广东省佛山市南海区桂城街道桂江第一初级中学2026-2027学年九年级上学期素质监测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年广东省佛山市南海区桂城街道桂江第一初级中学九年级（上）素质监测数学试卷（9月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以长方形也称为“矩形”.矩形的对称轴的条数为（）A.1 B.2 C.3 D.42.下列关于x的方程中，是一元二次方程的有（）A.2x+1=0 B.y2+x=1 C.x2-1=0 D.x2+=13.如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（）

A.AB=BO B.AC=BD C.AB2+BC2=AC2 D.∠OAD=∠ODA4.若方程（m+3）x|m|-1+6x-2=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A.3 B.-3 C.3或-3 D.05.已知a,b是方程x2-x-6=0的两个实数根，则（a+1）（b+1）的值是（）A.6 B.-6 C.-4 D.86.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA=80°，则∠A的度数为（）A.40°

B.50°

C.60°

D.80°7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别为10cm和24cm,则菱形ABCD的高为（）

A.13cm B.cm C.26cm D.cm8.某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品200台，设二、三月份平均每月增长率为x,根据题意，可列方程为（）A.50（1+x）2=200 B.50+50（1+x）2=200

C.50+50（1+x）+50（1+x）2=200 D.50（1+x）+50（1+x）2=2009.实数a，b，c满足a-b+c=0，则（）A.b2-4ac＞0 B.b2-4ac＜0 C.b2-4ac≥0 D.b2-4ac≤010.如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x,PO的长为y,y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（）A.2 B.3 C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.把一元二次方程x（x+2）=-1化成一般形式：

.12.已知菱形ABCO在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点C的坐标是（3，4），则顶点B的坐标是

.

13.已知A是方程x2-2010x+1=0的一个根，试求的值

.14.若实数m,n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n,则m-n的值为

.15.如图，四边形ABCD是边长为3的菱形，对角线AC+BD=8，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD中点，顺次连接E，F，G，H.则四边形EFGH的面积为

.

三、计算题：本大题共2小题，共17分。16.解方程：(1)x2-2x-6=0(2)3x（x-1）=2x-217.某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价x元(1)每件衬衫的盈利为

元，每天可售出的衬衫

件；（用含x的代数式表示）(2)若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？四、解答题：本题共6小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题8分)

已知关于x的方程x2-4x+k+1=0有两个实数根.

（1）求k的取值范围；

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且-4，求实数k的值.19.(本小题8分)

如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使BE=AB，连接DE，EC，BD，若DE=AD.

（1）求证：四边形BECD是矩形；

（2）若BC=5，AB=3，求▱ABCD的面积.20.(本小题9分)

如图，在矩形ABCD中，AB=3cm,BC=6cm,点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s.连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts.(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形(3)分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积21.(本小题9分)

阅读下面的材料：解方程x4-7x2+12=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设x2=y,则x4=y2.

∴原方程可化为y2-7y+12=0.

∴a=1，b=-7，c=12.

∴Δ=b2-4ac=（-7）2-4×1×12=1＞0.

∴.

解得y1=3，y2=4.

当y=3时，.

当y=4时，x2=4，x=±2.

∴原方程有四个根是：.

以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想.请你运用上述方法解答下列问题.

（1）解方程：（x2+x）2-8（x2+x）+12=0.

（2）已知实数a,b满足（a2+b2）2-3（a2+b2）-10=0，试求a2+b2的值.22.(本小题12分)

综合与实践

【问题情境】“臻美数学客栈”社团课上，小班以改编教材课后习题的方式提出一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是BC边上的任意一点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于点P，说明AE=EP．

(1)【思考尝试】①张金发现：在边AB上截取AF=EC，连接EF（如图2）便可以通过证明△AEF≌△EPC解决这个问题．其中，说明∠AFE=∠ECP时，需先求得二者度数均为______；

②刘鼎有不一样的思路：延长AB至点F，使BF=BE，连接CF，EF（如图3），通过证明四边形CFEP是平行四边形后，巧妙地将证明AE=EP的问题转化为证明AE=CF．请写出刘鼎的证明过程(2)【实践探究】课后，张金受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图4，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接CP，∠DCP的大小是否改变？若不变，其度数为多少？请你思考并写出解答过程(3)【拓展迁移】刘鼎深入研究张金提出的这个问题后，在此基础上提出新的探究点：如图4，连接DP．当正方形的边长确定时，可以确定AP+DP的最小值．若记AB=a,请你用含a的代数式表示AP+DP的最小值（直接写出答案）23.(本小题12分)

(1)【特例感知】在矩形ABCD中，设AB=a,BC=b,则对角线AC，BD和a,b的数量关系为AC2+BD2=

(2)【规律探究】如图（1），在▱ABCD中，设AB=a,BC=b,猜想对角线AC，BD和a,b的数量关系，并证明你的猜想(3)【知识应用】如图（2），在四边形ABCD中，AB=5，BC=9，CD=8，AD=6，∠ADC=90°，点M为BC的中点，求AM的长

