2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中模拟测试能力卷

北师大版数学九年级上册期中模拟测试能力卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）

2.关于%的方程%2+4九（％+1）-8几一1=0的两个实数根分别为不，％h.x1-x2=10,则几的值

为（）

A.2或3B.3或一2C.-3或2D.-3或一2

3.图①是一张长28cm,宽16cm的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩

形）并折叠成一个如图②的底面积为80cm2的有盖长方体盒子.设该盒子的高为xcm,根据题意，

可列方程为（）

①②

A.(28-2x)(16-2x)=80B.(28-2x2x)(16-2x)=80

C.(^x28-2x)(16-2x)=80D.^(28-2x)(16-2x)=80

4.对于一元二次方程ax?+bx+c=0(aH0),下列说法：

①若a+b+c=0,则方程必有一根为x=l；

②若c是方程ax?+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+l=0成立；

③若ax24-bx4-c=0(aH0)两根为xi,X2且满足Hx2H0,则方程ex2+bx4-a=

0（cH0）,必有实根，套;

222

④若xo是一元二次方程ax+bx+c=0的根，则b-4ac=（2ax0+b）;

其中正确的（）

A.①②B.①④C.①③④D.①②③④

5.如图，矩形。4BC中，点。（0,0）,4。=4,9。与％轴正半轴的夹角为45。.若矩形绕点。逆时针旋

转，每秒旋转45。，则第2026秒时，矩形的对角线交点。的坐标为（）

A.(V2,-V2)B.(-2,0)C.(0,2)D.(-V2,x/2)

6.如图，在RsABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,分别以AC,AB为边向外作正方形

ACDE,正方形ABMN,连结NE,则NE的长为（）

C.V73D.V41

7.如图，在边长为4的菱形/BCO中，乙1=60。，点E、尸分别为A。、CD边上的动点，连接BE、

BF、EF.若乙EBF=60。，则以下结论正确的是（）

®BE=BFx②△BE/是等边三角形；③四边形EBFD的面积是4旧；④ZiDEF面积有最大值

为2国.

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

8.如图，在正方形4BC0中，AB=3,点E,F分别在边48,上运动，满足BE=20F,连结

EF,过点C作直线E尸的垂线，垂足为G,当CG的长最大时，DF的长为（）

D

A.1B.1C.V5-1D.

9.如图，矩形4BCD和正方形AEFG面积相等，点B在边E尸上，点G在。D上，FG交BC于M点,

EN14B,AB=18,若S^EN3：SA8FM=16：9,则4。=（）

A.9+gB.8+V15C.9+跳D.8+/17

10.如图，已知正方形ABCD的边长为4,P是对角线BD上一点，PE_LBC于点E,PF1CD

于点F,连接AP,EF.下列结论：（①PD=V^DF;②四必形PECF的周长为8；③EF的最小

值为2；④AP_LEF.正确结论的为（）

A.①②B.①②④C.②③④D.①②③

二、填空题（每题3分，共18分）

11.一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视

图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有种.

主视团左视国

12.如图，在.RtAABC中,ZC=90u,分别以点A,C为圆心，大于24c的长为半径画弧，两弧相

交于点D,E,直线DE分别与AC,4B交于点M,N.若BC=4,则MN的长为.

13.如图，四边形ABCD是正方形，点E是AB的中点，连结CE,作点B关于CE的对称点B,连

结BC,BE,连结BB，并延长交AD于点F,交CE于点G,连结AB，并延长交CD于点H,给出下

面四个结论：

①F为AD的中点；②AHJ_BF；

③连结AG,则NAGErNAGF；④连结AG并延长交BC于点P,则CP=2BP.

上述结论中，正确结论的序号是.

14.等腰△4BC的一边长为5,另外两边的长恰好是方程2/-12%+m=0的两个根，则血的值

为•

15.如图，在正方形4BCD中，点E是CD中点，连接BE,点F为BE上一点，AF=AB.若AB=2,

则△的面积为.

16.【阅读材料】过矩形对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线，会得到面积相等的两个

矩形，如图（1）,S整形AEOM=S也形CFON.

【解决问题】如图（2）,点M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点M作EF〃BC分别交

AB,CD于点E,F,连接BM,DM.若CF=4,EM=3,DF=2,则MF=.

三、解答题（共6题，共72分）

17.在正方形ABCD中，点P在对角线AC上，点E,F分别在边BC,CD上，且PEJ_PF于

点P.

