黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知角，则角为（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【答案】B【解析】已知角，所以，故角为第二象限角.故选：B.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意知.因为，所以.故选：C.3.若函数图象的相邻两个对称中心的距离为，则（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】因为函数图象的相邻两个对称中心的距离为，所以的最小正周期，又，所以.故选：C.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以．故选：D．5.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，此时，但是，故“”不是“”的充分条件；若，由函数的定义知，若，则必有，而时，推不出，故“”是“”的必要条件.综上，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.6.某公司为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该公司2025年全年投入科研经费1700万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该公司全年投入的科研经费开始超过2500万元的年份是（）（参考数据：，，）A.2027年 B.2028年 C.2029年 D.2030年【答案】C【解析】取2026年是第1年，根据题意得第年该公司全年投入的科研经费为.令，即，即，两边取对数可得：，即，则，则第4年，即2029年该公司全年投入的科研经费开始超过2500万元.故选：C.7.函数的值域为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以，又，所以，所以，即函数的值域为.故选：D.8.若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，而当时，，当时，，所以，因为，而当时，，所以，因为，而当时，，所以，由，得，所以为和图象交点的横坐标，为和图象交点的横坐标，在同一个平面直角坐标系作出和的图象，如图所示，由图可得，综上，．故选：A．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】对于A，当时，显然不成立，故A错误；对于B，因为，所以，即，故B正确；对于C，当满足，但是，故，故C错误；对于D，因为，所以，而，所以，故D正确.故选：BD.10.已知函数满足：，且当时，，则下列说法正确的是（）A.B.为周期函数C.为偶函数D.关于的方程恰有5个解【答案】BC【解析】在中，令，得，又当时，，所以，所以，解得，故A错误；由，得，所以，所以是周期为2的周期函数，故B正确；当时，，又，显然当时，函数为偶函数，又因为函数的周期为2，所以函数是实数集上的偶函数，故C正确；函数的图象如下图所示：由图可知函数的图象与的图象有6个交点，故关于的方程恰有6个解，故D错误.故选：BC.11.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.的图象是中心对称图形B.在上单调递增C.当时，D.若，且，则【答案】ABD【解析】因为关于原点对称，所以关于对称，所以的图象是中心对称图形，故A正确；，又，均在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；易得在上单调递增，又当时，，所以，所以，所以，故C错误；由，得，即，又，所以，所以，故D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.【答案】【解析】易知.故答案为：.13.已知，且，则的最大值为__________.【答案】【解析】由题可得，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值是.故答案为：.14.已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是__________.【答案】【解析】函数在区间上恰有两个零点，则在区间上有两个实数解，由可得，又，故有在上有两个不同的实数解，而当时，，所以，解得，即的取值范围是.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（1）已知，求的值；（2）若是第一象限角，且，求的值.解：（1）由题意知，所以.（2）因为，又是第一象限角，易得，所以.16.已知函数.（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）若，且，求的值.解：（1），所以的最小正周期为，令，解得，所以函数的单调递减区间为（2）由题意知，又，所以，又，所以.若，则，不符合题意；所以，所以，所以17.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0（1）求函数的解析式；（2）求不等式的解集；（3）将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若满足，求的最小值.解：（1）由题意知，解得，，又，解得，所以.（2）由，得，所以，解得，即不等式的解集为.（3）将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到的图象，因为，所以的图象关于中心对称，所以，解得，因为，所以当时，此时取得最小值为.18.已知函数，函数.（1）求的定义域；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）若，使得成立，求的取值范围.解：（1）由题意知，整理得，所以，解得，即的定义域为；（2）在上单调递增，证明如下：任取，且，则，又，所以，所以，即，所以在上单调递增；（3）若，使得成立，则.由（2）知在上单调递增，所以，记，因为，所以，所以，当时，，则，所以，所以或，又，所以；当时，，则，所以，所以，又，所以；综上，的取值范围为.19.已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数.（1）求的解析式；（2）已知函数.（i）证明：函数有且只有一个零点；（ii）记函数的零点为，证明：.解：（1）因为是偶函数，所以，所以，又是奇函数，所以，所以，