浙江金兰教育合作组织2025-2026学年高二下学期4月期中测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江金兰教育合作组织2025-2026学年高二下学期4月期中测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.甲、乙、丙3位同学在5个兴趣小组中任选一个参加，任意2人不同组的选法种数有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】3位同学在5个兴趣小组中任选一个，且任意2人不同组的选法有种.2.已知事件A，B满足，则（）A.1 B.0.3 C.0.5 D.0.6【答案】A【解析】，在发生的条件下，一定发生，，则.3.已知随机变量，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.8【答案】B【解析】因为随机变量，且，所以，所以.4.从50名学生中随机选出5名学生代表，则甲被选中的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知，从50名学生中随机选出5名学生代表，所包含的基本事件总和为，甲被选中包含的可能事件为，所以甲被选中的概率为.5.设随机变量，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为随机变量，根据二项分布的性质：，，且，解得.又因为，由二项分布的方差公式：.6.展开式中的常数项为（）A.20 B.-20 C.-12 D.-8【答案】B【解析】因，则展开式的通项公式为，由解得，所以展开式中的常数项为.故选：B.7.如图，点分别是四面体的顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组个数有（）A.30 B.33 C.63 D.69【答案】B【解析】含有的侧面中，每个面上的6个点都是共面的，除外的5个点任选3个，则个数为，所在的棱上三点与对棱中点共面，这样的组数有3个，所以共有个.8.已知，且，则下列结论正确的是（）A.对于任意奇数n，a都是偶数 B.对于任意偶数n，a与的奇偶性相同C.对于任意偶数，都有 D.对于任意偶数，都有【答案】D【解析】，同理，两者对比可知为奇数时，，又为偶数时，为有理数，且，即两者展开式中k为偶数的部分，为相等的有理数，所以可知，因此可解得，对于A，取（奇数），可得（奇数），矛盾，故A错误；对于B，取（偶数），可得（奇数），（偶数），奇偶性不同，故B错误；对于CD，对于任意大于0的偶数，因为，也即，故C错误，D正确．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若事件A，B满足，则事件A，B相互独立B.若事件B，C互斥，则C.若数据的方差为2，则数据的方差为17D.在12件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品的个数期望值为【答案】AB【解析】选项A，设，根据全概率公式：

