黑龙江哈尔滨市德强高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（I卷）（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江哈尔滨市德强高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（Ⅰ卷）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1.已知为虚数单位，则复数（）A. B.C. D.【答案】B2.已知直线直线b，直线c，平面，则（）A. B.C.a与相交 D.或【答案】D3.如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（）A. B.C. D.【答案】D4.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形ABCD的面积是（）A. B.C.8 D.16【答案】A5.如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（）A.13 B.14 C.20 D.25【答案】D6.如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（）A. B. C.2 D.【答案】A7.在平面四边形中，，，，对角线与交于点，且，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A8.如图，正方体的棱长为2，E是的中点，F是侧面内的一个动点（含边界），且平面，则的最小值为（）.A. B. C. D.【答案】D二、多选题（（共4小题，每小题5分，共20分）9.已知向量，，其中，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若与的夹角为钝角，则D.若，向量在方向上的投影向量为【答案】ABD10.“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（）A.共有18个顶点 B.共有36条棱C.表面积为 D.体积为【答案】BD11.如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点，则（）A.平面 B.平面C.点在平面内 D.点在平面内【答案】AD12.已知中，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是（）A.B.的面积为C.D.在的外接圆上，则的最大值为【答案】ABD三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.设复数，则___________．【答案】14.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式.如图所示的亭子模型带有攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，若此圆锥底的面积为4π，体积为则将此圆锥展开，所得扇形的圆心角为_____________.【答案】15.在中，角的对边分别是，已知，，则的面积为___________．【答案】816.已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是__________.【答案】四、解答题（共6小题，共70分）17.已知i为虚数单位，复数z满足，其中．（1）若z为纯虚数，求m的值；（2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．解：（1）因为，所以，所以，若z为纯虚数，则，解得；（2）由（1）知，，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得，所以m的取值范围为.18.已知向量与是平面内的两个向量，，与的夹角为.（1）求；（2）在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标.解：（1）因为，与的夹角为，所以（2）因为，与的夹角为，所以，所以，在方向上的投影向量.19.如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥.（1）求截去的三棱锥的表面积与剩余的几何体的体积；（2）在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积.解：（1）在正方体中，因为棱长为，可得，所以截去的三棱锥的表面积为：.在正方体中，因为棱长为，可得正方体的体积为，又因为平面，即为三棱锥的高，可得，所以几何体的体积为.（2）由（1）可得：四棱锥的体积.20.在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的角平分线的长度.解：（1）由正弦定理可得：，即，化简可得，由余弦定理.因为，所以.（2）根据三角形面积公式，可得：，即，化简可得，解得.因为是角平分线，所以.由得：.，解得.21.如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点，设平面与平面的交线为．（1）求证：平面平面；（2）求证：；（3）若，求四棱锥的体积．（1）证明：因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形，所以，，又平面，平面，则平面，同理平面，平面，可得平面，又，平面，所以平面平面．（2）证明：因为底面为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.（3）解：因为四棱锥是正四棱锥，所以底面是正方形，在底面上的投影是底面的中心，又，所以，又，所以四棱锥的高为，所以正四棱锥的体积．22.巴张高速公路（巴东至张家界）于2025年1月开工，计划于2030年正式建成．该高速公路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点和终点已经确定．如图1所示，设二桥起点为C，终点为D，为了测量二桥CD的长度（南北走向），小明同学选择了长江南岸的A，B两个观测点，AB相距2千米．在A处测得二桥北岸D位于其北偏东60°的方向，二桥南岸C位于其南偏东75°的方向，观测点B位于其南偏东60°．在观测点B处测得南岸C处位于其北偏东60°，北岸D位于其北偏东15°的方向．（1）求二桥CD的长度．（2）为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域CBH进行改造．如图2所示，点P、Q在弧上，点M、N分别在BH、BC上，且PQ∥CH，四边形MNPQ为矩形．拟将矩形MNPQ所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值．解：（1）如图所示，过点作，过点作，点在点的正北方向，点在点的正南方向，点在点的正北方向.根据题意可知，所以,由题意得，，所以，故，在中，由正弦定理得，即，故，因为，所以.在中，