黑龙江省齐齐哈尔市2026届高三下学期第一次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省齐齐哈尔市2026届高三下学期第一次模拟考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得到，所以，由，即，解得，所以，故.2.复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】设，由，得，即，得，所以在复平面内对应的点为位于第四象限.3.已知点是的重心，若，则（）A.-1 B. C.0 D.1【答案】C【解析】设是的中点，则.所以.因为，所以，因此.4.若，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为在上单调递增，所以，可得，根据，且在上单调递增，可得，即，由在上单调递增，可得，结合，可得.5.古巴比伦泥板（大英博物馆藏K90泥板）上记录的月相变化数列，是人类早期对天文现象进行数学描述的重要例证.该数列将满月等分为240份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即份；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且均为正整数，则第10天可见部分占满月的（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题知，，即，所以，因为均为正整数，当时，，当时，，满足；当时，，所以，此时月球被太阳照亮部分占满月的.6.3名男生和2名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（）A.24种 B.48种 C.72种 D.96种【答案】B【解析】第一类：先排3名男生，甲在两端的排序有种，再2名女生插空有种；第二类：先排3名男生，甲在中间的排序有种，再2名女生插空有种，故男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（种）.7.若，则的最小值为（）A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】，当且仅当，即时取等号.目标式最小值为4.8.已知数列的首项，若数列是递增数列，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，整理得，由于，可得数列是首项为，公比为的等比数列，则.因为数列是递增数列，所以，即对任意的正整数都成立.当为偶数时，恒成立，所以，由单调递减，可得，则；当为奇数时，恒成立，所以，由单调递增，可得，则，则的取值范围是.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.一组数据的极差为4，平均数为3，方差为2，若，则（）A.的第80百分位数为B.的极差为8C.的平均数为7D.的方差为4【答案】BC【解析】数据的大小不确定，所以第80百分位数不能确定，故A错误；数据的极差为4，即.由，可知，，，故B正确；由数据的平均数为3，，得数据的平均数为，故C正确；由数据的方差为，由，得数据,的方差为，故D错误.10.对任意，函数都满足，则（）A.B.C.在上单调递增D.直线是曲线的切线【答案】ACD【解析】令，则有，所以，故A正确；因为，所以对任意均成立，当取任意值，取定值时，为常数，当取任意值，取定值时，为常数，所以与等于同一个常数，设，令，则，解得，故B错误；由，得，所以在上单调递增，故C正确；因为，所以，令，得，又，所以直线是曲线在处的切线，故D正确.11.已知椭圆：的左､右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点，且满足，则下列结论正确的是（）A.周长的最大值为8B.若，则直线方程为C.若，则直线方程为D.若动点满足，则点的轨迹方程为【答案】ABD【解析】选项A：椭圆中，，.周长为，当且仅当直线过时取等号，故A正确；选项B：当时，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，整理得，设，，因为，所以，所以，即，解得，此时直线的方程为，故B正确；选项C：当时，，所以，，则，解得，则，所以，整理得，显然不是方程的根，故C错误；选项D：设，因为，，所以，即，两式相乘可得，同理可得，则，所以，又，在椭圆上，所以，，则，若，则，此时点不存在；若，则，此时不满足题意；所以，所以，动点的轨迹方程为，即，故D正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知双曲线：的实轴长是虚轴长的2倍，则的离心率为_______________.【答案】【解析】因为的实轴长是虚轴长的2倍，所以，从而.故答案为：.13.已知函数，若的图象关于直线对称，，则的值为______.【答案】【解析】函数，因为函数图象关于直线对称，所以，即，因为，所以，所以，又，所以，所以.14.已知正三棱柱的各棱长均为分别为棱的中点，经过作该三棱柱外接球的截面，则截面面积的最小值为__________.【答案】【解析】正三棱柱的外接球的球心为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接，设外接球的半径为，为正三角形，其外接圆半径为则下底面外接圆的半径为，在中，，则，在中，，，，作于，由于，则F为的中点，则过的平面垂直时截面圆的面积最小，则，截面圆的半径为，所以截面圆的面积最小值为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在锐角中，角所对的边分别是，且.（1）求；（2）求的最大值.解：（1）因为，由正弦定理可得，在中，，代入整理可得，又，则，可得，即，又，则，则，可得.（2）由余弦定理可得.因为为锐角三角形，且，所以，，所以.由，所以，所以，即.所以当，即时，即为等边三角形时，取得最大值.16.中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭､载人航天､深空探测等多个领域.为了了解不同学历人群对航天工程的关注情况，某社区随机调查了200位社区居民，得到如下数据（单位：人）：学历关注不关注合计本科及以上8020100本科以下6040100合计14060200（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为对航天工程的关注情况与学历有关？（2）现为了激发社区居民对航天工程的关注，该社区举办了一次航天知识闯关比赛，规则如下：第一关：设置3道必答题，参与者需至少答对2道才能参与下一关答题，否则淘汰；第二关：设置3道题，前2道题每答对1道奖励200元，答错即结束答题，奖励清零，2道题都答对可选择放弃答题，领取奖励，也可以选择继续答题（等可能的选择），第3道题答对奖励400元，答错前2道奖励减半，答题结束.已知甲参与闯关比赛，第一关答题的3道题每道题答对的概率均为，第二关答题的前2道题每道题答对的概率均为，第3道题答对的概率为，各题答对与否相互独立.（i）求甲能进入第二关答题的概率；（ii）已知甲进入第二关答题，从期望的角度，帮助甲分析是否挑战第3道题，使获取的奖金更多.参考公式及参考数据：.0.050.013.8416.635解：（1）零假设为：对航天工程的关注情况与学历无关，依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为对航天工程的关注情况与学历有关.（2）（i）记甲能进入第二关答题为事件，即3道题至少答对2道题，所以（ii）若确定不挑战第3道题，获得奖金为，的可能取值为0,400，，则的分布列为：0400所以；若确定挑战第3道题，获得奖金为，的可能取值为0,200,800，，，则的分布列为0200800所以.令，故当时，，建议挑战第3道题；当时，，挑战和不挑战第3道题都可以；当时，，建议不挑战第3道题.17.已知动圆过定点，且被轴截得的弦长为4.（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）已知过点的直线与圆心的轨迹交于两点，点关于轴的对称点为.（i）求（为坐标原点）面积的最小值；（ii）证明：直线必过定点.（1）解：设动圆圆心为，则，圆心到轴距离为，动圆被轴截得的半弦长为2，则，化简得，所以动圆圆心的轨迹方程为.（2）（i）解：设直线的方程为，联立，消去整理得，则，则的面积为，当且仅当时取等号.所以面积的最小值为.（ii）证明：由题得，则直线的方程为，根据抛物线的对称性可知定点必定在轴上，令，得，所以直线必过定点.18.如图，线段为圆锥底面的直径，点为线段的中点，点是以为直径的圆上除外的一个动点，，且.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.（1）证明：因为垂直于圆锥的底面，又底面，所以，因为，是线段的中点，又，则，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：以为坐标原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，设，因为点是以为直径的圆上除外的一个动点，则点的轨迹方程为，由（1）知，，所以点也在以为直径的圆上，则点的轨迹方程为，联立，可得，因为两交点关于轴对称，不妨取，，设平面的法向量为，则，取，则，设与平面所成的角为，则.19.已知函数.（1）当时，求函数在上的值域；（2）若对任意，都有，求实数的取值范围；（3）证明：.（1）解：当时，，则，令，则，即；令，则，即.所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以的值域为