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】C

10.【答案】C

11.【答案】x2+2x+1=0

12.【答案】（8，4）

13.【答案】2009

14.【答案】

15.【答案】3.5

16.【答案】【小题1】x2-2x-6=0，

x2-2x=6，

x2-2x+1=6+1，

（x-1）2=7，

，

x-1=或x-1=-，

∴，【小题2】3x（x-1）=2x-2，

3x（x-1）=2（x-1），

3x（x-1）-2（x-1）=0，

（x-1）（3x-2）=0，

∴x-1=0或3x-2=0，

∴，x2=1

17.【答案】【小题1】（120-x）元（20+0.1x）【小题2】若商场每天要盈利1920元，则：

由题意可得，（0.1x+20）×（120-x）=1920，

解得，x1=-120（舍去），x2=40，

故每件衬衫应降40元

18.【答案】解：（1）∵关于x的方程x2-4x+k+1=0有两个实数根，

∴Δ=（-4）2-4（k+1）=-4k+12≥0，

∴k≤3；

（2）依题意得，x1+x2=4，x1x2=k+1，

∵-4，

∴，

∴，

∴k1=5，k2=-3，

又k≤3，

∴k=-3，

经检验k=-3是分式方程的解．

所以k=-3．

19.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，BC=AD，

∵BE=AB，

∴BE=CD，

∵BE∥CD，

∴四边形BECD为平行四边形，

∵DE=AD，

∴DE=BC，

∴平行四边形BECD是矩形

12

20.【答案】【小题1】∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，

∴BC=AD=6，AB=CD=3，

由已知可得，BQ=DP=t,AP=CQ=6-t,

在矩形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，

当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形，

∴t=6-t,得t=3，

故当t=3时，四边形ABQP为矩形【小题2】∵AP=CQ，AP∥CQ，

∴四边形AQCP为平行四边形，

∴当AQ=CQ，即AQ2=CQ2时，四边形AQCP为菱形

即32+t2=（6-t）2时，四边形AQCP为菱形，解得，

故当时，四边形AQCP为菱形【小题3】当时，，

则周长为；

面积为

21.【答案】x1=-2，x2=1，x3=2，x4=-3；

5

22.【答案】【小题1】①135°；②∵BE=BF，∠EBF=90°，

∴，

∴∠CEF=135°．

由①知∠ECP=135°，

∴∠CEF=∠ECP，

∴EF∥CP．

∵∠ABE=∠CBF=90°，BE=BF，AB=BC，

∴△ABE≌△CBF（SAS），

∴∠BAE=∠BCF，CF=AE．

∵∠AEP=90°，

∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠CEP=90°，

∴∠BAE=∠CEP，

∴∠BCF=∠CEP，

∴EP∥CF，

∴四边形CFEP是平行四边形，

∴CF=EP，

∴AE=CF【小题2】解：∠DCP的大小是否改变，∠DCP=45°．理由如下：

如图4，在AB上截取AF=EC，连接EF，

∵△AEP是等腰直角三角形，

∴AE=EP，∠AEP=90°．

由（1）同理可得∠CEP=∠FAE．

∵AF=EC，AE=EP，

∴△FAE≌△CEP（SAS），

∴∠ECP=∠AFE．

∵AF=EC，AB=BC，

∴BF=BE，

∴∠BEF=∠BFE=45°，

∴∠AFE=135°，

∴∠ECP=135°．

在正方形ABCD中，∠DCB=90°，

∴∠DCP=∠PCE-∠BCD=45°【小题3】解：AP+DP的最小值是．理由如下：

如图5，过D作DH⊥CP交BC的延长线于点H，连接AH、PH．

由（2）知：∠DCP=45°，

∴点P在与CD成45°的直线上运动，

∵DH⊥CP，

∴∠CDH=45°，

∴△DCH是等腰直角三角形，

∴点H与D关于CP对称，CH=CD=AB=a,

∴DP=HP，

∴AP+DP=AP+PH，

当A、P、H三点共线时，AP+PH即AP+DP最短，

此时AP+DP=AH，

在Rt△ABH中，由勾股定理得：，

∴AP+DP的最小值是

23.【答案】【小题1】2a2+2b2【小题2】猜想：AC2+BD2=2a2+2b2，

证明如下：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC，交BC延长线于F．

则∠AEB=∠AEC=∠DFC=90°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABE=∠DCF，

∴△ABE≌△DCF（AAS），

∴BE=CF，AE=DF．

由勾股定理：AC2=AE2+（BC-BE）2=AE2+b2-2b•BE+BE2，

BD2=DF2+（BC+CF）2=DF2+b2+2b•CF+CF2，

将两式相加，代入AE=DF、BE=CF，

得：AC2+BD2=2AE2+2BE2+2b2，

在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2=a2，

∴AC