浙江省强基联盟2026届高三上学期1月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省强基联盟2026届高三上学期1月联考数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数（为虚数单位），则复数的虚部为（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】由，则复数的虚部为．故选：A．2.若集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对A，因为，但，所以不成立，故A错误；对B，因为，但，所以不成立，故B错误；对C，，故C正确；对D，，故D错误．故选：C．3.若函数的图象在处的切线过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，则，所以，又，所以在处的切线方程为，又切线过点，所以，解得，故选：A.4.已知函数恒成立，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，是函数的最大值，,得，，又．故选：A.5.已知向量满足，且，则（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因为，所以，两式相减得，即．又，所以，联立，解得,即．故选：C．6.某电器由三个元件按下图方式连接而成，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，各个元件能否正常工作相互独立．当元件1正常工作，且元件2或元件3正常工作时，该电器正常工作．现有台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过小时的台数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，所以元件1、元件2、元件3使用寿命超过小时的概率均为，一台这样的电器使用寿命超过小时，是元件1使用寿命超过小时，并且元件2、元件3至少有一个使用寿命超过小时，因此一台这样的电器使用寿命超过小时的概率为，显然台这样的电器，使用寿命超过小时的台数，所以台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过小时的台数为．故选：B．7.设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为（）A.1 B.2 C. D.4【答案】A【解析】因为，所以，即，则，又，则，又，由正弦定理可得，解得，即外接圆的半径为.故选：A.8.设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】椭圆的两个焦点坐标为，，恰好为两个圆的圆心坐标，圆的半径，圆的半径，由椭圆的定义可得，当椭圆上动点与焦点连线与圆相交于时，最小，最小值为，当椭圆上动点与焦点连线的反向延长线与圆相交于时，最大，最大值为，所以.故选：D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知是等差数列的前项和，则下列选项中可能是所对应的图象的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】设等差数列的公差为，则等差数列的前项和公式为，当时，是过原点的直线上的点，所以选项B正确，当时，是关于的二次函数，且该二次函数的图象过原点，则是过原点的抛物线上的点，所以选项A、D正确．故选：ABD．10.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，为抛物线上一个动点，，则（）A.的坐标为B.的最小值为2C.若，则过与抛物线相切的直线的方程为D.的最小值为3【答案】ACD【解析】对于A，由抛物线性质得的坐标为，故A正确，对于B，当的斜率不存在时，可得的方程为，联立方程组，解得，，得到，，则，得到的最小值不可能为2，故B错误，对于C，若，设切线方程为不为，联立方程组，可得，此时，解得，则，即，故C正确，对于D，如图，作出符合题意的图形，作垂直于准线，由抛物线定义可得，当且仅当三点共线时取等，此时，可得，则的最小值为3，故D正确.故选：ACD11.在棱长为1的正方体中，点，满足，，则（）A.平面B.若与平面所成角为，则点的轨迹长度为C.当时，满足到直线与到平面的距离相等的点有两个D.当时，四面体外接球体积为【答案】AD【解析】选项A：，为中点.连接，交于点，则为中点，所以.又平面，平面，平面.故A正确.选项B：以为原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，正方体中，易知平面的法向量为，因为，，，，所以，则，.设与平面所成角为（），则，即，又，，，，所以，即.因为，所以点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆在平面上四边形内的部分（含与四边形的交点），其长度为.故B错误.选项C：由选项B知，点到直线的距离为1.又，所以点到平面的距离为.若点满足到直线与到平面的距离相等，则，即，此时，所以满足条件的点有1个（与点重合），故C错误.选项D：当时，，又，，，设四面体的外接球球心坐标为，半径为，则，解得.所以外接球的体积为.故D正确.故选：AD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知角满足，则______．【答案】【解析】由，得，所以，故，所以故答案为：13.函数是定义在上的奇函数，且当时，，则______．【答案】4【解析】由题意可得，解得，则．故答案为：14.从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，，，，则事件“存在，，使得”的概率为______．【答案】【解析】根据题意，从、、、、这个数中任取个不同的数、、、，有种取法，假设，若不存在且、，使得，则有，在、、、、中任取个不同的数，依次表示、、、，此时有种不符合题意的取法，则有种符合题意的取法．所以事件“存在，，使得”的概率为.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：土地使用面积/亩12345管理时间月810132524并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：单位：人愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民5050（1）求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）；（2）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望．参考公式：；参考数据：．解：（1）由题意得，，所以，可得，则，所以管理时间与土地使用面积线性相关.（2）由题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，故，故的分布列为0123所以数学期望.16.已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解：（1）由，所以当时，，解得，当时，，与相减得，即时，，所以，所以是首项和公比均为2的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式为.（2）因为，所以①，则②，得，所以.17.如图，三棱柱中，侧面为菱形，.（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：连接交于，连接，由侧面为菱形，可得，为的中点，又，而，平面，所以平面，而平面，故，又为的中点，所以垂直平分，所以.（2）解：因为，且为的中点，所以，又因为，所以，故，由菱形，故，故，故，从而两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，，因为，所以为等边三角形，所以，则，则，，设是平面的法向量，则，取，则，故，设直线与平面所成角为，，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知双曲线.（1），求双曲线的渐近线方程.（2）设，为双曲线的左右顶点，双曲线上一点的纵坐标为，且，求的值；（3）已知点在双曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为求直线的斜率.解：（1）当时，双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为；（2）由题意，设，则，，则，，又点在双曲线上，则，化简得，又所以；（3）将点代入双曲线方程得，解得：，故双曲线方程为；设直线斜率为，则直线斜率为直线方程为，联立双曲线与直线:，其中即且，由韦达定理，则，同理以代，则，则，，故.19.已知，.（1）当时，证明：；（2）设，若对任意的，恒成立，求的取值范围；（3）证明：对任意的正整数，总有.（1）解：，，则，定义域为.令，则.令，得；令，得.所以在上单调递增，在上单调递减.所以，所以当时.所以得证.（2）解：设.若对任意的，恒成立，则恒成立.又，设，则，且有，（i）当，时，显然