2026新教材数学 4.5.2 利用二次函数解决利润及其他问题 课件湘教版数学九年级上册

第4章二次函数4.5二次函数的应用九年级数学XJ上第2课时利用二次函数解决利润及其他问题情景导入1．小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，设一边长____cm，则另一边为________cm，面积为_______cm2，所围矩形最大面积为____cm2.x(4－x)x(4－x)42．如图，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B＝30°.若设边长AB＝xcm.(1)▱ABCD的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式为____________，自变量x的取值范围为__________；(2)当x取____时，y的值最大，最大值为____．

0<x<422自学互研知识模块一利润问题例1

某玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出

180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？解设商品的销售单价上涨x(0≤x≤18)元，则每月减少的销售量为10x件，实际销售量为(180-10x)件，单件利润为(30+x-20)元.将一个月内获取的商品总利润记为y元，则y=(10+x)(180-10x)=-10x²+80x+1800=10(x-4)²+1960.当x=4，即销售单价为34元时，y取最大值1960.答:当销售单价定为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元

例2

一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次(最低档次)的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？解：设生产

x档次的产品时，每天所获得的利润为

w元，则w

=

[12+2(x－1)][80－4(x－1)]=

(10+2x)(84－4x)=

－8x2+

128x

+

840=

－8(x－8)2+

1352.因为

x

≤

9，故当

x

=

8

时，w

有最大值，且w最大

=

1352.答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352元.求最大利润问题常用公式是什么？利润＝销售总金额－总成本＝(售价－进价)×销售量－其他支出．

【例1】某单位商品利润y元与变化的单价x之间的关系式为：y＝－5x2＋10x，当0.5≤x≤2时，最大利润是____．5元【变例1】某产品每件的成本是120元，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的月销售量y(件)满足当x＝130时，y＝70；当x＝150时，y＝50，且y是x的一次函数，为获得最大销售利润，每件产品的售价应定为_______．160元【变例2】大学生王强积极响应“自主创业”的号召，准备投资销售一种进价为每件40元的小家电，通过试营销发现，当销售单价在40元至90元之间(含40元和90元)时，每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示．(1)y与x的函数关系式为____________________；y＝－4x＋360(40≤x≤90)(2)设王强每月获得的利润为P(元)，求P与x之间的函数关系式；如果王强想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为多少元？解：P＝(x－40)(－4x＋360)＝－4x2＋520x－14400(40≤x≤90)，当P＝2400时，－4x2＋520x－14400＝2400，解得x1＝60，x2＝70，∴销售单价应定为60元或70元．知识模块二其他问题【例2】足球作为一项重要的体育运动，越来越受到广大体育爱好者的喜欢，校园足球更是同学们的最爱．在一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，已知球门高OB为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m，现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示．(1)求抛物线的函数表达式；(2)通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)．解：(1)小明从球门正前方8m的A处射门，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m，则8－6＝2，∴顶点坐标为(2，3).∴可设抛物线为y＝a(x－2)2＋3(a≠0).∵小明从球门正前方8m的A处射门，∴抛物线过A(8，0)，∴36a＋3＝0.

∴球不能射进球门．随堂检测1.用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形菜园的最大面积是_________.

2.

某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件

x元(20≤x≤

30)出售，可卖出(600－20x)件，为使利润最大，则每件售价应定为

元.253.如图，一段拱形栅栏为抛物线的一部分，已知拱高OA为1m，栅栏的跨径BC间有5根间距为0.5m的立柱，试建立适当的平面直角坐标系，求出该拱形栅栏所对应二次函数的表达式，并求出立柱DE的高度.解:以BC所在直线为x轴,以AO所在直线为y轴，以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示.设拱形栅栏所对应的二次函数表达式为y=ax²+bx+c,则C(1.5,0),B(-1.5,0),O(0,-1).把C，B，O三点的坐标分别代入y=ax²+bx+c，得2.25a+1.5b+c=0,2.25a-1.5b+c=0,c=-1.解得

因为点D的坐标为(0.5,0)且DE平行于y轴，

4.已知两个正数的和为定值a，问:这两个数分别取何值时，它们的积达到最大值?解:设这两个数为x,y，则x+y=a,所以y=a-x.设这两个数的积为b，则b=x·y=x·(a-x)=-x²+ax.由于-1<0,所以二次函数b=-x²+ax有最大值.

5.世界最大单口径射电望远镜(FAST工程)——“中国天眼”如图所示，其设计原理是利用了抛物线光学性质。查阅相关资料，了解抛物线的光学性质，并与同学分享你的结果.抛物线的光学性质:从抛物线的焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行;反之，平行于对称轴的光线入射到抛物线上，经反射后会汇聚到抛物线的焦点处.这一性质被广泛应用于手电筒、探照灯、卫星天线等设备的设计.(答案不唯一)6.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为

x(m)，面积为

S(m2).(1)写出

S与

x之间的关系式，并写出自变量

x的取值范围；解：(1)因为矩形一边长为

x，则另一边长为(6

-

x)，∴S

=

x(6

-

x)

=

-x2+

6x，其中0＜

x＜

6.解：S=-

x2+

6x=-

(

x

-

3

)2+

9;∴当

x

=

3时，即矩形的一边长为3m

时，

矩形面积最大，为9m2.这时设计费最多，为9×1000

=

9