湖北荆州市2026届高三下学期3月阶段检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北荆州市2026届高三下学期3月阶段检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，解得，则，又，所以.2.已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意，则z的共轭复数.3.已知向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性分析：，，，，，故充分性成立；必要性分析：，，，，，，，故必要性不成立.故“”是“”的充分不必要条件.4.下列函数中，是奇函数且在上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，由于在R上单调递减，故在R上单调递减，A错误；对于B，，由于在上单调递增，故在上单调递增，则在上单调递增，故在上单调递减，B错误；对于C，由可得，当时，，此时在上单调递减，C错误；对于D，令，当时，，在上单调递增，再判断函数的奇偶性：当时，令，当时，，则时，，则；时，，则；即可知为奇函数，D正确.5.的展开式中的常数项为（）A.60 B.120 C.160 D.240【答案】D【解析】共有个因式，从个因式中选择，在剩下的个因式中选择，则的展开式中的常数项为.6.已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，且满足，则双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】由已知M为的中点，而O是的中点，所以，由于⊥，所以是线段的中垂线，故，由双曲线的对称性知，所以，故.7.已知点分别在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（）A. B.3 C. D.4【答案】B【解析】如图，作圆关于直线对称的圆，设，则，解得，则连接与圆相交于点,连接与圆相交于点,关于直线对称的点记为，则（当M，，共线时取等号），（当M，，共线时取等号），由于，则，因此，当M，，共线时取等号，所以所求最小值为3.8.已知，设函数的零点个数为，则（）A.120 B.210 C.75 D.240【答案】A【解析】过点，则可作出的图象.当n＝1时，作出的图象，因为，故的图象与图象有3个交点；注意到的周期为4，，n每增加1个单位，也增加个单位（一个周期），则交点增加2个，故数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某校为了了解本校学生在寒假期间参加社会实践活动的情况，随机调查了100名学生，得到如下列联表（单位：人）：（）男生女生合计参加了社会实践活动304070未参加社会实践活动201030合计5050100附，其中n＝a＋b＋c＋d；A.依据小概率值的独立性检验，认为学生是否参加社会实践活动与性别无关B.从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为C.随机抽取1人，若抽取到的是参加了社会实践的学生，则这名学生是男生的概率为D.按性别用分层抽样的方法从参加社会实践活动的学生中抽取7人，再从这7人中抽取2人，则这2人中至少有一名男生的概率为【答案】BCD【解析】零假设为：参加社会实践活动与性别无关联，则，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为参加社会实践活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于，故A错误.从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为，故B正确.记事件表示抽到的学生是参加社会实践的学生，则，记事件表示抽到的学生是男生，，所以，故C正确.按性别用分层抽样的方法从参加社会实践的学生中抽取7人，则7人中有男生人，有女生人，从这7人中抽取2人有种取法，全为女生的取法有，所以从这7人中抽取2人全为女生的概率为，所以从这7人中抽取2人，这2人中至少有一名男生的概率为，故D正确.10.在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F，G分别为棱的中点，则（）A.B.平面C.异面直线与所成角的正切值为2D.直线与平面所成角为【答案】CD【解析】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则，，，故不垂直，A错误；设平面的法向量为，,则m⋅EF=-y=0m⋅，故和平面不平行，B错误；，，,设异面直线与所成角为，则，，则，C正确；设平面的法向量为，,，则n⋅BC=2b=0n⋅则，则直线与平面所成角的正弦值为，故直线与平面所成角为，D正确.11.已知函数，其中，则（）A.若函数有且仅有1个零点，则B.若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是C.不存在，使函数存在唯一的极值点D.