图1^2

（1）特例发现：如图1,当点P在对角线AC,BD的交点处时，求证：PE=PF；

（2）探究证明：如图2,当点P不在对角线AC,BD的交点处时，判断PE与PF的数量关系,

并说明理由：

（3）拓展运用：在（2）的条件下，若EC=4,CF=2,连接EF,请直接写出PE的长.

18.

（1）已知四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,△EAF的两边AE,AF分别与边CB,DC相

交于点E,F,且NEAF=60。.

①【特殊情况】

如图1,当点E是线段BC的中点时，直接写出线段AE,AF之间的数量关系▲；

②【类比探究】

如图2,当点E是线段BC上任意一点时（点E不与B,C重合），求证：BE=CF；

（2）【拓展运用】

如图3,四边形ABCD是一个菱形花园，AB=10m,ZABC=60°,现计划用篱笆围成一块三角形

区域AEF,E、F分别在边BC、CD上，且/EAF=60。.为了节约材料，所需的篱笆长度（即△AEF

的周长)最短，求出所需的篱笆长度(即AAEF的周长)的最小值，并说明理由.

19.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a知)的根均为整数，则称方程为“快乐方程”通过计算发

现，任何一个“快乐方程”的判别式b2-4ac一定为完全平方数.现规定FQ匕,c)=4知-/为亥,快乐方

4ci

程''的“快乐数例如"快乐方程”x2-3x-4=0的两根均为整数，其“快乐数”F(1,-3,-4)

2

=4xlx(-4)-(-3)=_25,若有另一个，，快乐方程，，px2+qx+r=0(p^O)的“快乐数”F(p,q,r),且

4x14

满足r・F(a,b,c)=c*F(p,q,r),则称F(a,b,c)与F(p,q,r)互为“开心数

(I)“快乐方程”x2-4x-12=0的“快乐数”为；

(2)若关于x的一元二次方程X?-(2m-1)x+m2-2m-3=0(m为整数，且lVmV6)是“快乐方

程”，求m的值，并求该方程的“快乐数''；

(3)若关于x的一元二次方程x2・mx+m+l=0与x2・(n+2)x+2n=0(m、n均为整数)都是“快乐

方程”，且其“快乐数''互为"开心数”，直接写出n的值是.

20.为庆祝五四青年节,某校组织八年级男子班级篮球赛,为达到活动效果又节省比赛时间,先分

A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛.当参赛队伍总数为偶数个时，A

组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个.小组赛采取单循环

赛制(即每只队伍与组内其他队伍各打一场)，按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决

赛积分规则：胜一场得2分，负一场得0分.小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得

分开展数学讨论.具体如下：

(1)已知该校八年级共有1。个班级参加比赛.小组赛结束后，全部队伍累计总得分共

分；

(2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分.求本次比赛

参赛队伍个数；

(3)当参赛队伍总数为奇数个时.小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请

求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由.

21.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB,E为边AD上任意一点，AD=nAE.

图2

【尝试初探】

(1)如图1,取BD的中点M,连接EM并延长交BC于点N,求证：AE=CN：

（2）过点E作EM_LBD于点M,延长EM交BC于点N,连接BE,若△BEN是等腰三角形,

求n的值；

（3）如图2,若F是CD上一点，旦DC=nDF,连接EF交BD于点G,求惠的值（用含n的代

DU,

数式表示）.

22.在矩形ABCD中，E是边AB上一点（不与端点重合），以BE为边在矩形ABCD内部构造矩形

BEGF,使得第=器=或连接DG.

（1）如图1,当m=l时，求器的值；

（2）如图2,将矩形BEGF绕点B顺时针旋转。（0。<0<30。），连接AE,当加=培时，求

器的值；

（3）如图3,矩形BEGF在旋转的过程中，当点G落在BC边上时，D,G,F三点共线.若

m=*,BF=4,求AE的长.

答案解析部分

1.【答案】B

【扣识点】由三视图判断几何体

【解析】【解答】解：由主视图和俯视图，底面三角形一条边长为4,

由左视图可得底面三角形边长为4的边对应的高长为3,且三棱锥的高是2,

则三棱锥的体积是《x(1x4x3)x2=4

故答案为：Bo

【分析】由三棱锥的体积公式p=则需要求出底面的面积及三棱锥的高；由主视图和俯视图，

底面三角形一条边长为4；由左视图可得底面三角形边长为4的边对应的高长为3,且三棱锥的高是

2,从而代入公式计算即可。

2.【答案】C

【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)

