第二十五章 一元二次方程【章末复习】 课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

#第二十五章一元二次方程全章复习（人教版）##✅一、一元二次方程概念###定义只含有**一个未知数**，未知数最高次数是$\boldsymbol{(\boldsymbol{2})}$，且**二次项系数≠0**的整式方程。一般形式：$$\boldsymbol{ax^(\boldsymbol{2})+bx+c=0\quad(a,b,c(\boldsymbol{ax^2+bx+c=0\quad(a,b,c是常数，\boldsymbol{a≠0})})\boldsymbol{a≠0})}$$-$ax^(\boldsymbol{2})$：二次项，$a$为二次项系数-$bx$：一次项，$b$为一次项系数-$c$：常数项>>注意：1.必须是**整式方程**；分母不能含未知数；(\boldsymbol{2}).判断是不是一元二次方程，一定要先整理成一般形式，再看$a≠0$。**例**：$(\boldsymbol{2})x^(\boldsymbol{2})-5x-1=0$，$a=(\boldsymbol{2}),b=-5,c=-1$##✅二、一元二次方程四种解法###1.直接开平方法适用：$x^(\boldsymbol{2})=p$或$(mx+n)^(\boldsymbol{2})=p$-$(p(>0))$：两个不等实根；-$(p=0)$：两个相等实数根；-$(p<0)$：无实数根。###(\boldsymbol{2}).配方法步骤：移常数项→二次项系数化为1→两边加上**一次项系数一半的平方**→写成$(x+m)^(\boldsymbol{2})=n$，再开方。用途：解方程；求二次三项式最值。###3.公式法（万能法）先算判别式$\boldsymbol{\Delta=b^(\boldsymbol{2})-4ac}$$$\boldsymbol{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^(\boldsymbol{2})-4ac}}{(\boldsymbol{2})a}\quad(a≠0,\Delta\ge0)}$$判别式$\Delta$：-$\boldsymbol{\Delta(>0)}$：两个不相等实数根-$\boldsymbol{\Delta=0}$：两个相等实数根-$\boldsymbol{\Delta<0}$：没有实数根###4.因式分解法（优先选用）原理：若$A\cdot(B=0)$，则$(A=0)$**或**$(B=0)$步骤：移项使右边=0，左边因式分解，拆为两个一次方程求解。>>❗禁止两边直接除以含未知数的式子，会丢根。>>解法选择顺序：**因式分解法＞直接开平方法＞配方法＞公式法**##✅三、根与系数的关系（韦达定理）$ax^(\boldsymbol{2})+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1,x_(\boldsymbol{2})$，前提：$\boldsymbol{\Delta\ge0}$$$\boldsymbol{x_1+x_(\boldsymbol{2})=-\dfrac{b}{a}},\quad\boldsymbol{x_1x_(\boldsymbol{2})=\dfrac{c}{a}}$$常用变形：$x_1^(\boldsymbol{2})+x_(\boldsymbol{2})^(\boldsymbol{2})=(x_1+x_(\boldsymbol{2}))^(\boldsymbol{2})-(\boldsymbol{2})x_1x_(\boldsymbol{2})$$\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_(\boldsymbol{2})}=\dfrac{x_1+x_(\boldsymbol{2})}{x_1x_(\boldsymbol{2})}$$(x_1-x_(\boldsymbol{2}))^(\boldsymbol{2})=(x_1+x_(\boldsymbol{2}))^(\boldsymbol{2})-4x_1x_(\boldsymbol{2})$##✅四、一元二次方程实际应用（三大必考模型）应用题通用六步：**审→设→列→解→验→答**>>检验：解要满足正数、符合现实意义，舍去不合理根1.**平均变化率（增长率/下降率）**基数$a$，两次变化后$b$增长：$\boldsymbol{a(1+x)^(\boldsymbol{2})=b}$下降：$\boldsymbol{a(1-x)^(\boldsymbol{2})=b}$(\boldsymbol{2}).**传播问题**1人患病，每轮1人传染$x$人，两轮总感染人数：$\boldsymbol{(1+x)^(\boldsymbol{2})}$>>注意初始传染源不一定是1！3.**几何面积问题**矩形、道路平移、靠墙篱笆、剪正方形折无盖盒子；边长$(>0)$。>>补充：销售利润问题>单件利润=售价−进价；总利润=单件利润×销售量##✅五、高频易错点汇总1.一元二次方程，**$a≠0$**是前提，参数题容易忽略；(\boldsymbol{2}).求根公式：$x_1+x_(\boldsymbol{2})$有负号，最容易丢；2.因式分解法：必须移项让右边=0；3.增长率：是$(1+x)^(\boldsymbol{2})$，不是$1+x^(\boldsymbol{2})$；4.应用题解完**一定要检验**，负数、超出范围的值舍去；5.使用韦达定理，必须保证$\Delta\ge0$，参数题最后一定要检验判别式。##📝章末基础小测1.判断：$3x^(\boldsymbol{2})-(\boldsymbol{2})x=1$是一元二次方程，化成一般式二次项系数3，一次项$-(\boldsymbol{2})$，常数项1（）(\boldsymbol{2}).方程$x^(\boldsymbol{2})-6x+8=0$，$\Delta=$****，根为****____。2.$x_1,x_(\boldsymbol{2})$是$(\boldsymbol{2})x^(\boldsymbol{2})-4x-1=0$两根，则$x_1+x_(\boldsymbol{2})=$****，$x_1x*(\boldsymbol{2})=$***_。3.原价(\boldsymbol{2})00元，连续两次涨价，增长率$x$，两次后(\boldsymbol{2})88元，方程：________。答案1.×一般式$3x^\(\boldsymbol{2}\)-\(\boldsymbol{2}\)x-1=0$，常数项是$-1$\(\boldsymbol{2}\).$4$；$x_1=\(\boldsymbol{2}\),x_\(\boldsymbol{2}\)=4$3.$\(\boldsymbol{2}\)，-\dfrac1\(\boldsymbol{2}\)$4.$\(\boldsymbol{2}\)00(1+x)^\(\boldsymbol{2}\)=\(\boldsymbol{2}\)88$要不要我给你一份**全章综合检测卷（带详细解析）**，或者精简版背诵提纲用来考前快速记忆？人教版（新教材）数学九年级上册单元复习授课教师：.

