辽宁铁岭市2025-2026学年高二下学期3月质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁铁岭市2025-2026学年高二下学期3月质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列的前4项为1，2，5，12，则的通项公式可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】数列的前4项：，，，.选项A：，，排除；选项B：，，，，均符合；选项C：，，排除；选项D：，，排除.故选：B.2.已知直线，则过原点且与l平行的直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】与平行的直线的方程可以设为，又直线过原点，所以．所以过原点且与l平行的直线的方程为．3.设随机变量，若，则（）A.1 B.0 C. D.-1【答案】C【解析】由正态分布关于均值对称，知，解得.故选：C.4.已知双曲线的实轴长为10，则该双曲线的离心率（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，故，所以双曲线的焦点在轴上，故实轴为，所以，因此双曲线为，所以，又该双曲线的半实轴长为,故双曲线的离心率.故选：C.5.在的展开式中，的系数为（）A.7 B.15 C.30 D.65【答案】A【解析】在的展开式中，的系数为，的系数为，所以的展开式中，的系数为.故选：A.6.在圆锥中，是底面圆的直径，为线段上的一点，且是的中点，，则直线与直线所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为为的中点，所以.如图：以为原点，OC，OB，OS分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，因为为线段SB的一点，且，所以，所以，设直线与直线所成的角为，则.故选：B.7.某社区组织文化活动，现有书法艺术展示､传统戏曲表演､民间手工艺制作､古典诗词朗诵､现代音乐赏析这5个文化活动项目.社区安排6名志愿者负责这5个项目的活动组织，若每个项目的活动都至少有1名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中1个项目的活动组织，则不同的分配方法种数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】先将6名志愿者分成5组，从6人中选2人一组，其余4人各一组，共有种分法，再将这5组全排列，对应5个项目，有种排法，所以不同的分配方法种数为种.故选：B.8.已知抛物线，为它的焦点，过的直线交抛物线于两点，过两点分别作垂直于准线的直线，垂足分别为，其中，，则值为（）A. B. C. D.6【答案】B【解析】抛物线方程为，其焦点，准线为，为抛物线上的点，过两点分别作垂直于准线的直线，垂足分别为，设，则，，，，，，，，，化简整理得，设过焦点的直线为，联立抛物线得：，由韦达定理得，，即，设直线的倾斜角为，则，，，解得，，解得，则，故B正确．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知变量x和y满足经验回归方程，且变量x和y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是（）x56912y87m2.4A.m＝5 B.当x＝13时，C.变量x和y呈负相关 D.该经验回归直线必过点（9,5）【答案】ABC【解析】对于A，因为变量x和y满足经验回归方程，又，，所以，解得m＝5，故A正确；对于B，因为变量x和y满足经验回归方程，当x＝13时，，故B正确；对于C，因为变量x和y满足经验回归方程，k＝－0.78＜0，所以变量x和y呈负相关，故C正确；对于D，由选项A知，，该经验回归直线必过点，不一定过样本点（9，5），故D错误．10.在平行六面体中，，点是上靠近的三等分点，设，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于A选项，在平行六面体中，，故A正确；对于B选项，因为点是上靠近的三等分点，所以，又，所以，故B正确；对于C选项，因为，，，所以，所以，故C错误；对于D选项，，所以，故D正确.故选：ABD.11.已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线.点，直线，则（）A.曲线的方程为B.当最小时，C.当最大时，D.若曲线上仅有一点到直线的距离为2，则的值为【答案】ABC【解析】设，由，得，化简，得曲线，是圆，且半径为，圆心为，故A正确；当最小或最大时，直线均与曲线相切，且它们的切线长相等，均为，故BC正确；圆心到直线的距离，由题意得，解得，或，故D错误.故选:ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，，则的余弦值是__________.【答案】##【解析】，，故，故答案为：13.进入冬季，流感在很多地区爆发.某市医疗部门统计该市的，两个区分别有，的人患了流感，已知，两区的人口数的比为，则从这两个区中任意选取一个人，若这个人患流感，则此人来自区的概率为______.