【解析】【解答】解：x2+4n(x+l)-8n-l=0,E|J%24-4nx-4n-1=0,

Vxi，%2是7+4几x—4几一1二0的两个实数根，.\xi+%2=-4n,xl-x2=-4n-1,

22

(Xi4-x2)—(勺一=4XIX2»16n—100=-16n-4,

.••n2+ri—6=0,KP(n+3)(n-2)=0,

解得：几二一3或几=2,

故选：C

【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系、因式分解法解方程以及完全平方公式的应用。

根据韦达定理：x1+x2=-4n,%1.%2=-4n-l;再利用完全平方公式将已知条件转化为关于n的

方程：用因式分解法解这个方程，最终求出n的值。

3.【答案】D

【知识点】一元二次方程的应用-几何问题

【解析】【解答】解：•••矩形纸片的长为28cm,宽为16cm,且盒子的高为xcm,

••.折成的长方体底面的宽应为(16-2x)cm,长为4(28-2x)cm,

••・折成的长方体底面积为80cm2,

.•.1(28-2x)(16-2x)=80.

故答案为：D.

【分析】根据长方形和折叠后的长方体各边长之间的关系，U得折成的长方体底面的宽心为(16-

2x)cm,长为2628-2x?cm,再结合长方体底面积为XUcm,根据长x宽=8()即可列出方程.

4.【答案】C

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用

【解析】【解答】解：①若a+b+c=O,则x=l是方程ax2+bx+c=0的解，故①正确；

②若c是方程ax2+bx+c=O的一个根，

ac2+bc+c=O

，当c，0时,有ac+b+l=O成立;故②不正确；

③・・•方程ax2+bx+c=0(a#0)两根为xi,X2目.满足x*X2知，

A=b2-4ac>0

令-b+7b2-4ac,_-8一4ac

孙=而X1=而

・•・方程cx2+bx+a=0(c#))有两个实数根，令两根分别为工；,%2

'-b+Jb2-4ac11'—b—Jb2-4ac11

..•/=^=_总产=方犯=2?=_"、尹=1

2a2a

・••方程cx2+bx+a=0(c#0),必有实根上，故③正确；

人142

2

④若X0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则由求根公式可得：y_-b±Jb-4ac

x0-2R

2

**•2ax0+b=±y/b-4ac»

/.b2-4ac=(2axo+b)2,故④正确,

故选：C.

【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义以及求根公式逐个判断排除.

5.【答案】D

【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化-旋转

【解析】【解答】解：•・•四边形0A8C是矩形，

：.OB=AC=4,00=80=2,

二每秒旋转45。,8次一个循环，2026+8=253••…2,

，此时点D与第2次的点D的坐标相同，如图所示：

过点D彳乍D'E_L久轴于点E,由旋转的性质可知：LD,OE=45°,

・，・0E=D'E=^-OD'=或，

，点D的坐标为（-企，鱼）.

【分析】

首先先确定矩形对角线交点D到原点0的距离，结合题目条件，矩形每秒绕原点旋转45。，旋转一

周为360。，因此每旋转8次，图形会回到初始位置，形成一个循环。计算可得2026+8=253••…

2、说明经过2026秒后,点Df勺位置和旋转2秒后点D的位置一数，且此时点D位于第二象限的对

角线上，据此即可求出对应坐标.

6.【答案】C

【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS：三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对

应边的关系

【眸析】【解答】解：过点N作NG_LAC于点G,交NE于点H,如图所示，

N(

二,ABMNO正方形

AZBAN=90°,AB=AN

AZBAC+ZNAG=90°

XVZBAC+ZABC=90°

AZABC=ZNAG

又・.・NG=NACB

/.△ABC^ANAG(SAS)

AGN=AC=4,GA=BC=3

VACDE为正方形

/.AC=AE

ANG=AE

VZNHG=ZFHE,ZHAE=ZNGH

AEH^AGNH(AAS)

ANH=EH,GH=AH=^

：・NH7GH2+NG?=肘+(|)2=争

.*.NE=V73.

故答案：C.

【分析】过点N作NGIAC于点G,交NE于点H,易证△ABC丝ANAG得GN=AC,得

GN=AE,由此可得△AEH四Z\GNH,得NH=EH,GH=AH,求出NH的值，即得NE的长.