若对恒成立，则【答案】ABD【解析】对于A，显然0不是函数的零点，当时，令，变形为，令，，则，令得或，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，，作出的图象，如下：直线与其仅有一个公共点，则；对于B，，令，函数有且仅有2个极值点，故有2个变号零点，令得，显然0不是函数的零点，当时，变形为，令，则，令得，令得或，故在上单调递减，在上单调递增，，作出的图象，如下：直线与其交于两点，则，故，B正确；对于C，结合B的分析，显然当时，有且仅有一个变号零点，函数存在唯一的极值点，C错误；对于D，，即，当时，满足要求，当时，，变形为，令，结合A的分析，当x＞0时，，故，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列满足，则＝______.【答案】【解析】，，，，，，，.13.已知均为非负数，且，则的最小值为______.【答案】2【解析】由题可得，所以,由于,当且仅当，即时取等号，所以，则的最小值为14.在棱长为2的正方体内，有按照如下方式产生的一系列大小均不相同的n个球：第1个球与正方体的6个面均相切；第2个球与第1个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切；第3个球与第2个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切，…，依次下去.记这n个球的表面积和为，若对总成立，则M的最小值为______.【答案】【解析】如图，过棱作正方体的截面，由对称性知，这些球的球心都在线段上，与底面ABCD的切点都在线段AC上.设第i（1，2，…）个球的球心为，半径为，与底面ABCD切于，作于P，由∽，得，解得，同理可得，对于任意，，又由于＝1，所以，其表面积，所以，注意到当时，，此时，且，故M的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积.解：（1）抛物线的焦点为，则，又椭圆C的离心率，则，所以，故椭圆C的标准方程为；（2）由（1）可知，椭圆C的左顶点，则直线：，即：，设，，消去得，解得或（舍去），所以.16.如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.（1）求b.（2）若D点满足，，求a.解：（1）由及正弦定理得，即，即，由得，，即，进而由正弦定理得；（2）因为，所以，设，则由题意，设，则，则由正弦定理得，消去x得，所以，又，所以，所以，所以，由余弦定理得，所以.17.某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有A，B两类关卡，A，B两类关卡每一次闯关成功的概率分别为.活动参与者第一次闯关等可能的选择A，B中的一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类推.规定A类关卡闯关成功一次得20分，B类关卡闯关成功一次得10分，闯关失败均得0分.每名活动参与者有3次闯关机会.（1）已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A类关卡的概率；（2）若一名活动参与者闯关总得分不低于40分则获得现金奖励1000元，低于40分则根据分数奖励其他实物小礼品.若活动参与者有1000人，求商场支出的现金奖励总金额的期望.解：（1）设事件表示“第i次选择的是A”事件表示“第i次选择的是B”，设事件表示“第i次闯关成功”，，，第一次闯关成功，参与者甲选择的是A类关卡的概率为；（2）一个参与者得分大于等于40分有两类情形：第一关选择A成功，第二关继续选择A也成功；第一关选择B失败，第二关换为A成功，第三关继续选择A也成功.故，设1000人中获得现金奖励的人数为X，则商场支出的现金奖励Y＝1000X元.由题知，，故，所以，商场支出的现金奖励总金额的期望为96000元.18.“细长三角板”指的是有一个内角为的直角三角板.现有两个细长三角板，其较短的直角边长均为10cm，先按左图所示的方式放置，其中以表示两个细长三角板，，，直角顶点重合于点P，两条斜边在一条直线上.保持直角顶点重合，将两条斜边平行展开，得到如图所示的四棱锥P－ABCD.（1）设，求证：PO⊥平面；（2）是否存在四棱锥，使得底面为菱形？若存在，求此时四棱锥的高，若不存在，请说明理由；（3）求四棱锥体积的最大值，并求此时平面与平面所成二面角的大小.（1）证明：由题意知与平行且相等，则四边形为平行四边形，所以O为的中点又由于，，所以，，平面，，所以平面；（2）解：假设存在符合条件的四棱锥，由（1）知，设其高，因为底面是菱形，则，所以，解得，此时四棱锥退化为一个平面图形，故不存在符合条件的四棱锥；（3）解：方法一：过点P作直线，则l平面，由于，所以，则l平面，所以平面平面，作，垂足分别为E，F，则,所以是平面与平面所成二面角或其补角，由于PO⊥平面，平面，故，而O为的中点，则,设，则，，由PO⊥平面，平面，故，而平面，故平面，平面，故，所以当且仅当时取等号，故四棱锥体积的最大值为500（），此时平面与平面所成二面角为90°方法二：过点O作平行线的垂线，垂足分别为F，E，取的中点G，，由以上分析可知，所以，以O为原点，所在直线为x，y，z轴建立坐标系，设，，，，由勾股定理知，，当且仅当时取“＝”，故所求最大值为500；此时，，，，，，，设平面的一个法向量，则，则，可取；，，设平面的一个法向量，则，则，可得平面的一个法向量，故，所以所求二面角为90°.19.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）讨论在上的单调性；（3）为的导数，