班

级：

9年级（

）班.

时

间：.

2026/10/21

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第二十五章一元二次方程Δ＝b2－4ac知识结构

考点精讲

典例专练

反馈练习

回顾反思实际问题配方法实际问题的答案一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根

公式法因式分解法设未知数，列方程解方程检验降次知识结构

考点精讲

典例专练

反馈练习

回顾反思考点1一元二次方程的基本概念1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为

ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)知识结构

考点精讲

典例专练

反馈练习

回顾反思考点1一元二次方程的基本概念3.项数和系数：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)一次项：

ax2

一次项系数：a二次项：

bx

二次项系数：b常数项：c4.注意事项：(1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2；(3)二次项系数不为0； (4)整式方程．

5.一元二次方程的根：使一元二次方程等号左右两边相等的未知数的值．知识结构

考点精讲

典例专练

反馈练习

回顾反思考点2解一元二次方程的方法一元二次方程的解法适用的方程类型直接开平方法配方法公式法因式分解x2+px+q=0

(p2-4q≥0)

(x+m)2＝n(n≥0)

ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)(x+m)

(x+n)

＝0知识结构

考点精讲

典例专练

反馈练习

回顾反思考点2解一元二次方程的方法

知识结构

考点精讲

典例专练

反馈练习

回顾反思考点3一元二次方程在生活中的应用列方程解应用题的一般步骤：审设列解检答（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．（2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法．（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．（4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．（5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．增长率问题病毒传播问题几何问题销售问题循环赛问题1.返回下列方程一定是一元二次方程的是(

)A．ax2＋bx＋c＝0 B．

＋x－1＝0C．2x2－9＝0 D．x2＝(x－1)(x－2)C考点1一元二次方程及相关概念返回2.若关于x的一元二次方程(k－3)x2－5x＋k2－9＝0的一个解为x＝0，则k＝________．－3返回3.【新考法逆向思维法】已知方程x2－6x＋4＝□，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成(x－p)2＝7的形式，则印刷不清楚的数字是(

)A．6B．9C．2D．－2C考点2一元二次方程的解法返回4.如图所示的是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为(

)C解下列方程：(1)(2x－1)2＝49；返回5.解：直接开平方，得2x－1＝±7.

∴x1＝4，x2＝－3.(2)x2＋2x－1＝0；解：移项，得x2＋2x＝1.配方，得x2＋2x＋1＝1＋1，即(x＋1)2＝2.返回(4)3x(x－1)＝2－2x.返回解：移项，得3x(x－1)＋2x－2＝0.因式分解，得(x－1)(3x＋2)＝0，∴x－1＝0或3x＋2＝0，∴x1＝1，x2＝

[北京中考]若关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为(

)A．－4B．－1C．1D．4返回6.C考点3一元二次方程根的判别式返回7.[广州中考]关于x的方程x2－x＋k2＋2＝0的根的情况为(

)A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根C返回8.【新视角条件开放题】[南通中考]已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：________________.0(答案不唯一)返回9.【新视角新定义题】[保定高碑店期中]若一个一元二次方程有一个实数根为1，则称该方程为“归一方程”．例如：x2－4x＋3＝0就是“归一方程”．(1)一元二次方程2x2＋x－3＝0________“归一方程”；(填“是”或“不是”)是(2)若关于x的一元二次方程ax2－4x＋c＝0为“归一方程”，且方程有两个相等的实数根，求a和c的值．返回解：∵ax2－4x＋c＝0为“归一方程”，∴ax2－4x＋c＝0有一个实数根为1，∴a－4＋c＝0，∴c＝4－a.∵方程ax2－4x＋c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－4)2－4ac＝(－4)2－4a(4－a)＝0，整理，得a2－4a＋4＝0，即(a－2)2＝0，∴a＝2，∴c＝4－2＝2.返回10.[乐山中考]若方程x2－x－2＝0的两个根是x1和x2，则x12x2＋x1x22的值为(

)A．－1

B．1C．－2D．2C考点4一元二次方程的根与系数的关系返回11.若一个菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程x2－10x＋m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为(

)C返回12.若a≠b，且a2－4a＋1＝0，b2－4b＋1＝0，则(1)a＋b的值为________；4113.毕业前夕，班主任王老师让每一名同学给班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条，这个班级的学生总人数是(

)A．40B．30C．29

D．39B返回考点5一元二次方程的实际应用14.[威海中考]如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边