7.【答案】B

【知识点】三角形的面积：等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA

【蟀析】【解答】解：①连接BD,

B_______C

AEGD

•・•四边形ABCD为菱形，ZDAB=60°,

AAD=AB=CD=4,

Z-ADB=Z-DBC=左乙ADC=60°,

•••△ABD、ACBD均为等边三角形，

AD=BD=4,

XVZEBF=60°,

即：ZABE+ZEBD=ZEBD+ZDBF=60°,

AZABE=ZDBF,

在AABEfllABDF中，

(Z.A=乙BDF

AD=BD，，

V^ABE=乙DBF

ABEg△DBF(ASA),

・・・BE=BF,故①正确；

②.〈BE=BF,ZEBF=60°,

•••△EBF为等边三角形，故②王确；

③如图，过B作BG_LAD于G,

AAG=DG=2,

BG=J42-22=2A/3,

1「「

SMBD=2x4x2遮=4V3,

,:&ABE^ADBF,

SMBE=S4BDF，

四边形

■:SDEBF=S&DEB+S&DBF=S^DEB+S^ABE=S^ADB=48,故③正确；

④・・•△BEF为等边三角形，

当BE_LAD时，BE最短，ABEF的面积最小，

此时AE=DE=^AD=2,

:.BE=q-22=2V3,

同理可得：此时S&BEF=1x2/3x3=3V3,

VS四边^^DEBF=S^BEF+S&DEF，

・••SADEF=4百一SABEF，当△BEF的面积最小，△DEF的面积最大，最大值为4百一3H=封故

④错误;

，正确的结论为：①②③.

故选：B.

【分析】①连接BD,根据菱形ABCD的性质及NDAB=60。，可以得到△ABD为等边三角形，结合

ZEBF=60°,可得/ABE=/DBF,可利用ASA判定△ABEgZXDBF,从而得到BE=BF；②根据

妹=瓯乙£'85=60°,即可得到AEB尸为等边三角形；③塌累S四边形DEBF=SWEB+SADBF及△

ABE=AOBF,可以得到S四弦形0£85=$4皿m+SMBE=S“D8,再求等边三角形面积即可；④当

BEI34。时，BE最短，等边ABEF的面积最小，由S>DEF=S四边形DEBF-S^BEF-SABEF,可以得到

△DEF的面积最大值.

8.【答案】A

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角

形的性质-对应边

【解析】【解答】解：•・•在正方形ABCD中，AB=3,

A.40=AB=DC=3fZ-A=Z.D=90°,

如图：过户作尸H_LjB于"，贝J四边形D4HF是矩形,

：・AH=DF,FH=AD=3,

设D尸=x,则4H=x,BE=2%,

/.FC=3-r,WE=3-

=y/HF2+HE2=V32+(3-3x)2>

9：FHLAB,CG1EF,

・••乙FHE=乙HFC=乙FGC=90°,

:•乙HEF+乙HFE=乙HFE+乙GFC=90°,

，乙HEF=乙GFC,

：.△HFEfGCF,

3-x

.HF_FE,即3_柠+”了,解得:CG=

JX2-2X+2,

^GC~CFGC3-x

2

整理为关于A-的一般式为：(GC2-1)X2+(_2GC2+6)x+(2GC-9)=0且该方程有实数根,

A4=(-2GC2+6)2-4(GC2-1)(2GC2-9)>0,解得：GC2<5,

AO<GC<V5,

・・・GC的最大值为遥，

当CG的长最大时，将述代入方程4/-4x+1=0,解得：％=2,即DF0,

乙乙

・••当CG的长最大时，。尸的长为，

故答案为：i.

【分析】由正方形的性质可得AD=AB=00=3,41=乙。=90。，过尸作F”_L4B于凡则四边形

ZL4H尸是矩形，即可得到4，=DF,FH=4D=3；设DF=x,贝l」4〃=%BE=2x,根据勾股定理求

出FE=j3z+(3—3x)z,然后根据两角对应相等得到根据相似二角形H勺对应边成

比例求出击二忘

2

整理为方程(Gf2-1)X2+(-2Gf2+6)x+(2GC-9)=0,根据方程

根的判别式420求出GC的最大值为遥，然后代入，解方程求出x的值即可.

9.【答案】A

【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边

【解析】【解答】解：•・•四边形AEFG是正方形，

：,LGAE=Z-AEF=zF=Z-AGF=90°,AG=AE,

：.LGAB+Z.BAE=90°

•・•四边形A8CD是矩形,

J.LDAB=乙ABC=ZC=ZD=90°,CD=AB=18,

：.LDAG+AGAB=90°,

LDAG=Z.BAE,

TEN148,

：.LANE=90°,

・••乙0=LANE=90°,

又・・NG=AE,

A△ADG三△4NE(44S),

♦*SAADG=S4ANE，EN=DG,AN=AD.