，因此，，符合事件相互独立的定义，A正确；选项B，因为互斥，即，因此，即和也互斥，由概率可加性：，由条件概率计算公式得：

，B正确；选项C，根据方差性质：若原数据方差为，则，，新数据方差为，C错误；选项D，抽到次品数服从超几何分布，超几何分布期望公式为​，代入得：

，D错误.10.随机变量的分布列如下表，．令随机变量，则下列说法正确的是（）-1010.5A. B.恒成立C.的最大值为 D.当在内增大时，先增大后减小【答案】ACD【解析】由分布列的性质，得，所以，.因为，所以，解得，所以A正确.，所以.因为，所以，所以B错误.，当且仅当时，取得最大值，所以C正确.当时，；当时，；当时，.所以，的分布列为所以.当时，在上单调递增，在上单调递减，所以D正确.11.一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗质地均匀的骰子次，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则过关．假定每次过关互不影响．记过第关为事件，则下列说法正确的是（）A.这项游戏最多能连续过5关B.C.D.连过前三关的概率是【答案】BCD【解析】A选项：当时，，当时，，所以最多过4关，A错误；B选项：当时，点数记为，即时过关，，所以B正确；C选项：，设两次点数记为，，则，所以，所以C正确；D选项：，记三次点数分别为，，，所以D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.将1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，要求偶数相邻，共有__________种排法．（用数字作答）【答案】12【解析】将两个偶数看成一个整体有种情况，再将两个偶数与两个奇数全排列有种情况，所以将1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，要求偶数相邻，共有种排法.13.某校开展教师歌手大赛．已知男、女教师人数比例为，有的男教师和的女教师擅长民谣歌曲．现随机选取一位教师，则这位教师恰好擅长民谣歌曲的概率为__________．【答案】##【解析】由男、女教师人数比为，可得随机选一位教师，选到男教师的概率为，选到女教师的概率为.已知男教师中擅长民谣的概率为，女教师中擅长民谣的概率为.根据全概率公式，随机选一位教师恰好擅长民谣的概率为：.即随机选一位教师，则这位教师恰好擅长民谣歌曲的概率为.14.盒子中装有编号依次为1，2，3，4的4张卡片，现从中有放回地抽取次卡片，每次仅抽取1张，记这次抽取的卡片中最大编号为，若要求成立，则至少抽取____________次．【答案】4【解析】，，由，得，令，则在时单调递减，又，所以的最小值为4．四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.计算：（1）；（2）解方程：；（3）解关于的不等式：．解：（1）；（2）由题知．由且；（3）由题知解得，又，且，∴不等式的解集为.16.以下各小题要求列出算式，并计算出结果．某高校组织1位老师带领3名男生、3名女生参加志愿服务活动．（1）活动开始前7人排成一排合影留念①若要求老师站在中间，甲、乙两位学生均与老师相邻，共有多少种不同的排法？②若老师站在队列的排头或排尾且女生互不相邻，共有多少种不同的排法？（2）现从6名学生中选1人与老师留在原地，其余5人分配到3个服务站点进行志愿服务．要求每个站点至少一名学生，每名学生只能分配到一个站点，共有多少种分配方式？解：（1）①因为老师站在最中间，甲、乙两名学生站在老师的两侧，所以老师站在第4个位置，甲、乙两名学生的排序有种．再排其他学生，有种，由分步乘法计数原理，不同的排法有种．②老师排在排头或排尾有种方法,其余6个位置用插空法处理：先排3名男生有种排法，形成4个空位；再将3名女生排入这4个空位，有种排法由分步乘法计数原理，不同的排法有种．（2）因为要从6名学生中选出1名与老师留在原地，有种选法．其余5名同学分配到3个站点，可分为1人、2人、2人，或分为1人、1人、3人．如果分为1人、2人、2人，有种，如果分为1人、1人、3人，有种，再将这3组对应3个站点进行全排列，不同的分配方式有种．17.已知的展开式中，____________．给出以下条件：①若展开式前三项的二项式系数之和等于；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为．任选一个，补充在上面横线中并加以解答（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）．（1）求的值及通项公式；（2）求展开式中所有项的系数绝对值之和；（3）求展开式中系数最小的项．解：（1）若选①：若展开式前三项的二项式系数之和等于.由的展开式中前三项的二项式系数之和等于得：，即，即，解得或（舍去），所以．若选②：若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为.则由题得，解得.所以的展开式通项为．（2）展开式中所有系数的绝对值之和，即展开式中所有系数之和，令，得.（3）由的展开式通项公式知：展开式中的系数为，若要找展开式中系数最小的项，则为奇数，当时，该项系数为，当时，该项系数为，当时，该项系数为，当时，该项系数为，因此，展开式中系数最小的项为第4项即：.18.不透明的袋子装有编号为的35个球，号球重量为克，从袋子中等可能地取球．（1）任取1球，求其重量小于7克的概率；（2）任取1球，求其重量大于号码数的概率；（3）任取1球，若球的重量小于号码数时，则停止取球；若球的重量大于号码数，则放回，搅拌均匀后重取，并规定取球次数不超过3次．设结束时的取球次数为，求的分布列和期望．解：（1），，，，，所以，.（2）设事件为“取1球其重量大于号码数”．若球重量大于号码数，则，即，解得或，，，（3）可取的值为，取出球重量大于号码的概率为，，，，123.19.如图，河面上从左至右4个石墩排成一条直线，松鼠在第2个石墩上．松鼠会在相邻的两个石墩（或石墩与河岸）间不停地跳跃．每次跳跃时，向左跳的概率为，向右跳的概率为．当松鼠跳到左岸或右岸时，就去树林里吃松果，不再返回．将河的左、右岸分别标记为0号、5号石墩．将松鼠位于第个石墩上并最终跳到右岸的概率记为．（1）省略推导过程，直接写出的值，直接判断与的大小关系；（2）当河面上有个石墩且时，求；（3）当河面上有个石墩且时，要使，求的最大值．解：（1）松鼠在左岸时，直接去树林里吃松果，不可能跳去右岸，因此，同样松鼠在右岸时已经不需要跳跃了，因此，松鼠在1号石墩，只要向左跳一次，就到左岸去树林里吃松果，而2号石墩，至少需要向左跳2次，才能到左岸去树林里