ®5cmLČ®3cmûĈ¿[Lf¡¿[ÉûČ®9cmLlm¿[Éûċ®

’“

AJ15cmBJ18cmCJ20cmDJ25cm

¢£

A

F¤

¥

¦§õ+Lìíî/*Č/Gċ/dµ

ëJ

"#õ+µJ

´µ

µ

č¿[Éċ®cmJ

9



·

L푥

3=5

푥

µw

=15J

vc¿[Éûċ®푥15cmJ

¹4

AJ

º»2-1

’24-25¼•–Û·ĎďĐđ·àá“jL#¿[ÀĒØõ+Oxõ+/PL^ºd

’“

AJē9+ċĔBJēAˆ)ĔBCJĕĖDJėċ

¢£

B

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¦§zêdõ+Lµ

ëdìíîõ+J«¬õ+

³bwµJ

´µ

µ



·w

#¿[ÀĒØõ+Oxõ+/PdÖL

#¿[ÀĒØõ+Oxõ+/PLėċGĕĖGē9+ċĔċĔĘę[ÒL]ēAˆ)Ĕ

BĚě^ºJ

¹4

BJ

º»2-2

’24-25¼•–Û·ĜĝÝĞ·àá“jLé+Ké+Lê,-

êF®L|—Ÿ¯ğhÕd’“퐴퐵퐶퐷퐸퐹퐺퐻퐴, 퐵, 퐶, 퐷

퐸, 퐹, 퐺, 퐻

AJ=81°BJ=83°CJ=78°DJ=91°

¢£

∠퐷A∠퐹∠퐺∠퐻

F¤

¥

¦§Òõ+Lìíîõ+,-)*dµ

ëJ"#õ+

,-)*LĠ¯Ué+ˆ)K®360°Läē_Aˆ))ĔL³bwä¯ğJ

´µ

µ

é+Ké+L

==78°∵L퐴퐵퐶퐷==83°L퐸퐹퐺퐻==118°L=L

ġ∴∠퐹+∠퐵++∠퐺=∠퐶360°L∠퐴∠퐸∠퐷∠퐻

∵∠퐴=∠퐵=∠퐶∠퐷=81°J

¹4

∴∠퐻A∠퐷J360°−∠퐴−∠퐵−∠퐶

º»2-3

’2025¼•–—·N½·¾

ž“2024•10Ģ1ģLdĤ[ĥ½75ė•ĦħLN½ôĨĩĪ

īÒĬĭüĮįİ——½İJ½İ†?'

v½İĘ®ûLD—Ÿéĕ½İ¡Lf¡ı_ĕ

^¶UÇIJLnĕ½İdJ

¢£

’2“

F¤

¥

¦§Òõ+Lìzõ+,-+/*dµ

ëJ"#õ+,

-+/*µ³bJ

21203962642

´µ

µ160=L=L=L=L

240316041443963

∶∵

120

160=96=64L

24014496160

|’∴2“^¶UÇIJL≠

¹¢£®’2“J

∶

【题型3利用平行判定相似】

03

jLAB //CD //EFL|¡3),B®()

A.4,B.3,C.2,D.1,

¢£

B

F¤

Ú

¦§Ò3)&'

