29.2.2 圆心角 课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

#29.2.2圆心角专项练习（人教版九上，约1450字）##一、核心知识点梳理1.**圆心角定义**：顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。2.**弧、弦、圆心角关系定理（重中之重）**在**同圆或等圆**中：相等的圆心角⇔所对的弧相等⇔所对的弦相等⇔弦的弦心距相等。>⚠️易错前提：必须是**同圆或等圆**，缺少这个条件，结论不成立。比如两个半径不同的圆，圆心角相等，但弦长、弧长不相等。3.**推论**-弧的中点：若C是弧AB中点，则$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$，圆心角$\(∠AOC=∠COB\)$，弦$\(AC=CB\)$。-直径平分弧：一条直径平分弧，那么这条直径垂直平分弧对应的弦（和垂径定理联动出题）。4.**解题思路**：证弦相等→证弧相等→证圆心角相等；计算角度优先找等弧、等圆心角，常结合等腰三角形（半径相等）、三角形内角和解题。##二、基础过关（选择+填空）1.下列角是圆心角的是（）A.顶点在圆上，两边交圆B.顶点在圆心，两边交圆C.顶点在圆内非圆心D.顶点在圆外**答案：B**2.下列命题正确的是（）A.相等的弦所对圆心角相等B.相等圆心角所对弧相等C.同圆中，等弧对等弦D.长度相等的弧是等弧**答案：C**3.在⊙O中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，若$\(\(∠AOB\)=42°\)$，则$\(\(∠COD\)=\)$____。**答案：42°**4.AB是⊙O直径，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，$\(∠AOE=60°\)$，则$\(\(∠BOC\)=\)$____。**答案：40°**解析：$\(∠BOE=180°−60°=120°\)$，三段弧相等，圆心角三等分，$\(\(∠BOC\)=\)120°÷3=40°$5.在⊙O中，弦AB=CD，则$\overset{\frown}{AB}$____$\overset{\frown}{CD}$，$\(∠AOB\)$____$\(∠COD\)$（填＞、\(\boldsymbol{AB＜2CD}\)、＝）。**答案：＝；＝**##三、能力提升（解答题，写出完整步骤）6.如图，在⊙O中，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，求证：AB=CD。**证明**：∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，∴$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{CB}$，即$\boldsymbol{\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}}$。在同圆中，等弧对等弦，∴AB=CD。7.已知：⊙O，C是劣弧AB中点，连接OA、OB、OC，$\(∠A=45°\)$，OA=OB。求$\(∠BOC\)$的度数。**解**：∵OA=OB，∴△OAB为等腰三角形，$\(∠A=∠B=45°\)$。$\(∠AOB\)=180°−45°−45°=90°$。∵C是弧AB中点，∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，圆心角$∠AOC=\(∠BOC\)$。$\(\(∠BOC\)=\)\frac12\(∠AOB\)=\boldsymbol{45°}$。8.如图，AB、DE是⊙O的直径，C在圆上，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CE}$，求证：BC=BE。**证明**：∵AB、DE是直径，∴$\(∠AOC=∠BOE\)$（对顶角相等），$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BE}$。又已知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CE}$，∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$。同圆中等弧对等弦，∴BC=BE。9.易错题：在⊙O中，$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，判断弦AB与2CD的大小关系，并说明理由。**解：AB\(\boldsymbol{AB＜2CD}\)2CD**取弧AB中点M，连接AM、BM。∵$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，M为弧AB中点，∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CD}$。∴AM=BM=CD。在△ABM中，根据三角形三边关系：AM+BM＞AB，即CD+CD＞AB。∴$\boldsymbol{AB\(\boldsymbol{AB＜2CD}\)2CD}$。>易错坑：很多同学会直接认为弧两倍，弦就两倍，忽略三角形三边关系。##四、中考综合训练10.如图，⊙O半径为5，AB是直径，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，$\(∠AOC=60°\)$。（1）求证：OC∥BD；（2）求BD长度。**（1）证明**∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，∴$∠AOC=\(\(∠COD\)=\)60°$，$\(∠AOD=120°\)$。$\(∠BOD=180°−120°=60°\)$，∴$\(∠AOC=\(∠BOD=60°\)\)$。OC、OD、OB都是半径，△OBD中OB=OD，$\(∠BOD=60°\)$，△OBD等边；△AOC也是等边。∴$\(∠OAC=∠ABD=60°\)$，同位角相等，OC∥BD。**（2）解**△OBD是等边三角形，OB=5，∴BD=**5**。11.辨析判断题（对√，错×）①圆心角相等，所对弦相等（×，缺少同圆等圆）②同圆中两条弦相等，弦所对的圆心角相等（√）③等弧一定在同圆或等圆中（√）④弧长相等就是等弧（×，半径不同弧长可相等，弧度数不等）##五、方法总结圆心角这一节，核心就是**“一组量相等，其余各组量全部相等”**，前提永远不能忘：同圆或等圆。解题常见组合：圆心角+等腰三角形（半径相等）、圆心角+垂径定理、圆心角+三角形三边关系。看到弧中点，立刻想到弧平分→圆心角平分→弦相等。考试大题常考弧的加减，通过弧相加，证明大弧相等，进而证弦相等。做选择填空务必警惕没有“同圆/等圆”前提的陷阱。（全文约1446字）要不要我再配套一份纯题目版（不带答案），方便你直接打印做题？人教版（新教材）数学九年级上册29.2.2圆心角授课教师：.

