2026新教材数学 22.4.1 相似三角形对应线段的性质 课件沪科版数学九年级上册

22.4相似三角形的性质

第1课时相似三角形对应线段的性质第22章相似形导入新课上面北京故宫太和殿的斗拱和房梁结构图.故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一,距今已有600多年历史.古代工匠没有现代的测量仪器,却能按照1:100甚至更小的比例图纸,精准建造出几十米高的宫殿.他们的秘诀就藏在相似三角形的性质里.我们已经学习了全等三角形的性质,全等三角形的对应高、对应角平分线、对应中线有什么关系？全等三角形的对应高、对应角平分线、对应中线都相等全等是相似的特殊情况（相似比为1）,如果两个三角形相似比为k（k≠1）,那么它们的对应高、对应角平分线、对应中线还会相等吗？你能大胆猜想它们之间的关系吗？不会相等，猜想它们的比和相似比k有关系知识模块相似三角形对应线段的性质探究新知小王以1:2的比例建造了模型房梁△A'B'C'，CD和C'D'分别是它们的立柱.△ACD与△A'C'D'相似吗？为什么？相似.因为△ABC∽△A'B'C',所以∠A=∠A';又因为CD⊥AB,C'D'⊥A'B'，所以∠ADC=∠A'D'C'=90°.根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△ACD∽△A'C'D'由△ACD∽△A'C'D'，你能推出CD

与

C'D'的比和△ABC与△A'B'C'的相似比有什么关系吗？

如果图纸上的立柱CD=1.5cm,那么实际建造的模型房立柱C'D'有多高？C'D'=2×CD=3cm刚才我们证明了对应高的比等于相似比，那么对应角平分线的比是否也等于相似比呢？请你仿照刚才的方法,写出已知、求证并证明.

证明:由相似得∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C'因为角平分线,

故∠BAD=∠B'A'D'.所以△ABD∽△A'B'D'，

类似地,你能证明相似三角形对应中线的比等于相似比吗？

因为中线,

所以△ABD∽△A'B'D'，

通过以上证明,我们得到了相似三角形的第一个重要定理,你能完整地总结出来吗？相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.

你能提出更一般性的问题吗？与同伴进行交流.

相似三角形所有对应线段的比都等于相似比.交流讨论1.△ABC∽

△A1B1C1，AD和

A1D1

是

BC和

B1C1边上的高，已知

AB

=8cm，

A1B1=3cm，则

△ABC与

△A1B1C1

的对应高之比为

.8:3练一练2.如图、电灯

P

在横杆

AB的正上方，AB

在灯光下的影子为

CD，AB∥CD，AB=2m，CD=4m，点

P

到

CD

的距离是3m，则

P

到

AB

的距离是

m.PADBC241.5如图，AD是

△ABC的高，点

P，Q在

BC边上，点

R在

AC边上，点

S在

AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形

PQRS是正方形.(1)AE是

△ASR的高吗？为什么？(2)

△ASR与

△ABC相似吗？为什么？(3)求正方形

PQRS的边长.SRQPEDCBA案例分析解：

AE是

△ASR的高.

SRQPEDCBA(1)AE是

△ASR的高吗？为什么？理由：∵AD是

△ABC的高，∴∠ADC=90°.∵四边形

PQRS是正方形，∴SR∥BC.∴∠AER=∠ADC=90°.

∴

AE是

△ASR的高.(2)

△ASR与

△ABC相似吗？为什么？SRQPEDCBA解：△ASR与

△ABC相似.

理由:∵SR∥BC，∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.∴△ASR与

△ABC相似.是方程思想哦！解：∵△ASR∽△ABC，AE、AD分别是

△ASR和

△ABC对应边上的高，SRQPEDCBA(3)求正方形

PQRS的边长.

∴正方形

PQRS的边长为24cm.变式：如图，AD

是

△ABC

的高，点

P，Q

在

BC

边上，点

R

在

AC

边上，点

S

在

AB

边上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形

PQRS

的长是宽的2倍，你能求出这个矩形的面积吗？SRQPEDCBA设

SP=xcm，则

SR=2xcm.分析：情况一：SR=2SP

所以x=2，2x=4.S矩形PQRS

=2×4=8cm2.SRQPEDCBA设

SR=xcm，则

SP=2xcm.分析：情况二：SP=2SR

所以x=2.5，2x=5.S矩形PQRS

=2.5×5=12.5cm2.SRQPEDCBA原来是分类思想呀例1如图,一块三角形铁皮,它的边BC=80

cm,高AD=60cm.要把该铁皮加工成矩形零件,使矩形的两边之比为2∶1,且矩形长的一边位于边BC上,另两个顶点分别在边AB,AC上.求这个矩形零件的边长。典例精析解:如图,矩形PSRQ为加工后的矩形零件,边SR在边BC上,顶点P,Q分别在边AB,AC上,△ABC的高AD交PQ于点E.设PS为xcm,则PQ为2xcm.答:这个矩形零件的相邻两边长分别是48cm和24cm.∵PQ∥BC,

解方程,得x=24,则2x=48.∴△APQ∽△ABC.1.已知两个相似三角形的对应边的中线的比为4∶1,则它们对应高的比为 (

)A.2∶1

B.4∶1

C.1∶2

D.16∶12.若两个相似三角形对应角的平分线的比为5∶3,则这两个三角形的相似比为 (

)A.5∶3

B.3∶5

C.25∶9

D.5∶3BA巩固练习

B

5.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B'，设AB＝36cm，A'B'＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A'B'的距离为

cm.20

6.如图,△ABC中,内接矩形DEFG的一边DE在BC上,AH是BC上的高,AH交GF于点K,BC=48,EF=10,DE=18.求AK的长