黑龙江哈尔滨市双城区兆麟中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江哈尔滨市双城区兆麟中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题一、单项选择题（本题型共8小题，每小题5分，共40分）1.若复数为纯虚数，则实数的值为（）A.2 B.0 C. D.0或2【答案】B2.在中，，记，，则（）A. B.C. D.【答案】A3.已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A.6 B. C. D.【答案】C4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C5.已知向量，满足，，若，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A6.将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（）A. B. C. D.【答案】C7.如图是索菲亚教堂建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（

）mA. B.20 C. D.30【答案】D8.如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，若，则（）A.1 B. C. D.2【答案】C二、多项选择题（本题型共3小题，每小题6分，共18分）9.已知复数，，其中，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若为实数，则D.若为纯虚数，则【答案】BD10.对于，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则一定为等腰三角形C.若，则一定为直角三角形D.若，则一定为钝角三角形【答案】ACD11.已知正方体棱长为2，为棱的中点，为正方体表面上一动点，下列说法中正确的是（）A.点在线段上（含端点）运动时，直线与成角的取值范围为B.点在平面上（含边界）运动时，若，则点的轨迹长度为C.当点在中点时，过PE及点的截面多边形的周长为D.若，则的轨迹长度为【答案】ABD三、填空题（本题型共3小题，每小题5分，共15分）12.在中，，则__________.【答案】3613.已知复数，其中为虚数单位，则复数的模为________.【答案】14.圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，在该圆锥内放置一个棱长为m的正四面体，并且正四面体可以在该圆锥内任意转动，则实数m的最大值为____________.【答案】四、解答题（本题型共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知，是平面内两个不共线的向量，，，.（1）若A，C，D三点共线，求实数m的值；（2）若，，是钝角，求实数m的取值范围.解：（1），，若A，C，D三点共线，即，共线，即存在实数t使得成立，即，即，则，所以，（2）是钝角，则且与不共线，又，，，即，即，又与不共线，即，综上，且.16.在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______．（1）求C；（2）点D在边AB上，且，，求．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．解：（1）选条件①：由，可得，由正弦定理得，因为，所以，所以，故，又，于是，即，因为，所以．选条件②：由题意知，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，又，所以．（2）由（1）得，故，在中，由正弦定理得，又，所以，在中，，因为，故，即，故．又由（1）知，所以，解得，可得．17.如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且．（1）设平面平面，证明：；（2）证明：；（3）线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由．（1）证明：因为四边形为矩形，所以，因为平面，平面，所以平面.又平面，平面平面，所以.（2）证明：因为平面，又平面，所以.又底面为矩形，所以.平面，，所以平面.平面，所以.在中，，，，所以，所以.平面，，所以平面.又平面，所以.（3）解：如图：过作，交于点，过作交于点.因为，平面，平面，所以平面.同理平面.又平面，，所以平面平面.由（1）知，，又，则，则，因为，.所以，所以点M为线段上靠近C的四等分点，.18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求角B；（2）若，D是AC上的点，BD平分，求BD长；（3）求边AC上的中线BE的取值范围．解：（1）已知，由余弦定理可得，因为，代入中，得，化简得，则，因为，所以．（2），，由余弦定理得，即，又因为，所以，由面积关系可得，，所以，即.（3）因为E是AC的中点，所以，则，由正弦定理得，，即，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即边AC上的中线BE的取值范围为．19.如图1是一个由菱形和两个直角三角形和所组成的平面图形，其中，现将和分别沿折起，使得点与点重合于点，连接，得到如图2所示的四棱锥.（1）求证：平面；（2）若为棱上一点，记（i）若，求直线与平面所成角的正切值；（ii）是否存在点使得直线与直线所成角为，若存在请求出的值，若不存在请说明理由.（1）证明：连结AC，交BD于点O，又∵底面为菱形，∴,由题可得，，且，平面，平面，∴平面，又平面，∴，∵，平面，平面，∴平面．（2）解：（i）连结SO交CE于点G，由（1）得平面,∴为直线CE与平面SBD所成角,∵，，,∴,∵，∴，在三角形中，由，，所以由余弦定理得：，，∴，即，∴，∴直线与平面所成角的正切值为．（ii）连结，∵,∴或其补角为直线与直线所成角,则假设存在点，满足，由得，,在三角形中