湖北天门市2025-2026学年高二第一学期教学质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北天门市2025-2026学年高二第一学期教学质量监测数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.过点且倾斜角为的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】直线的斜率为，又直线过点，，即.故选：C.2.在正四面体中，为中点，在上．且为中点，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为为中点，所以.故选：A.3.等差数列单调递减，且前项和为，则（）A.20 B.-30 C.0 D.50【答案】B【解析】设单调递减等差数列的公差为，由，得，即，解得，.故选：B.4.若圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，作出符合题意的图形，圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.因为圆与圆有两个公共点，所以两圆相交，所以，即，所以.解得，且.故选：C.5.等比数列中，为方程的两根，则等于（）A.6 B.12 C.6或12 D.-6【答案】B【解析】由等比数列中，为方程的两根，得，，因此，，，所以.故选：B.6.已知为异面直线，平面，平面，直线满足，，，则（）A.，且 B.，且C.与相交，且交线与垂直 D.与相交，且交线与平行【答案】D【解析】对于A，假若，则由平面，平面，可得，这与异面矛盾，故A错误；对于B，如上图，在长方体中，不妨设平面为平面，平面为平面，满足，棱所在直线分别为，满足所有题设条件，但，即得不出故B错误；对于C，D，如上图，由A项知，相交，设，过空间内一点，分别作，作，因，故可确定平面，因为，，所以，，且，故；又因，，所以，，所以，，同理可得；因为，，所以不重合，故有.综上可知，C项错误，D项正确.故选：D.7.已知直线，且与不垂直，则直线与之间距离的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由可得，又与不垂直，所以；将直线化为，也即；因此直线与之间的距离为，令，整理可得，易知，整理可得，解得；当时，，此时两直线重合；当时，，满足条件，因此.故选：C.8.已知点为椭圆上异于左右顶点的动点，为其左右焦点，若有且只有两个点使得，当时，与椭圆交于另一点，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意由椭圆对称性可知，为椭圆上、下顶点时，有且只有两个点使得，此时，在中，易知.当时，易知，又，所以.在中，又，即可得，解得，因此椭圆的离心率.故选：D.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.下列选项中与双曲线的离心率相同的曲线是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】对于双曲线，，所以，即，对于A：，，所以，即，正确；对于B：，，所以，即，错误；对于C：，，所以，即，正确；对于D：，，所以，即，正确；故选：ACD.10.已知事件的概率均不为，则的充要条件是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】对A、D：抛掷一枚质地均匀的骰子，设表示事件“点数是1点”，表示事件“点数是3点或5点”，表示事件“点数是偶数点”，则，此时满足，但，故A错误；又，但，故D错误；对B：若，则，故；若，则，故；故是的充要条件，故B正确；对C：，，若，则，即；若，由，，则；故是的充要条件，故C正确.故选：BC.11.在棱长为2正方体中，点为中点，点在线段上运动，则（）A.存在点使得平面截正方体的截面为三角形B.当为的中点时，平面与线段的交点为的一个三等分点C.在上的投影向量的长度的取值范围为D.当为的中点时，四面体的外接球半径为【答案】BCD【解析】对于A，当点与重合时，在上底面过点作的平行线，与交于其中点，此时截面为平行四边形，当向靠近时点向靠近，再过点作的平行线会与有一交点，连接，此时截面为五边形，当点与重合时，也与重合，在右侧面作交于，此时为中点，此时截面为等腰梯形，故截面不可能为三角形，A错误对于B，以点为坐标原点建立如图所示坐标系，则，所以，设截面的一个法向量为，则，令得，所以截面的一个法向量为，设，则，点为上靠近点三等分点，故B正确.对于C，同上建系，设，则，在上的投影向量的长度为，单调递增，则.对于D，由图可知所求外接球的球心横坐标为1，设球心，则，，所以D正确.故选：BCD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若点为抛物线上一点，则点到抛物线的准线的距离为___________.【答案】4【解析】因为点为抛物线上一点，所以，解得.所以抛物线的方程为：，其准线方程为：.故点到抛物线的准线的距离为.故答案为：.13.已知数列满足，数列中，，则前2025项的和为___________.【答案】解析】由题可知，故的前2025项的和.故答案为：.14.在平面直角坐标系中，动点到坐标原点的距离的立方与该点到两坐标轴的距离的乘积相等，记点的轨迹为曲线，以下结论正确的是___________．（填序号）①曲线有对称中心②曲线有且只有两条对称轴③曲线围成的区域面积不超过④点到原点的距离的取值范围为【答案】①③【解析】设点，由题意可得，对于①，将代入上式，式子依然成立，所以曲线成中心对称，该结论正确；对于②，将代入所以轴为其对称轴，同理轴也为其对称轴，将与互换，方程不变，故也是其对称轴，同理也是，所以曲线最少有四个对称轴，该结论错误；对于③，由均值不等式，对任意实数，有​，当且仅当时取等号，将其代入方程，得：；当（即为原点）时，方程成立，此时点到原点的距离为，当时，不等式两边同时除以，得：，​两边平方得，故点到原点的距离始终小于等于，由可知，曲线位于以原点为圆心，为半径的圆内或圆上，该圆的面积为，故曲线围成的区域面积不超过，由上述推理可知③正确④错误.故答案为：①③.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.某旅游景区停车场的收费标准为：1小时以内（含）不收费，1小时2小时（含）按5元收费．超出2小时的部分按每小时6元收费（不足1小时的按1小时计算）．现有甲、乙两人临时停车，两人停车都不超过4小时．（1）若甲停车不超过1小时的概率为，超过2小时的概率为，求甲停车1小时以上且不超过2小时的概率；（2）若甲乙两人停车的时长是相互独立的，且每个人停车费为0元、5元、11元的概率分别为，求甲、乙两人停车费之和为22元的概率．解：（1）设甲停车1小时以上且不超过2小时的事件为A，则.（2）由题意可知，每个人停车时间超过3小时，即停车费为17元的概率为.设甲乙两人停车费之和为22元的事件为M，甲要付0元、5元、11元、17元停车费的事件分别为，乙要付0元、5元、11元、17元停车费的事件分别为，则.因为每人停车的时长是相互独立的，所以，.16.已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，．（1）求和；（2）求．解：（1）设等差数列的公差为，而，则，于是，解得，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，.17.如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，分别为的中点，平面平面．（1）求证：；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）若截面与交于点，且，求的值．（1）证明：为中点，.又平面平面，且交线为平面，平面，平面，；为中点，则有；；（2）解：如图以为坐标原点，过作直线与平行，以分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，则有令，可得；设平面的一个法向量为，则有，可取平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.（3）解：则，.．.18.如图，已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右顶点，过的直线与椭圆相交于两点，在轴上方．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线的中点为，直线与直线相交于点，记的斜率分别为，直线的斜率为．（i）求的值；（ii）求的值．解：（1）由题可知，.，椭圆的标准方程为．（2）依题意，直线的斜率不能为0，可设其方程为，联立.因，设，则，，则有，，（i）；（ii）由（2）可知点的坐标为，则令可得，即点，..19.数列满足（1）若，求证：为等比数列，为等差数列，并求；（2）若，求证：（i）；（ii）.（1）解：由题知①；②①②得，又∵，，为首项是3，