$%r3)_+stO3)~(+6~(+ijċtvĴ

.3)Jµ

ëd·L·IØ^T^ĵJ

AB//CD//EFL«¬$%r3)_+stO3)~(+6~(+ijċtvĴ.3)Lb

wACDAEFLECDEABLADBFDE.vc¡Š3,3)J

´µ

△∽△△∽△△∽△

µ

AB//CD//EFL

ACD∵AEFLECDEABLADBFDEJ

∴¡Š△∽△3,3)J△∽△△∽△

¹4∴BJ

º»3-1

jLABLCDŒrêOLAC//BD.ƒ

OACOBDJ

△∽△

¢£

ƒ„

AC//BDL

OACOBDJ

µ¤

¥

¦§3)&'J«¬$%r3)_+stOfg(+ŒLvĴ.3)∴△∽△

Ox3)LÚ³bƒ„Ķ

J

º»3-2

jLDABC¡LêDGMDABÛLêEGNFDBCGACÛLZDE//ACLMN//BCLDEŒMN

△

rêO.¡OABC3)õķAĸĹĺã`aäæLĻļ„qJ

△

¢£

µ

¡OABC3)3ALAMNABCLDBEABCLDMABCL

q

MN//BCL△△∽△△∽△△∽△

AMN∵ABCLDBEDMOL

∴DE△//AC∽L△△∽△

∵DBEABCL

∴△DMO∽△ABCJ

∴µ¤

¥

¦§Ò,3)&'-#L·

$%r3)_+stufĺ(+Lvuw△∽△

3)Ox3)J

«¬3)&'

$%r3)_+stufĺ(+Lvuw3)Ox3)L³bĽ

䢣J

º»3-3

jLD$%é+ABCD¡LFdADijċtÛ_êLľ¯BFŒDCrêEL|¡3)

Š,.

¢£

3

F¤

Ú

¦§Ò3)&'c1$%é+J·Ŀ¥bFM®“A”

K“X”

J

é+ABCDd$%é+L«¬$%r3)_+stOfg(+ŒLvĴ.3)Ox3)

LbwBCEFDELFDEFABL|bwBCEFABJ

´µ

△∽△△∽△△∽△

µ

é+ABCDd$%é+L

AD∵//BCLAB//CDL

∴

BCEFDELFDEFABL

∴△BCE∽△FABJ△∽△

∴¹3)Š△∽△3,J

【题型4利用两角相等判定相似】

04

’24-25¼•–Û·ŀ™Łß·àá“jLDdABC+BCÛ_êLBAD=CLABC$Ft

Œ+ACrêELŒADrêFL|D—Ÿłä3)¡LO△BDFd’∠“∠∠

△

AJBFABJBAECJBECDJAEF

¢£

△B△△△

F¤

¥

ùú¦§Ò3))$Ft'EL3)Ń)L3)&'*zêLì

íî3)&'dµ

ëJ

3))$Ft'EbwCBE=ABEL³DBF=ABEL3)Ń)bĽäBFD=BEALr

dbƒwBDFBAELZń¬yz9:LŅ†ƒ„∠∠∠∠BFAGBECGAEFOBDFLņÛL³bw∠∠

䢣J△∽△△△△△

´µ

µ

BEdABC$FtL

CBE=ABE∵L∠

³

∴∠DBF∠=ABEL

ġ∠BAD=∠CL

∵BFD∠=BAD∠+ABE=C+CBE=BEAL

∴∠BDF∠BAEL∠∠∠∠

∴Zń¬yz9:LŅ†ƒ„△∽△BFAGBECGAEFOBDFL

¹4

BJ△△△△

º»4-1

’24-25¼•–Û·ÜšŇň·›œž“jL>?@ʼnŊbzL—Ÿ(A3)_'

