辽宁省锦州市某校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省锦州市某校2025-2026学年高一下学期期中考试试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】B2.已知复数，则（）A. B. C.3 D.5【答案】B3.已知分别为的三个内角的对边，若，则角（）A.或 B. C. D.【答案】D4.已知非零向量满足，且，则（）A. B. C. D.【答案】A5.为了得到函数的图像，可以将函数的图象上（）A.每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位B.每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位C.每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位D.每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位【答案】B6.已知锐角的终边与单位圆相交于点，则（）A. B. C. D.【答案】D7.设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形【答案】B8.已知，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若是锐角三角形，则C.若，则为等腰三角形D.若，，，则有两解【答案】ABD10.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期为πB.的单调递增区间为，C.的图象向左平移个单位后的函数是偶函数D.在上有3个零点【答案】ABC11.已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，O为的外心，，，的面积S满足.若，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量的夹角为，则__________.【答案】13.记的内角，，的对边分别为，，，其面积为，已知，则_____.【答案】14.已知函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为__________．【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知与的夹角是.（1）计算；（2）求和的夹角的余弦值．解：（1）因为与的夹角是所以，.（2）因为，设和的夹角为，则.16.已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的图象，求函数在上的取值范围.解：（1）因为，所以函数的最小正周期为，由可得，故函数的单调递增区间为.（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的图象，则，当时，，则，故.故函数在上的取值范围为.17.在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，.（1）若，求；（2）若，求的面积.解：（1）因为，，，所以由正弦定理得：，因为，所以或.所以当时，，符合题意；所以当时，，符合题意.（2）在中，因为，所以sinA把cosAcosC=-代入得sinA又因为asin所以a=22sinA，c=2所以S△ABC所以△ABC的面积为3318.设函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若，求的值．（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．解：（1）由图得，，所以，故，所以，将代入得，所以，又，所以，所以．（2）因为，所以，即，又因为，所以，所以，所以．（3）因为，所以，所以，所以，令，因为不等式在上恒成立，所以在上恒成立，所以，又，所以函数在上单调递增，所以当时，有，所以，即．19.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1所示，由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形拼成一个较大的正方形）.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形和中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形.（1）图1中直角三角形的两锐角分别为，，其中小正方形的面积为9，大正方形的面积为25，求的值；（2）图2中△的面积为，的面积为，（ⅰ）若，，求的值；（ⅱ）若，设，求的值.解：（1）因为图1中小正方形的面积为9，大正方形的面积为25，所以小正方形的边长为3，大正方形的边长为5，因为直角三角形的两锐角分别为，，所以直角三角形的两直角边分别为，，所以，即，因为，，所以，所以，，解得，，所以.（2）（ⅰ）因为△的面积为，的面积为，所以，，所以△的边长为，的边长为，因为，设，所以，在中，由余弦定理得，即，所以，解得或（舍），所以，，所以