江苏省南通市如皋市2027届高三上学期教学质量调研（一）数学试卷(含答案)

2026-2027学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）数学试题一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，，则（）．A． B．C． D．2．已知，，则（）．A． B．C． D．3．已知，，其中．若，则（）．A． B．C． D．4．某5个数据的样本平均数为8，方差为6．现增加一个数据8，则这6个数的方差为（）．A．2 B．5 C．6 D．305．已知曲线与曲线的对称中心完全相同，则（）．A． B．C．1 D．26．在正四棱柱中，为一条侧棱，集合，则中的元素个数为（）．A．1 B．2 C．3 D．47．已知，且，则的最小值为（）．A．2 B．4C．8 D．8．已知函数，过点作曲线的两条切线，切点为，，若，则（）．A． B．C． D．二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知随机事件，满足，，，则（）．A．事件A与B对立B．C．事件A与B相互独立D．10．已知，若，且，则（）．A． B．C． D．11．记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，且，则（）．A．B．C．b的取值范围为D．的取值范围为三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，是两个单位向量，，，若，则，的夹角为

．13．在四棱锥中，底面为正方形，面面，且，则异面直线与所成角的余弦值为

．14．若，，则实数的最大值为

．四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）已知内角，，的对边分别为，，，．（1）求；（2）若，求的最大值．16．（本小题15分）已知为坐标原点，，．（1）求证：；（2）若为的重心，其中，，，，求的面积．17．（本小题15分）如图，在正三棱柱中，为线段上一点．（1）若为线段的中点，证明：平面；（2）若，为线段上一点，且．（i）是否存在点，使得平面．若存在，求；若不存在，请说明理由；（ii）在（i）的条件下，求二面角的正切值．18．（本小题17分）强基计划为基础学科招生改革试点，用于选拔有志服务国家重大战略需求、综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．某高校参加强基计划选拔需依次参加笔试和面试，笔试环节包含数理探究、阅读表达和信息技术三门考试科目，且每门考试科目是否通过相互独立，全部通过才可参加面试；面试每10人分为一组，每组选拔通过2人．（1）若学生甲已通过全部笔试科目，求甲面试选拔通过的概率；（2）已知学生甲通过数理探究、阅读表达和信息技术三门考试科目的概率分别为，，，其中，．记学生甲在笔试环节中通过的科目数为．（i）若，当为何值时，甲通过笔试的概率最大；（ii）若，，求．19．（本小题17分）已知，曲线在点处切线的倾斜角为．（1）若，（i）求；（ii）当时，证明：；（2）当时，，求整数的最小值．

2026-2027学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）数学参考答案与评分建议一．单选题题号12345678答案BCCBDACA二．多选题题号91011答案BDABCABD三．填空题题号121314答案3四．解答题15．解：（1）由，根据正弦定理，得．………………………2分根据余弦定理，得．所以．…………………4分因为，所以．………………6分（2）由，根据余弦定理，得，所以，当且仅当时取等号．………9分所以，所以．…………………12分所以的最大值为．…………………13分16．（1）证明：因为，，所以，．设，的夹角为，则，…………………2分．………4分所以．…………7分（其他方法酌情给分）（2）解：取的中点，因为为的重心，所以，所以．…………9分因为，，，所以，…………11分所以，所以，解得．……………………13分所以，所以，同理，所以．…………15分17．（1）证明：连结交于点，连结．因为为正三棱柱，所以四边形为平行四边形，所以．…………………2分因为为线段的中点，所以．在中，，，所以．因为平面，平面，所以平面．……………………4分（2）（i）存在点，当时，平面在平行四边形中，，所以．…………………6分在中，，所以．因为平面，平面，所以平面．………………………9分（ii）方法一：在中，分别过，作，垂直于，垂足分别为，．在平行四边形中，过作垂直于，垂足为，连结．在正中，，，，，所以，，．因为为正三棱柱，所以平面．因为面，所以．因为，面，面，，所以面．………………………10分因为面，所以．因为，面，面，，所以面．…………………………12分因为面，所以，所以为二面角的平面角．……………13分在矩形中，．在中，．所以二面角的正切值为．………………15分方法二：在中，过作交于．在平行四边形中，过作交于．在正三棱柱中，因为平面，平面，所以，．因为，所以，．故以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，．因为平面即平面，所以平面的一个法向量为．设平面的一个法向量为，则，令，则，，所以平面的一个法向量为．设二面角的平面角为，则,，所以，所以．二面角的正切值为．…………………15分18．解：（1）记“甲面试选拔通过”为事件，则．所以甲面试选拔通过的概率为．…………3分（2）（i）因为，所以，当且仅当时取等号．………5分令，则．令，则．…………………7分列表：+0−↗极大值↘所以当时，甲通过笔试的概率最大．…………………9分（ii）记学生甲未通过数理探究、阅读表达和信息技术三门考试科目的概率分别，，，的可能值为0，1，2，3．……………13分所以所以．………………17分19．解：（1）因为，所以．（i）若，则．因为，所以．…………………4分（ii）若，则，当时，．当时，令，则．设，则，，根据零点存在定理，．当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，所以，所以当时，单调递增．因为，所以当时，．……………10分（2）方法一：当时，，所以，即．当时，，所以．因为为整数，所以．由（ii）