•・•矩形4BCD和正方形4EFG面积相等，

:矩形ABCD~S四边形ABMGS正方形AEFG~S四边形ABMG，

:・SAENB+S&BFM=S&GCM，

*：SAENB：S&BFM=16:9,

1,S&ENB：5AGCM=S&ENB：(S&ENE+=16：25,

♦:乙EBN+乙MBF=90°,乙EBN+乙BEN=90°,

C.LMBF=乙BEN,

同理可证，Z-MBF=Z-CGM,

：.LCGM=乙BEN,

•:乙BNE=zC=90°,

/.△CGMNEB,

1・EN:GC=4:5,

：.DG.GC=4:5,

4

:・EN=DG=18x-p=8.

zi"T"o

y^AEN+乙BEN=90°,乙AEN+乙EAN=90°,

:.乙BEN=乙EAN,

ZANE=乙ENB=90°,

A△ANEjENB,

•AN_EN

••丽二丽’

.AN_8

•，-r=18^V，

解得AN=9+g或4V=9—g（舍去），

A.4D=9+g.

故答案为：A.

【分析】根据正方形的性质，利用AAS得到AA0G三ZkANE,即可得到S“DG=S^NE，EN=

DG,AN=AD.再根据矩形48C0和正方形AEFG面积相等，即可得到S/NB+S.BFM=S«CM，求

出SA£NH：S«CM=16:25,然后推理得到△CGM-△NE8,即可得到EN:GC=4:5,求出EN=DG=

8,再得到△ANE〜根据相似三角形的对应边成比例解答即可.

10.【答案】B

【知识点】勾股定理；正方形的性质

【解析】【解答】如图，连接PC,

£

①,・•正方形ABCD的边长为4,P是对角线BD上一点,

.\ZPDC=45O,

又・・・PF_LCD,

AZPFD=90°,

・•・△PDF为等腰直角三角形,

APD=V2DF;

②由①同理得：△BPE是等腰直角三角形,

APE=BE,

ZPEC=ZECF=ZPFC=90°

J四边形PECF为矩形，

；・四边形PECF的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2(CE+BE)=2BC=2x4=8,

③・・•四边形PECF为矩形，

APC=EF,

•・•四边形ABCD为正方形，

AAD=CD,ZADP=ZCDP,

易证△ADP^ACDP,

・・・AP=PC,

AAP=EF,

当AP最小时，EF最小，

・,•当AP_LBD时，垂线段最短，即AP弓见EF的最小值等于24

④延长FP交AB于M,延长AP交EF于H,

•・・AB〃CD,PF1CD,

AFM1AB,

•••BD平分NABC,PM1AB,PE1BC,

APM=PE,

VAP=EF,ZAMP=ZEPF=90°,

ARtAAMP^RtAFPE(HL),

・・・NBAP=NPFE,

VZAMP=90°,

AZBAP+ZAPM=90°,

VZAPM=ZHPF,

AZPFH+ZHPF=90°,

.\ZPHF=90°,

/.AP±EF,

综上，①②④正确.

故答案为：B.

【分析】①先证△PDF是等腰直角三角形，贝UPD二四。凡即可判断；

②先证明^PEB是等腰直角三曲形，再根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形PECF为矩

形，则四边形PECF的周长=2BC=8,即口J•判断；

③证明△ADP丝ACDP,贝ijAP=PC,根据矩形对角线相等得PC=EF,当APLBD时，垂线段最

短，即可判断；

④证明心△AMPgRSFPE,得到NBAP=/PFE,进而求解.

11.【答案】10

【知识点】由三视图判断几何体

【解析】【解答】解：由主视图却左视图知：①第一行第一个位置一定是4,

第二行和第三列至少有一个是3,第三行和第二列至少有一个是2,

则9+3+2+1=15

以最少的方式摆放，还剩I个，则为3个的位置仅有一个，即第二行第三个位置是3,

最终剩余的2个小立方体

①若第三行第一个位置摆放2个，剩余一个可以摆放的位置有3种，即每行的第二个位置；

②同理，若第三行第三个位置摆放2个，剩余一个可以摆放的位置也有3种，即每行的第二个位

置；

③若第三行第二个位置摆放2个，剩余一个可以摆放的位置有6种，即除了己确定位置的，其他

的位置都可以放。

由于③中分别与①②的一个位置重复

・・・可能的情况有3+3+6-2=10种

故答案为：1().

