坐标法（讲义）解析版-人教B版高二数学选择性必修第一册

知识点数轴上的基本公式

如果数轴上点4g),8(x2),线段48的中点为"(x),则

(I)向量施的坐标为X2—X\；

(2).|=懑|=防一刈;

,特别提醒

：在数轴上，点4(乃)，8(必)，用绝对值定义两点间的距离，表示为d(48)=历一必|.若儿B,C是数

；羯上任意三点，则"(4,B)Wd(A,C)+d(B,Q.

1.在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴、V轴的距离分别为6、4,则点M的坐标为()

A.(4,-6)B.(-4,-6)C.(6,-4)D.(-6,-4)

【答案】A

【解析】已知点M在第四象限内，那么横坐标大于0,纵坐标小于0,进而根据到坐标轴的距离判断坐标.

【详解】因为点M在第四象限,

所以其横、纵坐标分别为正数、负数,

又因为点M到x轴的距离为6,到y轴的距离为4,

所以点M的坐标为(4,-6).

故选：A

知识点平面直角坐标系中的基本公式

己知,4(币，乃)，»)是平面直角坐标系中的两点，M(x,y)是线段49的中点，则

(1)法=(足一、1，儿一，1)；

(2)\AB\=\AB\=Jte-xi)2+(R-H)2;

.、=山

22

特别提醒

对两点间距离公式的几点说明

(1)公式中，点44的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为

\AB\=J(乃一X2)」+(丁一》2)2.

⑵坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推广.

(3)若4点为原点，则|48|=|。*=J/+W.

(4)若力，8两点在x轴上，或在与x轴平行的直线上，此时|4?|=|不一修|.

(5)若4B两点在y轴上,或在与y轴平行的直线上，此时|力用=丛一川.

1.已知点尸(“),5(-2,-3),若|P0|=5,则。=()

A.1B.-5C.1或-5D.-1或5

【答案】C

【分析】应用距离公式即可求解.

【详解】解：因为点尸伍」)，2(-2,-3),所以|PQ|=J(a+2)2+(l+3)2=5,

所以|〃+2|=3,则〃=1或・5.

故选：C.

2.在平面直角坐标系xQ，中，设点/(3,-2),5(-1,4),则线段,46的中点坐标为()

A.(U)B.(-2,3)C.(2,2)D.(2,-3)

【答案】A

【分析】直接利用中点的坐标公式计算即可.

【详解】由题可知中点的坐标为(□).

故选：A

知识点」坐标法

通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题.这种解决问题的

方法称为坐标法.

3.如图所示，在平面直角坐标系中,以。(。⑼,4(1,1),8(3,0)为顶点构造平行四边形,下列各点中不能

作为平行四边形顶点坐标的是（）

2

A

1

012

A.(-3,1)B.(4』)C.(-2,1)D.(2,-1)

【答案】A

【分析】根据平行四边形的对称性，利用中点坐标公式进行求解即可.

【详解】设第四个顶点为C（xj）,

4.如图，在△48C中，=AC=2,BC=\,点］、C分别在x轴、V轴上，当点.4在工轴上运

在运动过程中，点8到原点O的最大距离是（）

C.3D.5/5

【答案】A

【分析】取/C的中点。，连接血,0。，根据数形结合分析可知忸O|«忸+根据民。。的位置关

系求忸。|的最大值.

【详解】取力C的中点。，连接

8D=Jr+r=&,

由图象可知忸0|«忸。|+|。0|=&+1,

当比。,。三点共线时，等号成立，

所以点8到原点。的最大距离是行+1.

故选：A.

题型■■两点间的距离公式及其应用

|例1（25-26高二下•河北石家庄•期中）（多选）已知力（-2,-2）,8（-2,6）,三点，点〃在圆F+/=4

上运动，则的值可能为（）

A.64B.72C.84D.85

【答案】BCD

【分析】根据两点间距离公式求解即可.

【详解】设”（工,刃，则蚱卜2,2],

222222

贝,1研+|HC|=（x+2）++（r+2）+（^-6）+（.r-4）+（^+1）

=3（x2+y2）-6y+65=3x4-6y+65=77-6y,

所以网2+1时+|//C|2G[65,89],

即附+|〃靖+|//C|2的取值范围为[65,89].

|对点练1-1.（25-26高二上•北京•期中）已知三角形的三个顶点力（2,4）,8（3,-6）,。（5,2）,则过4点的中

线长为（）

A.VioB.2V10c.I1V2D.3M

【答案】B

【分析】由题意求出中点A/坐标，根据两点间距离公式求得中线长.

3+54

x=---=4

【详解】设边4。的中点加（3），贝IJ:.

y=-----=-2

I2

所以也（4,-2）,所以|4W|=J（2_4）2+（4+2『=2怖.

所以过点4的中线长为2屈.

题型❷中点坐标公式的应用

1例1已知仆5，-4>8匕,2卜则线段的中点坐标为.

【答案】（今一1）

【分析】利用中点坐标公式计算艮]可.

【详解】因为4佟旬闻9],

”+』]

所以线段/必的中点坐标为三，二

\/

（3、

故答案为：

7

在平面直角坐标系中，已知4（1，T）,8（3,2）,那么线段43中点的坐标为（）

A.（2,-1）B.（2,1）C.（4,-2）D.（-1,2）

【答案】A

【分析】根据题意利用中点坐标公式运算求解.

