辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】易知集合，，则.故选：D.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，所以.故选：A.3.函数的零点所在区间为，则（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】由于的定义域为R，且都为增函数，故也为增函数，且，即因此零点在区间上，即．故选：A.4.若向量，且，则实数m的值为（）A.－2 B.－ C.1 D.－2或1【答案】D【解析】因为向量，且，所以，解得m=－2或1.故A，B，C错误.故选：D.5.已知函数的定义域为，且对，，则（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】分别令和得到：，解得：．故选：A．6.金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件“甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选项目完全不同”，事件“甲、乙两人所选项目完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（）A.A与C是对立事件 B.C与D相互独立C.A与D相互独立 D.B与D不互斥【答案】C【解析】设跳高、跳远、100米跑和200米跑分别为1，2，3，4，则甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑中选择两个项目参加的情况有：（1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213），（1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314），（2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224），（1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434），共36种，其中A有24种情况，B有6种情况，C有6种情况，D有9种情况，则，，，.由可得A与C不是对立事件，选项A错误.，C与D不相互独立，选项B错误.，A与D相互独立，选项C正确.由B与D不可能同时发生可知B与D互斥，选项D错误.故选：C.7.已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为函数为幂函数，所以，解得，所以，.因为，，，，，由解析式可知在上单调递增，所以在上有唯一零点.故选：B.8.已知函数，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，函数设，则有，解可得，即函数的定义域为，关于原点对称，又由，即函数为奇函数，设，则，，在上为增函数，而在上为增函数，故在区间上为增函数，又为增函数，所以在区间上为增函数，不等式即为，也即，所以，解得.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列关于向量说法，正确的是（）A.若，，则B.在中，若，则与的面积之比为C.两个非零向量，，若，则与共线且反向D.若，则存在唯一实数使得【答案】BC【解析】对于A，当时，因为零向量与任意向量都平行，所以，成立，而此时不一定平行，所以A错误，对于B，因为，所以，设为的中点，连接，则，所以，所以点到的距离等于点到的距离的3倍，所以△AOC与△ABC的面积之比为，所以B正确，对于C，由，得，化简得，所以，所以与的夹角为，所以与共线且反向，所以C正确，对于D，当时，不存在唯一实数使得，所以D错误.故选：BC.10.已知函数则下列结论正确的是（）A.若，则B.若在上单调递增，则的值可以为C.存在，使得在上单调递减D.若的值域为，则的取值范围为【答案】ABD【解析】由题意得，得，得，A正确；若在上单调递增，则，得，B正确；若在上单调递减，则，不等式组无解，C错误；若的值域为，则，得在上单调递增．当时，在上单调递增，则，得，即．当时，在上单调递减，在上单调递增，则，得恒成立，即2．综上，的取值范围为，D正确．故选：ABD.11.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比例估计为6%B.估计该地农户家庭年收入的85%分位数为10万元C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】ABD【解析】对于A，由频率分布直方图低于4.5万元的农户比例约为，A正确；对于B，由频率分布直方图知收入超过10.5万元的有，收入在之间的有．低于9.5万元有80%，而因此85%分位数，B正确；对于C，平均值约为，C错；对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的有，D正确．故选：ABD．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.__________.【答案】【解析】易知.故答案为：.13.若，则的最大值是______.【答案】【解析】由题设，则，当且仅当，即时取等号，故的最大值是.故答案为：.14.若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质.设为上具有性质的偶函数.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】设，则，由题意知，为偶函数，所以，即，所以，则，，令，因为，所以，函数在单调递减，在单调递增，当，，当，，当，，所以当时，函数的值域为，则当时，函数的值域为，令，，则关于的不等式在上恒成立，可化为在上恒成立，不等式可化为，即在上恒成立，函数和函数在上均单调递减，故函数在上单调递减，则，则，即实数的取值范围是.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤．15.已知函数（其中a为常数）是定义域为的偶函数.（1）求的解析式，并直接写出的单调区间和最小值；（2）解不等式.解：（1）因为是偶函数，所以对，都有，即，整理得，所以，，令，则，由可得，所以，则，所以函数在上单调递增，结合奇偶性可得的单调减区间是，单调增区间是，的最小值是.（2）因为是偶函数，且在是增函数，所以等价于，解得：，所以不等式的解集是.16.如图，在中，.设.（1）用表示；（2）若为内部一点，且.求证：三点共线.解：（1），；（2），又，故，故三点共线.17.已知华为公司生产mate系列的某款手机的年固定成本为200万元，每生产1只还需另投入80元.设华为公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，华为公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得当时，；当时，,∴.（2）当时，，∴当时，，当时，,当且仅当，即时，“=”成立，此时W取最大值28800,∵，∴当年产量为32万只时，利润最大，最大利润为30520万元.18.已知函数，函数.（1）求的定义域；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）若，使得成立，求的取值范围.解：（1）由题意知，整理得，所以，解得，即的定义域为；（2）在上单调递增，证明如下：任取，且，则，又，所以，所以，即，所以在上单调递增；（3）若，使得成立，则.由（2）知在上单调递增，所以，记，因为，所以，所以，当时，，则，所以，所以或，又，所以；当时，，则，所以，所以，又，所以；综上，的取值范围为.19.定义．（1）用解析式表示，并写出的定义域：（2）证明：；（3）设．若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围．解：（1）设

，.令得：，，，解得

或

，由于

是开口向上的二次函数（二次项系数为正），当