d’“

AJBCDACDBJBCDABC

CJ△ACD∽△ABCDJcÛĩ^,△∽△

¢£

△C∽△

F¤

ŋ

ùú¦§Ò>?@*)G3)&'Lµ

ëdíî3)&'J

«¬@bzACD=ABCL³bƒ„ACDABCJ

´µ

µ

«¬@bz∠∠ACD=ABC△L∽△

ġCAD=BACL∠∠

∠ACD∠ABCL

∴¹4

△C∽J△

º»4-2

’24-25¼•–Û·ŌōŎŏ·à¡“jLABBCLBDCDLACD=90°Lƒ

ABCCDBJ

⊥⊥∠△∽△

¢£

µ¤

F¤

¥

ùú¦§Ò3)&'L«¬Ő)wäA=BCDJ«¬ABC=CDB=90°L³

bƒ„¯ğJ∠∠∠∠

´µ

ƒ„

ACD=90°LABBCL

A+ACB=90°L∵∠BCD+ACB=90°⊥L

∴∠A=∠BCDJ∠∠

∴AB∠∠BCLBDCDL

∵ABC⊥=CDB⊥=90°J

∴∠ABC∠CDBJ

º»∴△4-3∽△

’24-25¼•–—·Ûő·þà@ÿ“jLDABC¡LACB=90°LAC=BCLPdABCˆ_êL

ZAPB=APC=135°Jƒ

CPAAPBJ△∠△

∠∠△∽△

¢£

µ¤

F¤

¥

ùú¦§3)&'Lì3)ˆ)K'qL*Œ3)&'O*zêJ¯

U

·LbwCAB=45°LÍ×bwäCAP+PAB=45°LġAPC=135°LwäACP=PABL³bƒ„CPA

APBJ∠∠∠∠∠∠△

´µ

ƒ„

∽△ACB=90°LAC=BCL

CAB=45°J∵∠

³∴∠CAP+PAB=45°J

∠APC=∠135°L

∵∠CAP+ACP=45°J

∴∠ACP=∠PABJ

∴∠APB=∠APC=135°L

∵∠CPA∠APBJ

∴△∽△

【题型5利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】

05

’24-25¼•–Û·ŌōŎŏ·›œž“jLDh…ABCD¡LêFdBC+Û_êLľœAFLc

AF®,)t@h…AEFGLľœACGDGLƒ

AFCAGDJ

△∽△

¢£

µ¤

F¤

¥

ùú¦§Òh…L3)&'L*Œs)3)L

Ŕ«¬h…wADCKAGFĩd*Œs)3)LĠ«¬*Œs)3)wDAC=GAF

ADAG2△△∠∠

=45°L==LŕÉ«¬(+./0Z2)*(A3)

ACAF2.