【详解】因为4（1,-4）,4（3,2）,所以/位中点的坐标为（甲，三匕],即（2,-1）.

故选：A.

题型❸构造几何模型解决代数问题

[例1函数/(x)=>/x4-5x2-2x+10-4-垣+1(XCR)的最大值是.

【答案】旧

【分析】根据题意，“X)的几何意义为点P(Vx)到点力(3/)与8(1,0)两点的距离之差，故

/(x)=|PJ|-|ra|^|J5|=V5,再根据距离公式求解即可.

【详解】/(x)=V/-5x2-2x+10-y/x4-x2+\=](年一3『+(x-l『-^(x2-1):+(x-0)2，

在平面直角坐标系宜万中，设点尸(Vx),J(3,l),8(1,0).

则〃力=|尸山-归同引力图=右，当点P在线段相的延长线上时，等号成立，

JP=(X2-3,X-1),j5=(-2,-l),

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由力=4在(丸>1),<-(X-3)=-2(X-1),HPX-2X-I=0,解得x=l士应，

其中x=l+近时，»=(2后，&)=-0茄，不合题意；

当1=1-五时，"=(-2&,-0)=加赤，满足点尸在线段,48的延长线上，

所以x=l-收时，/Cv)_=V5.

如图所示，己知力(4,。),月(0,4),从点尸(2.0)射出狗光线经育线48反射后再射到音线08卜.

最后经直线04反射后又回到尸点，则光线所经过的路程是()

C.36D.275

【答案】A

【详解】由题意，直线的方程为x+»=4,设P关于直线48的对称点为。(。力),

所以光线所经过的路程为PM+WM+|NP|=\QM\+\NM\+\NT\=\QT\=[(-2-4『+(0-2『=2而.

1.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.〃事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加

以蟀决.函数/(x)=Jx2+6x+]o+Jx2-6x+]o,下列结论正确的是()

A./(x)的最小值为6B./(X)的最小值为2函

C.方程/。)=6有两解D.方程/(x)=7无解

【答案】B

【分析】将函数/(“变形为J(X+3)2+1+J(X—3)2+1,分析出其几何意义是x轴上的动点P(x,O)到两个定

点/(-3,1)和N(3,l)的距离之和，求出/(x)的最小值，即可判断A,B,C,D.

【详解】因为/(X)=JX2+6X+10+JX2—6X+10=J(X+3)2+1+J(X—3『+1,所以/(制的几何意义是轴

上的动点?宙。)到两个定点"(T1)和N(3,l)的距离之和，」(力=|?叫+|尸时,作点M(-3,1)关于x轴的

对称点”(T-l),\PM\=\PM'\t当"，p,N三点共线时，|PM'|+|PM取得最小值，

”乂=拈_(_3)『+[1一(一1)了=屈=2回,所以/(x)=|P，M|+|PM=|P"|+PM，故A错误，B正确，

因为2J证>6,所以/(耳=6无解，故C错误，因为7>2可，所以/(x)=7有两解，故D错误.

故选：B.

2.已知4、J，cR,则函数/(x,y)=J(x-2)~+/+，(》+1)~+()，一41的最小值是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】将函数/(X))=J(X-2)2+J，+J(X+I)2+(Y4)2看作点?(xj)和点力(2,0)与8(7,4)的距离之

和，可得附|+网由此求得函数/('))的最小值.

【详解】函数/(x,y)=J(x—2『十『十J(-i)2十(),—膏2的几何意义是点P(又y)和点4(2,0)与41,4)的

距离的和.

由不等式|4|+|PZ沦|/回，可得当P,J,8三点共线，且点尸在线段彳8上时，等号成立.

此时归力|+|户却取得最小值，最小值为|第=J[2—(―1)了+(0—W=5.

故选：A.

3.已知不同的两点尸3「份,0(6+1,。-1)关于点(3,4)对称，则。力=.

【答案】-14

【分析】由点对称，应用中点公式列方程组求出参数，即可得结果.

a+b+13

2\a+b=5fq=7

【详解】由题意知:、，即AC，解得J,，故M=T4.

a-b-],a-h=9h=-2

-----------=4

2

故答案为：-14

4.已知点48,10),伏-4,4),则线段彳点的中点坐标为()

A.(2,7)B.(4,14)C.(2,14)D.(4,7)

【答案】A

【分析】利用两点的中点坐标公式求出答案.

【详解】由题意得：线段48的中点坐标为(芋，竽)即(2,7).

故选：A.

5.点尸(3,2)关于点。(1,4)的对称点"为()

A.(1,6)B.(6,1)

C.(1，-6)D.(-L6)

【答案】D

【解析】设历(xj),则由中点坐标公式可得等=1,^=4,解出xj,从而可得点〃的坐标

【详解】设例(xj),则W=l，字=4,AX=-I,y=6,

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・••点M(T,6),

故选：D.

6.已知数轴上，力(3),伙-5),求线段的长以及线段44的中点M的坐标.

【答案】/5=8,M(—1)

【蟀析】根据数轴上任意两点的距离公式，及中点公式解答.

【详解】解：:力(3),8(-5)

.•.»川=卜5-3|=8,/也的中点M的坐标为三段=一1,即，(一1).

【点睛】本题考查数轴上任意两点的距离和中点公式，