简单的三角恒等变换（教案）-高中数学人教A版必修第一册

第五章三角函数

5.5.2简单的三角恒等变换

教学设计

一、教学目标

1.通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式.

2.理解积化和差与和差化积公式的推导方法，并能应用其进行化简和计算.

3.通过两角和与差的正弦、余弦公式的变形，会把形如y=〃sinx+Acosx的三角

函数转化成一个角的一个三角函数的形式，并能用来解决有关周期、最值等问

题.

二、教学重难点

1、教学重点

半角公式、积化和差、和差化积公式.

2、教学难点

半角公式、积化和差、和差化积公式.

三、教学过程

1、新课导入

学习了和（差）角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换

的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富.这节课我们就来

继续学习一下其他的三角恒等变换公式.

2、探索新知

例1试以cosa表示si/4,cos2-,tan2-.

222

解：。是，的二倍角.

在倍角公式cos2a=1-2sin%中，以。代替2a,以g■代替。，

1Cml-cosaG

得cosa=l-2sin—一,所以sirr—=----------.①

222

在倍角公式cos2a=2cos%-1中，以a代替2a,以今•代替a,

勿c0。12a1+cosa小

得cosa-2cos~——1,所以cos—=----------.②

222

将①②两个等式的左右两边分别相除,得口，葭二部

知识点1半角公式

符号由券所在象限决定.

例2求证:

(1)sinacos夕=g[sin(a+〃)+sin(cr-£)]；

/八•八•0•00-(p

(2)snw4-sin^?=2sin—广cos

证明：(1)因为sin(a+0=sinacos/y+cosasin£,

sin(a-/?)=sinacos0-cosasinp,

将以上两式的左右两边分别相加，f#sin(a+Z?)+sin(a-/?)=2sinacosp,

即sinacos4=—[sin(«+/7)4-sin(<z-/7)l.

(2)由(1)可得sin(a+/7)+sin(a-/7)=2sinacos/7jJ)

设a+4=夕，a—B=(p,那么。=竽，£=产.

把。，4的值代人①，即得sin6+sin°=2sin"j'cos"2"-

知识点2积化和差公式

sincos/?=—[sin(/y+/?)+sin(/7—/?)]:

cosasin〃=；[sin(。+/?)-sin(a-7?)]；

cosacosP[cos(a++cos(a-ft)]•

sinasin/?=-—[cos(a+尸)一cos(a-/7)].

知识点3和差化积公式

.八.*.0+(p0-(p

sin〃+sine=2sin—广cos—广；

心.06+(p.6-(p

sin^-sin^=2cos---sin---；

八-e+00-(p

cos0+cos夕=2cos—广cos；；

.9+(p.0-(p

cos0-cose=-2sin----sin...-.

例3求下列函数的周期，最大值和最小值:

(1)y二sinx+6cosx；(2)y=3sinx+4cosx.

解：(1)y=sinx+百cosxCOSX

I22

兀.兀

=2sinA,COS—+cosA-sin—=2sinx+-I.

33JI3j

因此，所求周期为2兀，最大值为2,最小值为-2.

(2)设3sinx+4cosx=Asin(无+0),

贝ij3sinx+4cosx=Asinxcos°+Acosxsin。，

于是Acos0=3,Asin0=4,

于是42cos2夕+A?sin?°=25,

所以T=25.

34

取A=5,则cose=《，sin^?=-.

由y=5sinO+0)可知，所求周期为2元，最大值为5,最小值为-5.

例4如图，在扇形OPQ中，半径OP=1,圆心角NPOQ=],。是扇形弧

上的动点，矩形A8CQ内接于扇形.记NPOC=a,求当角。取何值时，矩形

A3CO的面积最大？并求出这个最大面积.

Q

解：在中，OB=cosa,BC=siner.

在Rt^QAO中，^l=tan-=V3.

OA3

所以。/4=正£>4=立8。=立$吊1,AB=OB-OA=cosa--sina.

3333

设矩形A8CO的面积为S,则S=A8-4C=cosdz——sin。sin。

3

-cos2a)」sin2a+且cos2a一走

=sin«cos«--sin2a=-sin2«-

32266

I八兀zpj兀c兀5兀

由^―<2a+—<—

3666f

所以当3泻，即Y时，s母大44邛.

7F

因此，当。=w时，矩形A3CO的面积最大，最大面积为

6~6~

知识点4辅助角公式

6/sinx+Z?cosx=>Ja2+b2sin(x+(p)，其中tan^=^.

3、课堂练习

1.已知cosa=1，f3n)，则乌等于（

ae—,2兀sin)

5I2J2

A•C2限

A.-----RD回.-------C・1。当

555

答案：A

2.若3sinx—5/5cosx=26sin(x+0),(-71,71),则9=.

j1IT

因为夕£（-7T,兀），所以°=一一.

6

3.函数），=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是___________,单调递增区间是

答案：兀；-工,E+包］,keZ

（88）

々"士匚.’.,1-cos2xsin2x.\I2.(.不、3

解析：y=sin-x+sinA-cosx+l=--------+-------1-1=——sin2x----+—.

22214yI2

所以最小正周期丁=幺=兀，令一殳+2E<2x—工<工+2而，keZ,解得

2242

一色+E<X<2+E,keZ,所以函数的单调递增区间是

88

/cJt——,kTi+——(攵£Z).

<88)

4、小结作业

小结：本节课学习了半角公式、积化和差公式、和差化积公式以及辅助角公式.

作业：完成本节课课后习题.

四、板书设计

5.5.2简单的三角恒等变换

1.半角公式：

限决定.

2.积化和差公式:

sinacosP=—[sin(a+y7)+sin(tz-/7)l；cosasinfi=—[sin(c?+/7)-sin(«-/?)]；

cosacosp=—[cos(6r+夕)+cos(«-P)]；sinasin/?=-—[cos(tz+4)-cos(a-〃)].

3.和差化积公式：