【分析】抓住题中关键的已知条件：一共有16个小立方块，最下面一层摆放了9个小立方块，根据

主视图和左视图，画出所有可能的搭建平面图，即可得出答案。

12.【答案】2

【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应

边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）

【解析】【解答】解：由作图可知，直线DE是线段4c的垂直平分线，

•••LC=90°,

:.BC1AC,

MN||BC,

△ANM-△ABC,

・MN_AM

••~BC=ACf

V.4M

MN二BC,

•••BC=4,

MN=2.

【分析】

根据尺规作图的方法可知直线OE是线段HC的垂直平分线，进而得到M为AC的中点，再结合N是AB

的中点，利用三角形中位线定理求解.

13.【答案】①②④

【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；相似三角形的

判定预备定理（利用平行）

【辞析】【解答】解：设正方形ABCD边长为2a,则AE=EB=a,AB=BC=CD=DA=2a

VB,B'关于CE对称

ACEIBB',即CE_LBF

/.ZCGB=90°

.\ZBCE+ZCBG=90°

在正方形ABCD中，ZABC=ZABF+ZCBG=90°

.\ZABF=ZBCE,

在AABF^IIABCE中，

ZFAB=乙EBC

AB=BC

=Z.BCE

?.△ABF^ABCE（ASA）

AAF=BE=a.

又AD=2a,

・・・AF=FD,即F为AD中点，①正确，符合题意;

••,E是AB中点

・・・EG是△ABB，的中位线

AEG//AB'

TEG在CE上，

ACE//AH

XCE1BF

AAH1BF,②正确，符合题意;

VCE1BF

・•・ZEGF=90°

ZEGF+ZEAF=ZAEG+ZAFG=180°

AA,E,G,F四点共圆

：-LAGE=Z.AGF==45。，因此③错误，不符合题意;

BF=炳a，ABAF=BFAB',

.,2aa2«丐

•ABD==-F-a

底i5

・B'F=y/AF2-AB，2=部，

•CE//AH

.BG_BE

,砺一而T'

・“BF-FB'375BF-FB'2店

••FG=——=------FB=-p-a»BG=——=——=-p-a

VAD//BC

△AFG0°APBG

.AF_AG_GF_3

^BP=PG=BG=2

.BP_1

*-4D=3

即BP=等，CP=2a-^=y

ACP=2BP,④正确，符合题意；

故答案为：①②④.

【分析】设正方形ABCD边长为2a,结合E为AB中点，得出AE=EB=a,AB=BC=CD=DA=2a,根

据轴对称可得CEJ_BB\即CE_LBF,则NCGB=90。,证明△ABF名△BCE(ASA),得出AF=BE=a,

结合AD=2a,得出AF=FD,即F为AD中点，则①正确；由轴对称可得，G是BB，中点，结合E是

AB中点，得出EG是△ABB，的中位线，贝ijCE〃AH,结合CE_LBF,得出AH_LBF,则②正确；证

明A,E,G,F四点共圆，结合AE=AF,得出乙4GE=乙力GF=义乙£77尸=45。，因此③错误；证明

△AFG^APBG,得出器=g,求出BP,CP,即可得④正确.

14.【答案】10或18

【知识点】直接开平方法解一元二次方程：因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；

等腰三角形的概念；已知一元二次方程的根求参数

【解析】【解答】解：设方程的两根为勺和％2，

是等腰三角形，

・"1=5或—5或=%2，

①当与=5或右=5时，

•；5为方程2--12x+m=0的根，

A2x52-12x5+m=0,解得m=10,

二・原方程为2/-12%+10=0,

解得％=1或5,

此时△力8c的三边长为1,5,5,符合题意；

②当=%2时，

/.A=(-12)2—4x2xm=144—8m=0,

解得m=18,

，原方程为2/-12%+18=0,

解得=%2=3,

此时△48C的三边长为3,3,5,符合题意；

综上所述，m的值为10或18.

故答案为：10或18.

【分析】设方程的两个根为XI与X2,分类讨论：当5为等腰三角形的腰时，等腰三角形的底边与另一

条提是一元二次方程的实数根，故*=5或X2=5,将x=5代入原方程求出m=10,然后将m=18代入原

方程求出方程的两个实数根，根据三角形三边关系及等腰三角形定义检验；当5为等腰三角形的底边

时，等腰三角形的两腰是一元二次方程的两个实数根，故方程有两个相等的实数根，即X|=X2,根的判

别式△=b2.4ac=0,由此建立方程求出m为18,然后将m=18代入原方程求出方程的两个实数根，根

据三角形三边关系检验，综上可得答案.