【答案】【解析】记事件为“选取的人来自区”，事件为“选取的人来自区”，事件为“选取的人患流感”.已知，两区的人口数的比为，所以，.两区患流感的概率：，.所以.故.故答案为：.14.已知点是椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一个动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为___________．【答案】【解析】由题可知，设，则，所以，因为函数的图象对称轴为，图象开口向上，又由题意知当即时有，且，所以，即，故满足题意的实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列是等差数列，且，．（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，求的最小值．解：（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得，所以．（2）因为是等差数列，所以．因为，所以当时，有最小值.16.某学校每天中午都将学校的阅览室提供给中午不出校园的学生自习，并且安排有关的老师在阅览室值班．学校的食堂每天中午为不出校园的学生提供午餐，午餐分为、两种套餐，每个学生可以选择其中一种套餐，套餐素菜多，套餐荤菜多．（1）本学期食堂对套餐的菜品种类与品质等方面进行了进一步的改善，学校为了解就餐的学生对于改善前后的套餐的满意度，对就餐的学生进行了调查，并从中随机抽取了名就餐学生对于套餐的满意度的数据，如下表（单位：人）：套餐改善后套餐改善前合计满意不满意合计根据表中数据判断是否有的把握认为学生对于套餐的满意度与套餐的改善有关联？（2）若套餐拟提供种品类的素菜，（是不小于的正整数）种品类的荤菜，供就餐的学生自由选择其中的种菜品，记学生小李选择两个荤菜两个素菜的事件为，求的最大值，并求此时的值．参考数据：，其中．解：（1）根据表中数据得到，所以有的把握认为学生对套餐的满意度与套餐的改善有关联．（2）由组合计数原理结合古典概型的概率公式可得,（是不小于的正整数），令，由，得解得．因为是不小于的正整数，所以，此时，所以的最大值是，此时．17.如图，在菱形中，，是线段的中点，将沿折起到的位置．（1）若，证明：平面平面；（2）若二面角是，求点到平面的距离．（1）证明：在菱形中，因为，是线段的中点，则，.根据余弦定理可得，.由折叠可知，，又，则，所以是直角三角形，.已知，，所以.因为，，，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）解：在中，因为，所以是直角三角形，，又因为，所以.连接，则直角三角形，.由（1）可知，是直角三角形，，，所以.因为，所以是二面角的平面角.即.又因为，，所以是等边三角形，点到平面距离为.设点到平面的距离为，因为，所以，即，解得，即点到平面的距离为.18.已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点．（1）求方程；（2）若线段的中点坐标为，求直线的方程；（3）若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求．解：（1）由题可得，所以的方程为；（2）设，则，所以，所以直线的方程为即；（3）由（1）得，当直线斜率不存在时，直线，代入双曲线方程得，此时的面积为，不符合，所以直线斜率存在，设直线，联立得，则，所以，所以，又点M到直线的距离为，所以（舍去）或，则，，所以．19.2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设强大国内市场”.为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种（顾客只能选择其中的一种）.方案1：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）；方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠；其余情况无优惠.（1）已知顾客选择抽奖方案2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率；（2）已知顾客恰好消费了500元，（i）若他选择抽奖方案1，求顾客所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）；（ii）试从顾客所获得的优惠金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理.解：（1）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”，在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩3个红球和3个蓝球，共6个球，若享受优惠，则后两次摸出2个红球或摸出1个红球1个蓝球，从6个球中不放回地摸2个球，总情况有种，摸出两个红球的情况有种，摸出1红1蓝的情况有种，所以，即能够享受优惠的概率为.（2）（i）设顾客选择抽奖方案1时，顾客所获得的优惠金额为元，的取值有，，，，从装有4个红球，3个蓝球的抽奖盒中摸一个球，摸到红球的概率为，摸到蓝球的概率为，当摸出0