´µ

ƒ„

ACLAFFdh…ABCDKh…AEFC,)tL

∵

ADCKAGFĩd*Œs)3)L

△△ADAG2

∴DAC=GAF=45°L==L

ACAF2

∴∠DAG+∠CAG=CAF+CAGL

∴∠DAG=∠CAFL∠∠

∴∠AFC∠AGDJ

∴º»△5-1∽△

’24-25¼•–Û·™Ŗŗ߷ࡓjLêE,FFDh…ABCD+ADLCDÛLľœBEK

EFLAB=9LAE=3LDF=2Jƒ

ABEDEFJ

△∽△

¢£

µ¤

F¤

本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键．根据已知条件

DEABAEAD

求出，再证明DE=DF，又由正方形的性质，得=，根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相

似”即可证明出结论．∠∠

´µ

证明：四边形ABCD是正方形，AB=9，

AD=AB=9，A∵=D，

∴AE=3，∠∠

∵DE=AD−AE=9−3=6，

∴AB93

==，

DE62

∴

DF=2，

∵AE3

=，

DF2

∴ABAE

DE=DF，

∴ABEDEF．

º»∴△∽5-2△

’24-25¼•–Û·ŘÝřŚ·àá“yz

jLêCLDDtœABÛLPCDd*+3)L

ZAC=1LCD=2LDB=4Jƒ

ACPPDBJ△

△∽△

¢£

µ¤

F¤

Ú

¦§3)&'KL*+3)L«¬*+3)wØPCD=PDC

=60°LPC=CD=PD=2L«¬(+./02)*ƒwACPPDBJ∠∠

´µ

ƒ„

PCDd*+3)L△∽△

PCD=PDC=∵60°△LPC=CD=PD=2J

∴∠PCA=∠PDB=120°J

ġ∴∠AC=1∠LBD=4L

AC∵PC1

==L

PDBD2

∴ACPPDBJ

º»∴△5-3∽△

’24-25¼•–Û·śŜŝŞ·›œž“é+ABCD®$%é+LêEKêFF®+ADLAB

¡êLľœEFGCFLEFŒ,)tACrêGJ

(1){AC=8LAGċª

(2)jkAB=ACLƒ

AFGACFJ

¢£

(1)2△∽△

(2)ƒ„µ¤

EFBDAGAFAG

F¤

’1“«¬3)¡‡t'qwL$%tFtœ./0'qwGO=FB=1Lş×wØ=

∥

GOL«¬$%é+wAO=OCLĽäAG=1ACLbw¯ğª

4

AF1AG1

’2“«¬¡ê'E1yzw=L’1“zAG=1ACLĽä=L³bwƒJ

AC24AF2

´µ

’1“µ

jLľœBDŒACrêOL

êEKêFF®+ADLAB¡êL

∵EFdABD¡‡tLAF=FB

∴EFBD△L

AGAF

∴∥L

GO=FB=1

∴AG=GOL

∴é+ABCD®$%é+LAC=8L

∵AO=OCL

∴AG=1AO=1×1AC=1×8=2L

2224

∴AGċ®2ª

∴’2“ƒ„

F®+AB¡êL

AF=1ABL∵

2

∴AB=ACL

AF1

∵=L

AC2

∴

AG=1AC

4

∵AG1ACAC1

=4==L

AF1AB2AC2

2

∴AFAG

L

AC=AF

∴FAG=CAFL

∵∠AFG∠ACFJ

êŠ

¥

¦§3)¡‡t'qL$%é+L$%tFtœ./0'qL3)&'∴△∽△

*zêJíî$%tFtœ./0'qK3)&'dµ

ëJ

【题型6利用三边对应成比例判定相似】

06

24-25¼•–Û·šŢţÝ·àá“yz

jLABE=90°LZAB=BC=CD=DE=1LŤťŦŧŨ

∠

Ovł9:LŕÉũä_,3)LĻƒ„ŪūŬJ

¢£

ACDECAªµ¤

F¤

¥

ùú¦§Ò3)&'LŭŮ'qLŔ«¬ŭŮ'q△∽△äAC=2,AD=5,AE=10Lw

ACDCADACDECA

äEC=AC=EAL«¬39+,-./0(A3)LwäJ

´µ

ƒ„

ACDECAJ△∽△

ŭŮ'qAC=△2,AD=∽△5,AE=10L

ACDCAD

=2,=1=2,=5=2L

EC2AC22EA102

ACDCAD

L

EC=AC=EA

∴ACDECAJ

∴º»△6-1∽△

’24-25¼•–Û·ŘÝů·à¡“yzABCKDEF3+ċL—Ÿ9:Q&ñĺã

d’“△△

AJAB=4LBC=8LAC=10ªDE=20LEF=16LDF=8

BJAB=3LBC=4LAC=6ªDE=6LEF=8LDF=9

CJAB=12LBC=15LAC=24ªDE=16LEF=30LDF=20

DJAB=3kLBC=4kLAC=5kªDE=6kLEF=7kLDF=8k(k>0)