15.【答案】|

【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质

【解析】【解答】解：过点A作BE的垂线，垂足为G,如下图：

••・四边形4BCD是正方形,

:•AB||CD,

•••乙八BG=乙BEC,

•••LAGB=乙BCE=90°,

•••△ABGBEC,

.S&ABG_(ABV

BE=\JBC2+EC2=V22+l2=V5»

1

X2X4-

2-2,

4

XX1-

8Ec==5

-AF=AB,AG1BE,

48

2X=

5-

5-

故答案为：I

【分析】本题考杳正方形性质、相似三角形判定与性质、等腰三角形性质，过A作4G18E于G,

由正方形对边平行得NA8G=乙BEC,结合直角相等证44BG-ABEC,用相似三角形面积比等于相

似比平方求&UBG，再由所=48、AGJ.BE得BF=2BG,故S44"=2s.叱代入数值计算结果。

16.【答案】6

【知识点】平行线的性质；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平

行）

【解析】【解答】如图，过点M作GH||AB交AD,BC于点G,H,则由材料知S矩形BEMH二S矩形MGDF,

可知SABEM=SADMF，

即｝EM.6E=尸.MF，

因为BE=CF=4,

所以：x3x4=/x2xMF,

解得MF=6.

【分析】题目给出了阅读材料：过矩形对角线上一点作平行于两邻边的直线，所得两个小矩形面积

相等。在图（2）中，EF/7BC,相当于过点M作了一条平行于BC（即平行于AD）的直线。我们需

要利用“S地形AEFD=S即形EBCF”这一核心结论。然后，将面积用已知和未知的线段表示出来，建立方程

求解MF。

17.【答案】（1）证明：•・•四边形ABCD是正方形，

，PB=PC=PD,AC1BD.

/.△BPC,△CPD都是等腰直角三角形.

AZPBE=ZPCF=45°.

VPE±PF,

AZBPC=ZEPF=90°.

ZBPC-ZEPC=ZEPF-NEPC,

即NBPE=NCPF.

在APBE和^PCF中

ZBPE=乙CPE

PB=PC

（乙PBE=Z-PCF

:PBE❷△PCF(ASA).

APE=PF.

(2)解：过点P分别作BC,CD的垂线，垂足分别为M,N.

•・•四边形ABCD是正方形，

AZBCD=90°,ZPCM=ZPCN.

・•・四边形PMCN是矩形.

・・・PM〃CN.

AZMPC=ZPCN.

AZMPC=ZPCM.

APM=CM.

.••四边形PMCN是正方形.

.'PM=PN,ZMPN=ZEPF=ZPME=ZPNF=90°.

AZMPN-ZMPF=NEPF-NMPF,即/EPM=ZFPN.

（/-EPM=乙FPN

在APEM和^PFN中PM=PN

l乙PME=乙PMN

/.△PEM^APFN（ASA）.

・・・PE=PF.

（3）PE=V10

【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA

【解析】【解答】（3）解：连接EF,

BEMC

VPE±PF,/.ZEPF=90°,

VZBCD=90°,CE=4,CF=2,

：•EF=VCE24-CF2=2V5,

2

...EF2=pE2+pF2=2PE=20,

APE2=1O,

・•.PE=V10.

【分析】（1）本题考查正方形的性质与全等三角形的判定，咳心是利用正方形对角线的性质构造全

等三角形。根据正方形对角线相等且互相垂直平分，可得PB与PC相等，且对角线平分内角得到

两个45°角：再由PE垂直PF,利用同角的余角相等推出/BPE与/CPF相等，通过ASA证明

△PBE与aPCF全等，依据全等三角形对应边相等即可证得PE=PFo

（2）本题考查正方形的判定与全等三角形的综合应用，通过作辅助线构造全等三角形。过点P向

BC、CD作垂线，利用正方形对角线平分内角的性质，结合角平分线上的点到角两边距离相等，得

到两条垂线段相等，同时推出四边形PMCN是正方形；再由PE垂直PF,利用同角的余角相等得

到一组对应角相等，结合直角相等与垂线段相等，通过ASA证明两个直角三角形全等，依据全等

三角形对应边相等得出PE与PF相等。

（3）本题考查勾股定理与等腰直角三角形的性质，需结合前一问的结论求解。先在RIAECF中，

利用勾股定理求出EF的长度；由前一问结论PE=PF且PE1PF,可知4PEF是等腰直角三角

形，根据等腰直角三角形三边的比例关系，结合EF的长度列方程求解，即可得到PE的长度。

18.【答案】（1）解：①AE=AF.

②证明：如图，连接AC,

HEC

•・•四边形ABCD为菱形，ZABC=60°,

AAB=BC,NBCD=1200.

