河南周口市多校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南周口市多校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，若，则实数（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】因为，，所以，，由，所以，解得．2.已知，点在直线上，且，则点的坐标为（）A. B.C. D.或【答案】D【解析】由题意得：或，设点，所以，当时，所以，解得，所以，当时，所以，解得，所以.3.在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，因为四边形是菱形，所以，由点是的中点，得，由题意得，，所以，因为，所以的取值范围是．4.在中，，，，则边上的高为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，，，，由余弦定理得，则．设边上的高为，由等面积法可得，则．5.在中，若，，其面积为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】由题意知，，所以.由余弦定理知，，所以.由正弦定理得，，则，，.所以.6.已知复数满足，则（）A.2 B. C. D.1【答案】C【解析】由，所以．7.在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，取的中点，连接，因为为正三角形，所以，又二面角的平面角为，所以平面，则，设为正三角形的中心，则，因为，所以，又，所以，所以，则，即为三棱锥外接球的球心，因为，所以，所以三棱锥外接球的半径，所以三棱锥外接球的表面积为.8.如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）A.三棱锥外接球的表面积为B.若平面，则动点的轨迹是一条线段C.若平面，则动点的轨迹的长度为D.若，则动点的轨迹长度为【答案】A【解析】对于A：由四边形为正方形，故三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，设三棱锥的外接球半径为R，的外接圆半径为，，故，又，则，故，，因为平面，故三棱锥的外接球球心在过的外接圆圆心和平行的直线上，则，即，故三棱锥的外接球的表面积为，故A正确，对于B：取与中点、，连接、、，由正方体性质可得，，又平面，平面，故平面，平面，平面，故平面，又，、平面，故平面平面，由平面，则点的轨迹是除去点，故B错误；对于C：取靠近点的四等分点，连接，由正方体性质可得平面，又平面，故，由，，故与相似，则，故，故，又，、平面，故平面，又平面，故动点的轨迹为线段，，故C错误；对D：若平面，因为平面，平面，故，由，则，即点的轨迹为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆，同理可得，点也可为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆，点也可为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆，故其轨迹长度为，故D错误.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列语句错误的是（）A.，是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为B.圆锥底面半径为2，母线长为3，则此圆锥的侧面积为C.直棱柱都有外接球D.在同一平面内的向量、、两两不共线．对于平面内的任意一个向量，都存在唯一的一个有序实数组，使得等式成立【答案】CD【解析】对A：由题意，所以，所以向量在向量上的投影向量为，故A正确；对B：因为圆锥的底面半径，母线长，所以圆锥的侧面积为，故B正确；对C：直棱柱，只有底面有外接圆时，这样的直棱柱才有外接球，此时外接球的球心是上下底面外接圆圆心连线的中点，故C错误；对D：因为向量、、两两不共线，所以和均可作为平面向量的基底，对于平面内的任意一个向量，一定可以表示成或的形式，即若用向量、、表示，则表示方法不唯一.故D错误.10.如图，在直三棱柱中，，，点，，，分别是，，，的中点，则（）A.，，，四点共面B.线段为直三棱柱外接球的直径C.三棱锥的体积为D.异面直线与所成角为【答案】BC【解析】对于A，直线平面，点平面，而直线，点平面，因此直线与直线是异面直线，则四点不共面，A错误；对于B，将三棱柱补形为正方体，为该正方体共点的三条棱，矩形为该正方体对角面，则为三棱柱外接球直径，B正确；对于C，点到平面的距离为，则，C正确；对于D，取中点，连接，由是中点，得，则是异面直线与所成角或其补角，由已知，，，平面，所以平面，故平面，又平面，于是，而，因此，即，D错误.11.满足，且，则（）A.三个内角满足关系B.的周长为C.若的角平分线与交于，则的长为D.设为外接圆上任意一点，则的最大值为【答案】ABD【解析】因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，对于A：由余弦定理知，，因为，所以，所以，即，故A正确；对于B：因为，所以的周长为，故B正确；对于C：若的角平分线与交于，则，因为，所以，即，解得，故C错误；对于D：因为，设外接圆的圆心为，半径为，由正弦定理知，，所以，过点作的垂线，垂足为，则，当，且点在的延长线上时，取得最大值，如图所示，此时，所以的最大值为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知四边形是复平面内的平行四边形，点A，B，C对应的复数分别为，1，，则______.【答案】【解析】根据题意，，设，由，则，解得，所以点的坐标为，所以，所以.13.在中，角的对边分别是，已知，，则的面积为___________．【答案】8【解析】在中，，由正弦定理得，所以，，所以，则的面积为.故答案为：8.14.已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，母线长为6，若一个球与该圆台的上下底面和侧面均相切，则球与圆台的侧面切点所形成的曲线的长为________．【答案】【解析】如图，作圆台的轴截面：设，则，且，由，则，由，即，所以，可得，由题意，球与圆台的侧面切点所形成的曲线是以为直径的圆，其半径为，所以曲线的长度为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图；在中，已知，，其中边上的两条中线相交于点．（1）求的余弦值；（2）设，求t的值．解：（1）由题意知，可得，因为为的中点，为的中点，所以，可得，，所以，又由，设，则，所以的余弦值为.（2）因为分别是边上的中线，且相交于点，所以为的重心，根据三角形重心的性质，可得，又因为与方向相同，所以，因为，所以.16.在中，角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）若，，且的面积为，求的长度.解：（1）由及正弦定理，得，因为，且，所以，即，因为，所以.（2）由的面积为，得，所以①，又，所以，故，由正弦定理，得②，由①②可得，，，因为，所以，在中，由余弦定理，得，所以.17.已知复数，.（1）若复数是纯虚数，求的值；（2）若是关于的方程的一个根，求的值.解：（1）由题意可知：，因为z是纯虚数，则，解得.（2）因为是关于的方程的一个根，则，整理得，则，解得，，所以.18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点．（1）求证：．（2）求BD与平面ANMD所成角的余弦值．（3）求点C到平面PBD的距离．解：（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB，因为平面PAB，所以，因为，且N为PB中点，所以，又因为，所以平面ANMD，又因为平面ANMD，所以．（2）连接DN，因为平面ANMD，，所以为BD与平面ANMD所成角，又因为且，N为PB中点，所以，所以，即，又因为且，所以，所以，所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为．（3）由已知得，，，，设点C到平面PBD的距离h，则．由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为．19.如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值；（3）在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.解：（1）连接交于点，，，故为菱形，故，由长方体得