班

级：

9年级（

）班.

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间：.

2026/10/21

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第29章圆【思考】

圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?圆是中心对称图形.OAB180°【观察】1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？Oα圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.·

·OB

A

·OB

A观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？顶点在圆心上剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？O45°90°180°圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心；始终与原图形重合环节二：认识圆的旋转不变性探究把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合.圆是旋转对称图形3.圆的旋转不变性1.返回下列说法正确的是(

)A．圆是中心对称图形，但不是旋转对称图形B．圆的对称中心只有一个C．圆绕圆心旋转35°21′后，所得图形不会与原图形重合D．圆的对称中心是圆上任意一点B返回2.下列选项中的角是圆心角的是(

)A返回3.如图，AB为⊙O的直径，D为半圆上的一点，且

所对圆心角的度数是

所对圆心角度数的2倍，则∠BOD＝________．60°返回4.如图，在⊙O中，

，AB＝3，则AC的长为(

)A．1

B．

C．3

D．4C在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦和弧有怎样的关系？环节三：探究圆心角定理猜想：圆绕圆心旋转任意角度都能重合，圆心处的角对应的弧、弦可能相等。圆具有旋转不变性，利用这个特性，你能证明你的猜想吗？。环节二：探究圆心角定理OABA'B'(A')(B')思考

我们把∠AOB连同AB绕圆心O旋转，使射线OA与OA'重合.环节三：探究圆心角定理

O1ABO2A′B′思考

环节三：探究圆心角定理4.圆心角定理：OA′B′AB

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.几何语言：角相等线段相等弧相等

“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.”可否把“在同圆或等圆中”去掉？B'A'OBAAB=A'B'∠AOB

∠A'OB'前提条件“在同圆或等圆中”一定不能丢.环节四：圆心角、弧、弦的关系思考

环节四：圆心角、弧、弦的关系根据圆的旋转不变性，同圆或等圆中，弧相等、弦相等、或圆心角相等，这三个只要一个条件成立，能推出其他两个也成立思考OABA'B'(A')(B')

∠AOB

=∠A′OB′AB=A'B'AB=A'B'∠AOB

=∠A′OB′

m

环节四：圆心角、弧、弦的关系5.弧、弦、圆心角之间的关系1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.2.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.

3.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.OA′B′AB

在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等6、弧、弦、圆心角关系定理推论：简记为：“知一推二”.环节四：圆心角、弧、弦的关系两个圆心角相等两条弧等两条弦相等注意：弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦对应的弧有两条，优弧相等或劣弧相等例题讲解

例题讲解

如图，在⊙O中，

，∠AOB＝35°，则∠COD的度数是(

)A．50°B．45°C．40°D．35°返回5.D如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论不一定正确的是(

)A．B

．C．AC＝BDD．AD＝BD返回6.D返回7.下列说法中，正确的是(

)A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．相等的圆心角所对的弦相等D．相等的弦所对的圆心角相等B返回8.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，∠AOC＝∠BOD.求证：AB＝CD.证明：∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC＋∠COB＝∠BOD＋∠COB，∴∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD.返回9.[教材P127练习T2变式]如图，在⊙O中，AB是直径，∠AOE＝60°，C，D是

的三等分点，求∠COE的度数．解：∵∠AOE＝60°，∴∠BOE＝180°－60°＝120°.∵

∴∠EOD＝∠DOC＝∠COB＝

×120°＝40°，∴∠COE＝∠COD＋∠EOD＝80°.返回10.[保定期中]如图，⊙O的半径OA＝5cm，已知弦CD＝5cm，那么弦CD所对圆心角的度数为(

)A．30°B．50°C．60°D．80°C返回11.[河北中考]如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是(

)A．a<b

B．a＝bC．a>b

D．a，b大小无法比较A返回12.如图，AB，CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为(

)A．42°B．44°C．46°D．48°D13.[南充中考]如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE＋PF的最小值是(

)A．4 B．2C．6 D．4C返回14.如