・・・AABC是等边三角形，F

AAB=AC,ZACB=ZBAC=60\

.'.ZACD=60°,

VZBAC=ZEAF=60°,

AZBAE=ZCAF,

又TNB=NACF,

.*.△BAE^ACAF(ASA),

.\BE=CF.

(2)解：由(1)知4BAE^ACAF,

.*.AE=AF,

VZEAF=60°,

/.△AEF为等边三角形，

/.△AEF的周长=EF+AE+AF=3AE,

.••当AE最小时，ZkAEF的周长最小，

则当AE_LBC时，AE最短，即点E与点H重合

VAB=10,ZABC=60°,

AZHAB=3O0,

ABH-5,

AH=5>/3,

・•・△AEF的周长的最小值=3AH=15百，

・,.当AE_LBC时，所需的篱笆长度最短，最短为15V3米.

【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等

三角形中对应边的关系

【解析】【解答】解：（1）AE=EF,

理由如下：

•・•四边形ABCD是菱形

AAB=CB,AD//BC,ZABC=60°

ABC是等边三角形，

.\ZBAD=120o,ZD=60°

•・・E是BC的中点,

AZBAE=30°,AE1BC

*.*ZEAF=60°

JZDAF=ZBAD-ZEAF-ZBAE=30°

/.ZAFD=90°

・・・AE=AF

・•・△AEF是等边三角形

AAE=AF=EF

故答案为：AE=EF.

【分析】(1)连接AC,证明△ABC是等边三角形，即可得出AE=AF：

(2)连接AC,证明△BAE0ZXCAF(ASA),得至ljBE二CF；

(3)由(1)知△AEF的周长=3AE,作AHJLBC,垂足为H,当AE最小时，△AEF的周长最小，则当

AE_LBC时，AE最短，即点E与点H重合，进而即可求解.

19.【答案】(1)-16

(2)解：,••关于x的一元二次方程X?-(2m・l)x+m2・2m・3=0是“快乐方程”

△=[-(2m-I)]2-4x1x(m2-2m-3)=4m+13

1VmV6且4m+13是一个完全平方数

m=3

(、？，x4m+1325

：•F(1、一(2m-])、m—2m-3)=----------；-------=--r~

(3)()或3

【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用：一元二次方程的根与系数的关系(韦

达定理)

【解析】【解答】解：

(I)a=1,b=—4,c=-12

4x1x(—12)—(—4)2

F(l,-4,-12)=4x1

（3）=b=—m>c=m+l、p=l、q=—（九+l）、r=2n

^n(n2

-3则+/受=_吐受、F(p,q,r)=±2)

_("2)2

■4

•••(m-2)2-8是个完全平方数

•••m=-1或TH=5

•••r•“Q,b,c)=c-F(p,q,r)

(JTL-2)2—8(H—2)2

—2n--------------=—(m+1)------7----

44

当m=—l时，-2TIX：=0,•••n=0

4

2

当—5时，_x-=-6x。'―2)，Hi=3.n2=等(舍去)

故n的值为0或3

【分析】

(1)直接利用“快乐数公式”计算即可；

(2)由“快乐方程”的概念可得关于x的一元二次方程判别式△=4m+13,由于m是介于1和6之

间的整数且4ni+3是一个完全平方数，则m=3,即△=25,则其“快乐数”为一条

(3)先由“快乐数”的特点可得加=-1或m=5,再由“开心数”的概念可得关于m、n的方程，再分

别代入m的值可得关于n的方程并求解，再根据已知对根进行适当取舍即可.

20.【答案】(1)40

(2)因为参赛队伍总数为偶数个，所以A组，B组队伍数一样多.

所以设A组、B组队伍数均为x队，

则叼"1)x2x2=112

解得.,.打=8,x2=-7(不符,舍)

则8+8=16队

答：本次比赛参赛队伍个数为16队

(3)能.

因为参赛队伍总数为奇数，

所以设A组有y队，则B组有(y+1)队.

所以x2+X2=162

解得，尢=9,y2=-9（不符,舍）

所以y+1=10

则94-10=19队

答：参赛的队伍数为19队是，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分

【知识点】一元二次方程的其他应用：一元二次方程的应用-数字问题

【解析】【解答】解：（1）•・•参赛班级共有10个，为偶数，

:・A、B两组各有10+2=5个班级,

•••单循环赛制中，n个队伍的总场次为吗久，

・•・代入n=5,可得5X§T）=io（场），

，两组总场次为10x2=20（场），

•・•每场比赛尢论胜负，总得分固定为2分，

工