¢£

A

F¤

¥

¦§Ò3)&'L«¬3)&''qð_&ñ³bJ

ABBCAC1

´µ

µ

AG=1==1==L

DF2EF2DE2

(A3)3+./0L¹(A3)ª∵

∴AB1BC1AC2

BG===≠=L

DE2EF2DF3

(A3)3+^./0L¹(A3)^ª∵

∴AB3BC3AC4

CG===≠=L

DE4DF4EF5

(A3)3+^./0L¹(A3)^ª∵

∴

AB1BC4AC5

DG=≠=≠=L

DE2EF7DF8

(A3)3+^./0L¹(A3)^ª∵

¹4

∴AJ

º»6-2

’24-25¼•–—·ĎďŰű·›œž“jD4×1…Ų¡Lē_A\h…‹êHIŲêL

cf¡3AŲꮋê3)­®Ųê3)LABCųd_AŲê3)LŴÍŲêDGEGFGG¡4

ŵ_AŲêOêBGCľœ.Ųê3)LQ;ŋŲê△ABC3)OŲêd’“

△

AJêDBJêECJêFDJêG

¢£

C

F¤

¥

ùú¦§Ò3)&'LŭŮ'qL«¬3+,-./03)ï%µ³bJ

´µ

µ

ľœBFLjL

ŶŲVêbzAB=2LBC=12+12=2LAC=12+32=10L

CF=1,BF=5

BCABAC

CF=BC=BF=2

∴ABCBCF

∴¹4

△C∽J△

º»6-3

jL”ASNY\ċ…ŷ._Ah…ŶŲL\ŸG\ŹG\źG\Żé‡Y

#Ņ

żĔs>DŶŲ¡ôŽÒ_Až)3)Lf¡ſ3)d’ƀƀ“

AJKBJKCJKDJK

¢£

①D②②③①③①④

F¤

¥

¦§ŶŲ¡3)LƁƂbz\ċ…ċdČ2ƃLč\ċ…Č®aL|

\ċ…ċ®2aLh…+ċ®4aLFäēA3)+ċL«¬3+,-./0(A3)

Lï%&ñ³bJ

´µ

µ

ƁƂbz

\ċ…ċdČ2ƃLč\ċ…Č®aL|\ċ…ċ®2aLh…

+ċ®4aL

3)39+ċF®

2a,(2a)2+(2a)2=22a,(2a)2+(4a)2=25aL

①

3)39+ċF®

2a,(2a)2+(3a)2=13a,(3a)2+(4a)2=5aL

②

3)39+ċF®

2a,(2a)2+(4a)2=25a,(4a)2+(4a)2=42aL

③

3)39+ċF®

(2a)2+(a)2=5a,(a)2+(3a)2=10a,(3a)2+(4a)2=5aL

④aaa2

2=22=25=L

5a105a5

∵K(A3)ª

¹4∴①DJ④

【题型7选择或补充条件使两三角形相似】

BCCD

0

jLDABC¡LêD®+ACÛ_êL45—Ÿ9:

AªCBAªª

72=1=AC=BC

BCDB△①∠∠②∠∠③

¡_ALQwäABCKBCDd

’Ƅƅ“J

AC=AB

④△△

¢£

F¤

«¬3)&''qbw¯ğJ①②③

´µ

µ

2=ALC=CƆLABCBDCL¹¶U

·ª

1=CBAL①C∠=∠CƆL∠ABC∠BDC△L¹∽△¶U

·ª①

BCCD

②∠∠LC∠CƆL∠ABC△∽BDC△L¹②¶U

·ª

AC=BC=

③∠∠△∽△③

BCDB

LCCƆL^QĽäABCBDCL¹^¶U

·L

AC=AB=

¹¢£®

④∠∠J△∽△④

êŠ

¥

¦§Ò3)&'Lµ

ëdíî(‘,-+,-./0Z2)*(A3)①②③

ª(),-*(A3)J

º»7-1

’24-25¼•–Û·ƇƈƉƊ·àá“jLDé+ABCD¡L,)tAC$FBADLAB=9L

AC=6L|ú;ABCACDLıúAD=J∠

△∽△

¢£

4

F¤

¥

¦§3)&'L«¬(‘,-+./0LZ2)*(A3)Lï%µ

³bJ

´µ

µ

AC$FBADL

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∵AEM∥=CNDL

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∴AE∠BCL∠

∵AEM∥=CNDL

∴∠MAE∠DCNL¹B^¶U

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∴∠∠

1=4L

∵∠B+∠4=180°L

∴∠CD∠BML

∴CDN∥=AMEL

∴AE∠BCL∠

∵AEM∥=CNDL

∴∠MAE∠DCNL¹C^¶U

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【题型8裁剪使两三角形相似】

08

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∴△¡Lı∽△C=CL^¶U3)&'L

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¹4

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180°−70°−75°=35°L|(3)N*ª

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∴AOC=DOBL

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